12.2.5 直角三角形的判定“HL”（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等判定“HL”定理，通过复习SSS等已有全等判定方法，以“SSA不能判定一般三角形全等”为切入点，引导学生思考直角三角形特殊性，结合尺规作图和合作学习探究新知，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过动手尺规作图培养几何直观（数学眼光），对比SSA与HL的区别发展推理意识（数学思维），典例和变式训练结合实际问题体现模型意识（数学语言）。例如合作学习中用不同边长作直角三角形并对比重合性，助学生明确HL适用条件，既培养学生严谨思维，又为教师提供系统备课资源。

12.2.5 直角三角形的判定 “HL” 第12章 全等三角形 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 掌握HL定理的核心内容 能准确描述HL定理：两个直角三角形斜边和一条直角边对应相等，则两三角形全等 理解"斜边-直角边"对应关系在判定中的关键作用 区分不同全等判定方法 对比HL与SSS/SAS/ASA/AAS的适用条件 明确HL是直角三角形特有的判定方法 HL与SSA的联系与区别 建立严谨的几何思维，认识HL是SSA在直角三角形中的有效特例 养成“先标条件、再判定”的解题习惯，体会HL在工程、建筑中的实际价值 旧知复习 全等三角形的判定（SSS） 在△ABC和△DFE中， 则△ABC≌△DFE(SSS) 基本事实 三边分别相等的两个三角形全等，简写成”边边边“ 或 ”SSS“ 新知探究 直角三角形特殊判定 在前面我们学习了全等三角形的判定，知道”SSA”是不能证明两个三角形全等的（如图所示），AC=DF，CB=DE，∠A=∠F，但是△ABC和△FDE不全等。当△ABC和△FDE是直角三角形的时候呢？ 新知探究 尺规作图作三角形 （教材母题）如图所示，已知线段a、b（b＞a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b，。 同学们，动手画一画 新知探究 尺规作图作三角形 作法： （1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°; （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； （4）连接AC; 如图所示，△ABC即为所要求作的三角形 合作学习 小组活动：同学们分别在草稿纸上利用尺规作图画出上述三角形， 再跟周围的同学对比看是否能完全重合。 三边的情况 边 边 角 2cm 5cm 90° 2.5cm 2cm 90° 3.5cm 5cm 90° 4cm 4cm 90° 注意：长边为斜边，短边为一直角边 新知探究 直角三角形的判定（HL） 在Rt△ABC和Rt△DFE中， 则Rt△ABC≌Rt△DFE(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成 “斜边直角边”或“HL” 典例分析 例1 . 如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ） A. AC=DF，BC=EF B. ∠A=∠D，AB=DE C. AC=DF，AB=DE D. ∠B=∠E，BC=EF C 变式训练 如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，还需补充一个条件，可以是（ ） A．AC=BC B. AD=BD C. ∠ACD=∠BCD D. ∠A=∠B B 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF.求证：△DBE≌△DCF 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵D是BC的中点，∴BD=CD 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL) 变式训练 如图，点C，E，F，B在同一条直线上，DF⊥BC，AE∥DF，AB=CD，AE=DF．求证：CE=BF． 证明：∵DF⊥BC， ∴∠DFC=90°， ∵AE∥DF，∴∠AEB=∠DFC=90° 在Rt△AEB和Rt△DFC中 ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴BE=CF ∴BE-EF=CF-EF ∴BF=CE 典例分析 例3 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (1)证明：∵CN=AM ∴CN+MN=AM+MN，即CM=AN 在Rt△CBM和Rt△ADN中 ∴Rt△CBM≌Rt△ADN(HL)，∴∠BCM=∠DAN，∴AD∥BC (1)求证：AD∥BC； 典例分析 例3 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (2)解：由（1）得Rt△CBM≌Rt△ADN ∴MB=DN 在△ABM和△CDN中 ∴△ABM≌△CDN， ∴∠ABM=∠CDN=20°， ∴∠DCN=90°-20°=70° (2)若∠ABM=20°，求∠DCN的度数． 变式训练 如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°． （1）证明：∵∠C=∠D=90° ∴△ACB和△BDA都是直角三角形 在Rt△ACB和Rt△BDA中，, ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL） (1)求证：△ACB≌△BDA； 变式训练 如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°． 证明：在Rt△ACB中 ∵∠ABC=28° ∴∠CAB=90°-28°=62° 由（1）可知△ACB≌△BDA ∴∠BAD=∠ABC=28° ∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=62°-28°=34° (2)若∠ABC=28°，求∠CAO的度数． 课堂练习 1.用小尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，则射线OP为的角∠AOB平分线，这么做的原理是（ ） B A．SAS B. HL C.AAS D.SSS 课堂练习 2．如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，点B在CD上，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（ ） B A．CE=BC B. AB=DE C. ∠A=∠D D.∠ABC=∠E 课堂练习 3．. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则∠ABC+∠DFE=（ ） C A．45° B. 60° C.90° D.120° 课堂练习 4. 已知∠AOB，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，直尺甲的一边与射线OB重合，另一边交射线OA于点C，直尺乙靠在直尺甲的P处，且另一边与射线OA重合，作射线OP．若，则∠ACP的大小为______． 50° 课堂练习 5. 如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF=_____． 55° 6. 如图所示，CB⊥AE于B，AB=CB，AF=CE，若AB=6，BE=4，则CF=____，AE=____． 2 10 课堂练习 7．如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD，E为线段AC上一点．请说明线段BE与DE的数量关系，并证明． 证明：BE=DE，理由如下： 在Rt△ACD和Rt△ACB中， ∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL） ∴∠ACD=∠ACB，CD=CB 在△BCE和△DCE中， ∴△BCE≌△DCE（SAS） ∴BE=DE 课堂练习 9．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD，∠DBE=∠C．若AB=6，CF=2，求AC的长． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E=∠DEC=90° 又∵BD=CD，∠DBE=∠C ∴△DBE≌△DCF（AAS） ∴DE=DF,BE=CF=2 在Rt△ADE和RtADF中， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE=AF，∵AB=6，∴AF=AE=6+2=8 ∴AC=AF+CF=8+2=10 课堂小结 HL定理内容 定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。 适用条件 必须为直角三角形：两个三角形必须都有90°的直角。 斜边相等：两个三角形的斜边长度相同。 一条直角边相等：任意一条直角边（非斜边）的长度相同。 课堂小结 与其他全等判定的区别 SSS/SAS/ASA：适用于任意三角形，而HL仅适用于直角三角形。 特殊性：HL本质是“SSA”在直角三角形中的特例（直角固定了边角关系，避免了SSA的不确定性）。 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $