5.2.1 第1课时 三角函数的定义-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

●135 S.己三角函数的概念 5.2.1三角函数的概念 第1课时三角函数的定义 新课程标准解读 学科核心素养 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 数学抽象 会利用任意角的三角函数的定义求值 数学抽象、数学运算 熟练掌握三角函数值在各象限的符号 直观想象 掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题. 数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 初中我们已经学习过锐角三角函数，如图在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,则 正弦：sinA= ∠A的对边a 斜边c 斜边c ∠A的 对边a 余弦：c0sA= ∠A的邻边b 斜边c ∠A的C 邻边b 正切：tanA=∠A的对边a ∠A的邻边b 锐角A的正弦、余弦和正切叫做∠A的三角函数 [提示] 我们把角的概念推广到了任意角后，三角函数的概念又是怎样的呢？ 在平面直角坐标系中 定义任意角的三角 [提示] 函数 白新知初探 知识点一任意角的三角函数的定义（单位圆法） y 如图，设a是一个任意角，a∈R,它的终边 P(x,y)x 条件 OP与单位圆相交于点P(x,y) 正弦点P的 叫做a的正弦函数，记作sin,即y= 余弦点P的 叫做a的余弦函数，记作cos a,即x= 点P的纵坐标与横坐标的 叫做a的正切，记作tan a, 正切 定义 即Y= (x≠0) 正弦函数y=sinx,xeR 三角 余弦函数y=cosx,x∈R 函数 正切函数y=anx,x子牙+m,k∈乙 136 知识点二三角函数的定义（坐标法） 如图，设x是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点 O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r,则sin= COS tan a= [知识点反思] [知识点反思] 目预习自测 三角函数值实质是一 1.若角α的终边过点(2，-5)，则 ( 个比值，因此分母不能 A.sin =5 2 B.cos a=- C.tan a=- 5 5 为零，所以正切函数的 29 D.tan c=2 定义域就是使分母不 为零的角的集合. 2如图，已知a=,0=25,则点P的坐标为 题型探究提技能 题型一 单位圆法求三角函数值 [方法总结1] 例 1利用定义求的正弦、余弦和正切值 >[方法总结1] 单位圆法求三角函 数值 1.确定角的终边与单 位圆的交点的坐标； 2根据三角函数的定 义sina=y;cosa =x;lana=9(x≠ 跟踪训练1 0 (1)设角a的终边与单位圆相交于点P务，-号，则snQ-csa的值是 c (2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为 多求ma ●137 题型二坐标法求三角函数值 例2已知角a的终边过点P(-3a,4a)(a≠0)，求2sina+csu的值 [方法总结2] 坐标法求三角函数值 ●[方法总结2] 1.已知角Q的终边上 一点P(x,y)求三角函 数值时，先求r=|0P =√X+y,再根据定 文sina=y,cosa )】跟踪训练2 文m。=头确定 (1)已知角a的终边经过点P(2,-3),则sin a= tan a 三角函数值； 2.如果含有参数，要注 意对参数进行讨论. (2)已知角a的终边上一点P(m,月)，且cos&=而， 4,则m 题型三三角函数概念的综合应用 例3.已知角a的终边在直线y=-3x上，求10sina+3的值 [方法总结3] cos a 在解决有关角的终边 ●[方法总结3] 在直线上的问题时，应 注意到角的终边为射 线，应将直线以原点为 端点分为两条射线，分 别在两条射线上取点 求三角函数值 》跟踪训练3 已知角0的终边在射线y=-x(a≠0，y<0)上，且1am0=-a,求sin0, cos0的值， 13B 随堂检测重反馈 1.已知角的终边过点P(-2,1),则cosa的值为 B 5 C.26 5 D.-25 5 2.已知角a的终边与单位圆交于点P-3,y)>0),则sina= A号 C.-22 3 D.22 3.若c0sa=- ，且角a的终边经过点Px,2》.则P点的错坐标x是 A.2√3 B.±23 C.-22 D.-23 4.已知角a的终边在直线y=x上，则sina= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[42] 第2课时 三角函数值的符号及诱导公式一 教材梳理明要点 9情境导入 45°，120°，245°等在(-360°，360°)范围内的角，我们可以通过旋转的 方式快速确定其终边位置，进而判断三角函数值的正负.对于绝对值较大 [提示] 的角如-1205°、3500°等，如何快速确定三角函数值的正负呢？ 利用诱导公式一可实 现负化正，大化小，迅 [提示] 速判定三角函数值的 e新知初探 正负， 知识点一三角函数值的符号 如图所示： sin a cos a tan o 正弦：一二象限 ,三四象限 余弦：一四象限 ,二三象限 正切：一三象限 ,二四象限 知识点二 诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(a+k·2π)= c0s(a+k·2m)= tan(a+k·2π）= ,其中k∈Z.(2)由2r+l=8得1=8-2r,r∈(0,4)， 则5==2(8-2r=4-7=-(-22+4, 3 1 =-5. 当r=2时，S=4,此时1=4，圆心角&=子=2. 跟踪训练1：(1)A(2)见解析 跟踪训练3：(1)D(2)C 【解析】（1)设扇形的圆心角为0，半径为，则 【解新】（①）角a的终边与单位国相文于点P(号，-号) [2=15解得 rr=6, 4 3 43 π故扇形的圆心角为3严 则sina=- 5,cosa=号，所以sina-cosa=-5- 10=6 6 lm=5π， (2)设圆的直径为2，则圆内接正方形的边长为√2m.:扇子 了故选A 的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，“扇子的孤长等 (2)由题意，设点A的坐标为(x,子)，所以+（号）=1， 于万r圆心角a(0<a<T)的孤度数为E=万 解得x= 随堂检测重反馈 1.D根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之 53 比等于1的角，所以1ad的圆心角所对弧长等于所在圆的半 当x=号时，角心在第一象限，m《= 4 49 径，故选D. 5 2.B 1 rad 3 4 5 -600°. 当x=-于时，角a在第二象限，ama 4 4 3.C角的表示必须保持制度一致，即角度制与弧度制不能混 5 用，故排除A,D:而180°角与m角对应，于是1°角与8角对 例2：r=√(-3a)2+(4a)2=51al, ①若a>0,则r=5a,角au在第二象限. 应，故选C 4.25150=6,.孤长1=6”×-5。 sin a=y=4a=4 r 5a 6 2 =3m 83 5.2 所以2sim+cosa=分-号=l. 三角函数的概念 ②若a<0,则r=-5a,角在第四象限， 4 5.2.1三角函数的概念 -5a 第1课时 三角函数的定义 所以2咖a+w《=号+子-1 教材梳理 明要点 跟踪渊练2：)-3-号(26 13 新知初探 知识点一 【解析】(1)因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r= 纵坐标y sin a横坐标cos a比值tan a 2+(-3)=3.于是ima=上=-3=33 13 13 知识点二 ÷ (2)由题意得x=m,y=5,.r=I0P1=√m2+3,∴.cosa= 预习自测 1.C因为角a的终边过点(2，-5)，则r=√29，所以sina=- 立=+4，很明显m>0,解得m=5 29,c0sa=229 529 29 例3：由题意知，cosa≠0. 设角α的终边上任意一点为P(k,-3k)(k≠0)，则x=k, 2.(-2,-2)因为u=4,所以im=cos&= 设 y=-3k,r=√+(-3k)2=√101k. 力，流赤=号所以=y-2,即八-2,2 ①当k>0时，r=√10k,a是第四象限角， ma=上=-3站=30,1=上=ok=o, = 题型探究提技能 T/10k 10'cos a x k 例1：如图所示，平的终边与单位圆的交 2受的终边 。=10×(36）+30:-3m 所以10sin&+3 为P,过点P作PB⊥x轴于点B, +3√10=0. 在△OPB中，IOPI=L,LPOB=号 ②当k<0时，r=-√0k,a是第二象限角， 则1a1=.1061= sin a =y 2 流3。子 -√10k 则（受） -0 所以0na+3a=10x2+3x(-⑩=31而- -342- 3√10=0. ②：受<<m积是第二象限角，则m行>0,6m行<0 综上所述，10sina+ 30. cos a 1<0. 1 跟踪训练3：因为角0的终边在射线y=-。(a≠0，y<0)上， 跟踪训练1：(1)B(2)见解析 所以可设P(a,-1)(a≠0)为角0终边上任意一点，则r= 【解析】(1)依题意得ana<0由ana<0知，&是第二、 a+1(a≠0). Lcos a<0. 又tam0=-a,所以-=-a,解得a=±1. 四象限角.当a是第二象限角时，cosu<0,符合题意；当&是 第四象限角时，cosa>0,不符合题意. 0是 当a=1时，r=2,im0=-2,c0 (2)0号<3<m,m<4<72<5<2m,n3>0.cs4<0, 22 tan 5<0. 当a=-1时=反sn0=-号m0=一号 ∴.sin3·cos4·tan5>0. 随堂检测重反馈 ②.a是第二象限角，∴.sina>0,cosa<0,.sin acos o<0. 例2：(1)原式=sim(-4×360°+45)·cos(3×360°+30°)+ 1.D由角ax的终边过点P(-2,1),所以cosa= c0s(-3×360°+60°)sim(2×360°+30°) 个》示汽改选D -2 =sin45°cos30°+cos60°sin30° 2×5,1×1-6,1-1+6 2D因为角a的终边与单位圆交于点P(-了，小(y>0),所 2×2+2×2=4+4=4 以（专）+护=1解得y=2识所以血a=y3 22 2)原式=m(-4+若）+eas(4m+号m）m6 3 2 1 +2 3.Dr=√2+2，由题意得x<0且x 9所以： 跟踪训练2：()原式=c0s(8m+号）+am(-4+子） -25.故选D. 3 4② 易知角α的终边在第一象限或第三象限，当角α的终 =w+m牙-1-多 (2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)- 边在第一象限时，角α的终边与单位圆的交点P的坐标为 c0s(360°+0°) (停马)则血a=号：当角a的终边在第三象限时，角心 (E迈 =1+1-1=1. 例3：(1)D(2)B 的终边与单位圆的交点P的坐标为(-号，-号)，则m 【解析】(1)因为tan2023°=tan(360°×5+223)= tan223°>0，c0s2023°=c0s(360°×5+223)=c0s223°<0， =-只综上可知，ma=号或血a=一号 所以，点P(tan2023°，cos2023°)位于第四象限. 2 (2)依题意知0是第四象限角，所以sin0<0,cos0>0,tan0 第2课时三角函数值的符号及诱导公式一 <0,所以y=-1+1-1=-1. 跟踪训练3：(1)D(2)C 教材梳理明要点 新知初探 【解折】（(1)由sm经=血(2红+号）=m晋>0， 知识点一 正负正负正负 m(0）=ao(-6m+号）=m要<0， 知识点二 sin a cos a tan a 所以点P(sm,m(-)）位于第四象限 预习自测 (2)因为sin1110°=sin(3×360°+30)=sin30°= 1.B由sin a>0知a终边在第一、二象限或在y轴正半轴上； 2 由tana<0知a终边在第二、四象限.综上知a为第二象 限角 所以1g:(4sin110）=le(4x分）=lg2=1 2.A由诱导公式一及特殊角的三角函数知：in25π=sin(4m 随堂检测重反馈 6 1cm(9）=i加(-4+子）=m子m=故 选C 题型探究提技能 2.D角a为第三象限角，.tana>0,sina<0,.点P(tana, 例1：(1)D(2)见解析 sina)在第四象限.故选D. 【解析】(1)由cosa>0,得角a的终边在第一象限或第四3.C角a的终边过点(-5，-3)，.sina<0,cosa<0,tana 象限或x轴的正半轴上.由sina<0,得角a的终边在第三象 >0,∴.sin acos>0,故选C. 限或第四象限或y轴的负半轴上.综上可得，角α的终边在第 四象限. 4原式=co(号-2m）+sm(2m+石）·am(0+8m) (2)①.105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴.sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0. =eas号+sm石m0=分+0=分 -343