5.6 函数 y=Asin(wx+φ)-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

178 》】跟踪训练4 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样 截取，才能使△OAB的周长最大？ 随堂检测重反馈 1.设5π<0<6π，c0s 2 =a,则in9等于 4 A.VI+a +a 2 B.VI-a 2 c.-2 D.- /1-a Λ2 2函数八)=cos{x+牙，xeR,则x) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数，也是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 3.函数f(x)=sinx的最小正周期为 4.已知5sinx+3cosx=2√3sin(x+p),p∈（-T,π)，则sin2p 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[55] 5.6 函数y=Asin(ωx+P) 新课程标准解读 学科核心素养 理解参数A,w,p对函数y=Asin(ox+p)的图象的影响 数学抽象 掌握y=sinx与y=Asin(wx+p)图象间的变换关系，并能正确地指出其 逻辑推理 变换步骤。 会用“五点法”画函数y=Asin(ox+p)的简图，能根据函数y=Asin(wx+ 逻辑推理、数学运算 p)的部分图象，确定其解析式。 掌握函数y=Asin(ox+p)的性质，并能熟练运用. 逻辑推理 ●179 教材梳理明要点 ●情境导入 在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交 流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ox+p)的函数.如图 所示是某次实验测得的交流电的电压y随时间x变化的图象 指爸看着帽 [提示] 函数y=Asin(ωx+p) 那么函数y=Asin(x+p)与函数y=sinx有什么关系呢？ P[提示] 的图象可由函数y= 白新知初探 sinx的图象经过平移 知识点一参数A,o,p对函数y=Asin(wx+p)图象的影响 变换和伸缩变换得到， 1.p对y=sin(x+p),x∈R的图象的影响， 当p>0时，向 y=sx的图象 →平移1知l个单位长度 ly=sin (xto) 当p<0时，向 的图象 2.w(w>0)对y=sin(wx+p)的图象的影响： y=sn(x+p)的图象 当w>1时， 上所有点的横坐标 当O<ω<I时 原来的六倍 y=sin(wxtp） 的图象 3.A(A>0)对y=Asin(wx+p)的图象的影响. y=n（0x+p）的图 当A>1时 原来的 y=An(ωxtp) 象上所有点的纵坐标 当0<A<1时， A倍 的图象 知识点二 函数y=Asin(wx+p)(A>0,w>0)的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [-A,A] 周期性 T=2π 对称中心 k-,o(kEZ) 对称轴 x=hm+T29(k∈Z) 2w 当 时是奇函数 当 时是偶函数 由2m-≤ar+9≤2km+5,keZ,解得单调递增区间 由2hm+ ≤ox+0≤2km+3π，k∈Z,解得单调递减区间 2 10 目预习自测 1,下列说法中正确的个数是 ①y=sin3x的图象向左平移牙个单位所得图象的解析式是y=sim3x+平）： ②y=sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式 是y=sin2x. ③y=sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式 1 是y=2sinx, A.0 B.1 C.2 D.3 2.函数y=Asin(wx+p)+1(A>0,w>0)的最大值为5，则A= A.5 B.-5 C.4 D.-4 题型探究提技能 [方法总结1] 题型一三角函数的图象变换 三角函数图象变换的方法 一（先平移后伸缩）和方法 1,如何由函数y=smx的图象得到函数y=3sm2x-牙) +1的 二（先伸缩后平移）需要注 意以下两点： 图象？ 1.两种变换中平移的单位 长度不同，分别是|p【和 [方法总结1] “但平移方向是一 致的。 2.虽然两种平移单位长度 )跟踪训练1 不同，但平移时平移的对象 已有变化，所以得到的结果 (1)将函数y=sinx的图象向左平移T个单位长度，再向上平移2个单位 是一致的 长度，得到的图象的解析式是 () [方法总结2] 用“五点法”作函数y= Ay=sinx-牙+2 By=simx+④-2 Asin(wx+p)图象的步骤 第一步：列表 Cy=mx--2 D.y=sinx+平}+2 ωX十9 、9 (2)要得到y=sin2x-T 4 的图象，只要将y=sin2x的图象 0 0 0 元 0 2 A A向左平移g个单位 B.向右平移鸳个单位 2wω 元 0 C向左平移平个单位 D.向右平移平个单位 ωω 3元 3元 -A 题型二“五点法”作函数y=Asin(ox+p)的图象 2 2wω 2π 2π_9 0 例2用五点法~作出函数y=m2x+石在一个周期内的简图， 第二步：在同一坐标系中 描出各点 ●[方法总结2] 第三步：用光滑曲线连接 这些点，得到一个周期内的 图象，再将图象左右延伸 即可. 181 》跟踪训练2 已知函数x)=c0s2x-胃)，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，]上 的图象。 [方法总结3] f八x) 由图象确立三角函数 的解析式时，若设所求 解析式为y=Asin(ωx +p),则在观察图象的 2 基础上可按以下规律 来确定A,ω，p 1.A:一般可由图象上 】 的最大值、最小值来 确定 2.ω： 因为T2元，故 题型三由图象求三角函数的解析式 往往通过求周期T来 例3.如图是函数y=4sn(a+)(4>0,w>0,g<受] 的图象的一部 确定ω.可通过已知 曲线与x轴的交点来 分，求此函数的解析式 >[方法总结3] 确定T,即相邻的最高 点与最低点之间的距 禹为2：相邻的南个 最高点（或最低点）之 、3 间的距离为T T 6 3.9:从“五点法”中 》跟踪训练3 (1)函数y=Asin(wx+p)的部分图象如图所示，则 的第-个点80 (也叫初始点)作为突 ( ) 破口，要从图象的升降 Ay=2sin2x-石 B.y=2sin2x- 情况找准第一个点的 位置. C.y=2sin 2x+ 6 D.y=2sin2x+ 3 在用以上方法确定 的值时，还要注意题目 中给出的p的范围，不 在要求范围内的要通 过周期性转化到要求 范围内 0十 4.A,ω，p三个量中初 相P的确定是一个难 第(1)题图 第(2)题图 点，除使用初始点 (2)如图所不是函数)=Asin(a+p)u>0.0<g<5引 的部分图象，则 “0]外，还可在 = 五点中找两个特殊点 列方程组来求解P. A.-2 B.-√2 C.2 D.2 182 题型四正弦型函数y=Asin(ox+p)图象的性质 例4已知函数x)2n2x+君+圣 [方法总结4] (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； 对于函数y=Asin(ωx (2)求(x)的图象的对称轴方程和对称中心； +p)的性质注意整体 (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合 思想的应用，视“ωx >[方法总结4] +p”为一个整体，结 合正弦函数y=sinx 的性质灵活应用.确定 函数y=Asin(ωx+p) (A>0,w>0)单调区间 时，可令“z=ωx+ φ”，即通过求y= Asin z的单调区间而 求出函数的单调区间. 】跟踪训练4 若ω<0，则可利用诱 导公式先将x的系数 已知函数f八x)=sin(ωx+p)(ω>0,0≤p<T)是R上的偶函数，其图象关 转变为正数，再求单调 区间. 于点M3,0对称，且在区间0,2上具有单调性，求9和“的值， 随堂检测重反馈 1.将函数y=snx+牙的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函 数解析式是 A.y=cos 2x B.y=sin2x+ c.y=sm(2+g】 D.y=sin(2x+ 2.函数y=c0s2x-石)+1的一个对称中心为 A石0 B.(30 C.s! D.3) 3.要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos2x+平的图象 A向左平移智个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移平个单位长度 D.向右平移T个单位长度 4 163 4某同学用“五点法”画函数y=Asin(ox+p)A>0,o>0,lg<7在一个周期内的简图时，列表 如下： ωx+p 0 3π 2 T 2 2T T 5π 7π 3π 12 4 12 12 4 y 0 2 0 -2 0 则根据表格可得出A= ,= ,p= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[56] S.7三角函数的应用 新课程标准解读 学科核心素养 了解y=Asin(wx+p)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周 直观想象 期、相位、初相。 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模 型解决一些简单的实际问题， 数学建模、数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 “天津之眼”摩天轮直径为110米，轮外装挂48个360 度透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供384个人 观光，旋转一周所需时间为28分钟，顶，点高度为119.8米. 乘客登上摩天轮后，在旋转过程中他距离地面的高度 与时间有怎样的关系呢？ P[提示] [提示] 可将其抽象为一个数 日新知初探 学问题，建立三角函数 知识点函数y=Asin(wx+p),A>0,w>0中参数的物理意义 模型来解决 是相位 x=0时的相位 称为初相 y=Asix（wxtp) A>0,0>0 振幅是 周期是T= 频率f 白预习自测 1函数y=3m子x+石） 的周期、振幅、初相分别是 6 1 T A.3T,36 1 T B.6T,3’6 C3m3,-6 D6m,3君2m2,此函数既不是奇函数也不是偶函数放选D 5π 2币 11 12 6 12 3 12 3.元因为代x)=im2x=1-cs2x,所以f(x)的最小正周期T 2 m(2+ 0 0 0 描点、连线，如图所示 55mx+3s=25(sin co号+mn号） 4. 2 2s(x+号）m(x+p）=m(+号）：-<< 9=号六m2=m号- 3 5.6函数y=Asin(wx+p) 跟踪训练2：f(x)=cos 2x- ,列表如下 教材梳理 明要点 2x-π T 3 0 2 T 2 新知初探 知识点一 0 5π 2π 11m 1.左右2.缩短伸长3.伸长缩短 6 12 12 知识点二 f(x) 0 0 奇偶性p=km(keZ)p=km+牙(keZ)单调性 图象如图. 预习自测 Ax) 1.A①y=simn3x的图象向左平移元个单位得y= sn3(x+子)川=in(3x+子），放①不正确：②y=m2x 2 5 11元 1 应改为y=si血x,故②不正确：③y=2nx应改为y= 2园 0 25t/ 2sinx,故③不正确.故选A. 2.3.. 2 2.C 题型探究提技能 向右平移：个单位长 3 例3：方法一：（逐一定参法）由图象知 例1：方法一：y=sinx一 y=sim(x-号) 将各点的横坐标缩短为原来的？纵坐标不 A=3,1g-(-若）m y=sm(2x-牙） a=2要=2y=3sin(2x+p）. 将各点的纵坐标伸长为原来的3 横坐标不变 y=3sin(2x-号） “点(-石0)在函数图象上， 向上平移1个单位长度 y=3sin(2x-号）+1 -看×2+e=0+2m,keZ。 将各点的横坐标缩短为原来的一纵坐标不变 又1g1<受9=号y=3sim(2x+号） 方法二：y=sinx 向右平移石个单位长 方法二：（五点对应法）由图象知A=3. sin 2x- y=m2(x-) 图象过点（号，0）和(，0）， 将各点的纵坐标伸长为原来的3倍 ,T 横坐标不变 y=3sim2(x-） 3+p=m, f0=2, =3血(2x-)向上平移1个单位长度 +e=2m解得{e=y=3sm(2+号)】月 解得{。 y=3sim(2x-） .6 +1. 跟踪训练1：(1)D(2)B 方法三：（图象变换法）由A=3,T=,点（-石，0）在图 【解析】（山）向左平移平个单位长度得y=如(x+平），再 象上， 可知函数图象由y=3sin2x向左平移石个单位长度而得。 向上平移2个单位长度得y=m(x+平）+2，故选D 右移日个单 y=3sim[2(x+君)小即y=3m(2x+号)月 (2)y=sin 2x y=m2(x-）=血(2x 跟踪训练3：(1)A(2)B 晋)故选B 【解标】（①）由图知，4=2，周期7=2[号-(-石)门= 例2：列表： 所以0=2红=2，所以y=2sin(2x+p).因为图象过点（写 2x+π 0 3T 6 T 2）,所以2=2sm(2×号+e)所以m(写+9）=l,所以 356 +0=2m+受(keZ).令6=0得9=-石，所以y 5.7 三角函数的应用 2xim(2x-若）月 教材梳理 明要点 新知初探 (2)由函数f(x)=Asin(or+p)(0>0,0<9<牙)的部分 知识点 因象，可得振指4=2，子=号-（-日）=子，即7=m axto A 2π0 2知，所以0=2，所以)=2sim(2x+p).因为函数图象过点 预习自测 1By=了m(分+石)的周期T=亞=6m,振幅为行，初 (日，2)，将此点坐标代入函数解析式可得2=2sn(2×号 +9）,由2×g+p=受+2km,keZ,解得9=平+2km,ke 相为π.故选B 6 Z又因为0<<牙，所以0=牙，所以函数的解析式为)2名 已知得20=1，所以√气-2，号=4,1= g =2in(2x+),所以/(）=2sm(+子)=-厄 N 题型探究 提技能 :(1)函数)的最小正周期7-受=， 例1：(1)D(2)AD 由2km-受≤2x+石≤2km+2(keZ), 【解析】(I)依题意是求函教s=6sim(2mt+石)的周期，T 得km-哥≤≤m+石(keZ), 所以x)的单调递增区间为[m-号，km+石(keZ). （2)由画教图象得A=10,1=2(品00）=00 T (2)令2x+晋=km+受(keZ),测x-钙+石(keZ, 100,所以1=10sm(100+p）,由透数图象经过点(30， 所以对称轴方程为x=受+石(e2): 10）,代入函数解析式，得10=10sim(100m·300+9）,即 令2x+君=km(keZ),则x-经-(keZ, s血号+9）=l,得号+9=牙+2km,keZ,p=石+2km,k 所以对称中心为（经-晋）keZ. 6)当m(2+君）=-1，即2x+君-受+2m(ke2, eZ,国为0<g<受，所以p=石，所以1=10in(100mt+ =一号+k(keZ)时x)服得最小值为子， ）,当1=00秒时电流强度1=10sin(10m10+看） -5. 此时x的取值集合是{xx=-写+km人keZ。 跟踪训练1：7函数y=-sinx的周期T=4,且x=3时y=1 跟踪训练4：由f代x)是偶函数，得f代-x)=f(x), 取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7. 即函数f代x)的图象关于y轴对称， ∴.f代x)在x=0时取得最值，即sinp=1或sinp=-1. 例2：(1)设h(t)=Asin(ot+p)+b,由题意得A=8,T=12,b =10; 0≤0<m0=7 则w-2牙=石，当1=0时h=2,即m9=-1 T 由)的图象关于点M对称，可知s血（子+受）=0， 即受。+号=eZ解得a普-号eZ 因此9=受 又)在[0，）上具有单调性，1S,即2四≥m 放h(0=8sm（石-受）+10，≥0 六0≤2，又如>0=1时，w=号6=2时，=2 (2)由题意h()>14,即8n(名-受）+10>14， 1 放0=受m2或号 随堂检测重反馈 又因为0≤t≤12，所以4<t<8. 故在第一圈4<t<8时点P离地面的高度超过14米 1.D2.D 3.B平移问题遵循“左加右减，只针对x而言”的原则.y= 跟踪训练2：A由1min旋转4圈，则转1圈的时间为T= co(2x+4)需右移g个单位，得到y=os2x m=15(s),则o=号-答义由图可知A=3, 4 423一子由表格得A=2.T=-晋-怎0=3， 附3：(1)由表中数据，知周期T=12心2牙=石 a+g=3x+g:当=8时，3+0=牙+p=0,p 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 又由t=3,y=1.0,得b=1.0, 1 1 t+1 ·A=0.5,b=1.0,即振幅为2心y=2cos6 -357-