4.5.3 函数模型的应用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

120 3.下列图象表示的函数中没有零点的是 4.函数(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f1.40625)=-0.054 那么方程x2+x2-2x-2=0的一个近似解（精确到0.1）为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[38] 4.5.3 函数模型的应用 新课程标准解读 学科核心素养 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具， 数学建模 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 根据计算方法不同，利息可以划分为单利 和复利.单利是指在借贷期限内，只在原来的 [提示] 本金上计算利息；复利是指在借贷期限内，除 解决这一问题，首先要 建立一个指数函数关 了在原来本金上计算利息外，还要把本金所产 系式，即y=a(1+r)产， 生的利息重新计入本金，重复计算利息.比如， 将相应的数据代入该 如果投资的平均年回报率为10%，那么只要7.2年后本金就可以翻一番. 关系式就可得到. 如果投资10万元，7.2年后就变成20万元，14.4年后变成40万元， 21.6年之后变成80万元，28.8年之后就可以达到160万元.由此可见复 利的威力巨大.那么这是如何计算的呢？ P[提示] [知识点反思] 若已知的数据较多，可 e新知初探 以绘出散点图，观察图 知识点指数函数与对数函数模型 象的增长（减少）的趋 势特征，选择函数模 指数函数模型 y=ba+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 型，再通过具体数据验 对数函数模型 y=mlogx+n(m,a,n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 证 [知识点反思] ●121 ©预习自测 1.某厂2023年的产值为α万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到 2035年的产值（单位：万元）是 A.a(1+n%)13 B.a(1+n%)2C.a(1+n%)ⅡD.a(1-n%)2 2.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog(x+1),设这种 动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到 只 题型探究提技能 题型一指数函数模型的应用 例1一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每 个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机 时占据内存2KB,每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟 后的病毒所占内存为yKB. (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果病毒占据内存不超过1GB(1GB=20MB,1MB=20KB) 时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长 [方法总结1] ●[方法总结1] 指数型函数模型：y =ma*(a>0且a≠/， m≠0)，在实际问题中， 有关人口增长，银行利 奉，细胞分裂等增长奉 问题都可用指数型函 数模型来表示。 》】跟踪训练1 已知八)=1+(xeN)描述的是种果树的高度随若时间（单位： 年)变化的规律，则该果树的高度超过4.8m,至少需要 () A.3年 B.4年 C.5年 D.6年 122 题型二对数函数模型的应用 例2有一种候鸟每年都按一定的路线迁徒，飞往繁殖地产卵，科学家经过 测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数”=20一g,单位 是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x。代表测量过程 中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差（参考数据：1g2=0.30,32=3.74, 34=4.66). (1)当x,=2,候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速 [方法总结2] 度是多少km/min? 对数型函数模型：当 (2)当x=5,候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ =mlog.x+c(m≠0，a (3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min,同类雌鸟的飞行速度为 >0且Q≠1)，对数型 l.5km/min,则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量 函数模型一般给出函 的多少倍？ 数关系式，然后利用对 利用对数运算，两式相减构戍耗氧量的商 数的运算求解. ●[方法总结2] )跟踪训练2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑 鱼的游速v(单位：/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数 8=灿g品+6，其中k,6为帝数已知一条韩鱼在静止时的耗氧录为 100个单位；而当它的游速为1.5/s时，其耗氧量为2700个单位. (1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式； (2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要多少个 单位 ●123 题型三实际问题中的函数模型选择问题 例3中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验 表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮 用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达 到最佳饮用口感的放置时间，每隔1in测量一次茶水温度，得到茶 水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 2 3 4 5 水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从100℃开始，经过xmin后的温度为y℃，现给出以下三 种函数模型： ①y=kx+b(k<0,x≥0)： ②y=ka+b(k>0,0<a<1,x≥0)； [方法总结3] ③y=log.(x+k)+b(a>1,k>0,x≥0) 通过收集数据直接解 (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单 决问题的一般步骤 叙述理由，并利用前2min的数据求出相应的解析式； 第 根据数据选择一 →个能刻画其特征 (2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感 的函数模型 的放置时间（精确到0.01）； 选择其中的几组 (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时 步 →数据求出函数模 型 的室温为多少℃，并说明理由.（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈ 将已知数据代入 0.477.) 第三步 → 所求出的函数模 型进行检验，看 >[方法总结3] 其是否符合实际 用求得的函数模 第四步 〉型去解决实际问 题 124 》跟踪训练3 1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科 学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU,AU是天文学中计量天体之 间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗 未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列 出了如下表所示的数据： 行星编号(x) 1(金星)2（地球）3（火星）4( )5(木星)6（土星） 离太阳的距离(y) 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01 (1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已 有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选 出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）； ①y=ax+b:②y=a×2*+b;③y=alog2x+b. (2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数 据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合） (3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离 Y/AU 10 9 6 )4 32 0123456/行星编号 随堂检测重反馈 1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为 4 5 6 7 8 9 10 18 21 24 27 30 33 36 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 2.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021 年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数 关系式是 ( A.y=0.95·m B.y=(1-0.05)·m C.y=0.950-·m D.y=(1-0.050-)·m 3.某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m,则这6年间平均每年的增 长率是 A.20% B.50% C.2-1 D.2+1 4.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总 收人K是单位产品数Q的函数，K(Q)=400-Q,则总利润1(Q)的最大值是 万元 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[39].实数m的取值范围是(-5，-1). 跟踪训练4：函数f(x)=kx2-（2k+1)x-3的图象是连续曲线， f(子)>0，区间长度2-4=025>02，分三次() 则由题意可知f(-1)·f1)<0且f1)·f代3)<0， 715 <0,区间长度4-8=8 <0.2,所以最多分三次可以使 即{23站8解得≤-4或>2 x。的近似值达到精确度0.2. 故实数k的取值范围是{k1k<-4或k>2}. (2)由参考数据知，f(1.5625)≈0.003>0，f(1.55625)≈ 随堂检测重反馈 -0.029<0,即f1.5625)·f1.55625)<0,且1.5625- 1.Df(x)=x(x-1)(x+1),令x(x-1)(x+1)=0,解得x=0 1.55625=0.00625<0.01,fx)=3-x-4的一个零点的 或x=1或x=-1,即函数的零点为-1,0,1，共3个. 近似值可取为1.5625. 2.C函数f代x)=x2+x+m有零点，.方程x2+x+m=0有 例3：先在天平左右各放4个球.有两种情况： (1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中 解，则4=1-4m≥0，解得m≤子，由于m≤子→m<1,m<1 取剩下的4个球中的3个球放在天平的一端，取3个好球放 力m≤子“m<1”是“函数)=+x+m有零点“的必 在天平的另一端。 ①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1 要不充分条件 个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重； 3.Cf1)=2+1=3>0f(2)=4+2=6>0f(0)=2°=1>0， ②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还 是重.任取其中2个球，天平两端各放1个，无论平还是不平， -1)=方-1=-之<0-)0)<0，放选C 均可确定“坏球” 4.1由f(a)·f(b)<0知f(x)=0在[a,b]上至少有一个实数 (2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端 根，又f代x)在[a,b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根 较重. 从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个 4.5.2 用二分法求方程的近似解 球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看 天平，有三种可能. 教材梳理 明要点 ①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重； 新知初探 ②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左 知识点一 端移到右端的3个球中，并且偏轻； 连续不断fa)·fb)<0 ③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有 知识点二 两个（左右各一），“坏球”是其中之一（暂不知是轻还是重）. 1.fa)·fb)<03.0<<4.< 对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏 预习自测 球”，且知其是轻还是重 1.C由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a,b]上的 跟踪训练3：取价格区间「500,10001的中点750元，低了：就再 图象连续不断，且f(a)·f代b)<0,即函数的零点是变号零点 取[750,1000]的中点875，高了；就取[750,875]的中点，遇 时，才能将区间[a,b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对 到小数，则取整数，照此猜下去，可以猜价：750,875,812,843， 各选项分析可知，选项A、B、D都符合，而选项C不符合，因为 859,851,经过6次即能猜中价格 在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的 随堂检测重反馈 近似值. 1.B函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标 2.Af-2)=(-2)3+5=-8+5=-3<0,f1)=1+5=6 2.B 根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之 >0,f-2)·f1)<0,故选A 间，区间长度为1，每使用一次二分法可以使区间长度变为原 题型探究提技能 例1：(1)B(2)A 来的7，则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为 【解析】(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该 4不能确定近似解。当他第7次使用二分法时，确定区间 1 零，点左右的函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近 似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机或计算器 意为)=确定了方程的近似解，则该近似解的精确 来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错 (2)由图象可得，A中零，点左侧与右侧的函数值符号不同，故 11 可用二分法求零点 应该在(284)之间.故选B 跟踪训练1：(1)B(2)A 3.A由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在体现在函 【解析】(1)由精确度6定义知，6越大，零点的精确度越低 数图象与x轴有无交点上 (2)由题意可知△=36-4c=0,∴.c=9.故选A 4.1.4.f(1.4375)=0.162,f(1.40625)=-0.054 例2：(1)BCD(2)(1,2) f1.4375)·f(1.40625)<0,即方程有一个近似解在 【解析】(1)由已知可得f(0.09375)<0,f(0.125)>0,则 (1.40625,1.4375)内.又方程的解精确到0.1，.可取方 函数f代(x)的零点的初始区间为(0.09375,0.125)，所以零，点 程近似解为1.4. 在区间(0.09375,0.125)上10.125-0.093751=0.03125< 4.5.3函数模型的应用 0.05,所以在区间[0.09375,0.125]内的值都符合题意. (2)设f(x)=2+3x-7,f(1)=2+3-7=-2<0,f(3)= 教材梳理 明要点 10>0,f2)=3>0,f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程 预习自测 2*+3x-7=0下一个有根的区间是(1,2) 1.B2023年的产值为a万元，2024年的产值为a+a·n%= 跟踪训练2：(1)A(2)1.5625 a(1+n%）,2025年的产值为a(1+n%)+a(1+n%)·n% 【解析】(1)由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一 =a(1+n%)2,…,2035年的产值为a(1+n%)2 次(3)>0，区间长度2-2=0.5>0.2，分二次， 2.300由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y= alog(x+1),这种动物第1年有100只，所以100=alog(1+1), -338 所以a=100,所以y=100log2(x+1),所以当x=7时y= 100=k+b 100log2(7+1)=100×3=300. 将表中前2min的数据代人，得 92=ka+b, 解 题型探究提技能 84.8=ka2+b. 例1：(1)因为在刚开机时它占据内存2KB,然后每3分钟后所 rk=80, 占的内存是原来的2倍，所以，一个三分钟后它占据的内存为 得{a=0.9 2×2=22KB: Lb=20 两个三分钟后它占据的内存为2×2×2=2KB; 所以函数模型的解析式为：y=80×0.9*+20. 三个三分钟后它占据的内存为2×2=24KB; (2)由(1)中函数模型，有80×0.9+20=60，即0.9=2所 所以，x分钟后它占据的内存为21KB,所以y=2字1： 以x=loga92: (2)由2子1=20·2=20，得号+1=20，解得x=57. -lg 2 Ig 2 0.301 即x=g09-2g3*1-2×0.47≈6.54， 所以，本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟， 所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54mi能达到最佳饮用 跟踪训练1：B因为f()了 5 1+A,所以)在 口感 (3)由y=80×0.9+20为减函数，且当x越大时，y越接近 4 20,考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶 [0,+∞)上单调递增，且3)=，5 =80<4.8,f4)= 1+4=9 所在实验室的室温约为20℃. 跟踪训练3：(1)散点图如图所示： (十3=320>4.8，故该果树的高度超过4.8m,至少需要 Ay/AU 65 11 10外 4年 例2：(1)由题意，=2，x=8100, 得：=宁®00-g2=17。 65 故此时候鸟的飞行速度为1.7km/min 32 (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0= 2g0-g5, 0123456/行星编号 根据散点图可知，模型②符合题意 即1og100=21g5,解得：x=466, (2)将(1,0.7)，(2,1)，(3,1.6)分别代入y=a×2*+b, ra×2+b=0.7, 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位， 得a×22+b=1,解得a=0.15,b=0.4, (3)设雄鸟的耗氧量为：1，雌鸟的耗氧量为x2, a×23+b=1.6, f25=2g0 x1 -g0, 所以y=0.15×2+0.4(xeN*) 由题意得： 当x=5时，y=0.15×2+0.4=5.2,误差5.21-5.2=0.01 -lg o, <0.2,吻合， 两式相减可得1=宁吧号 当x=6时，y=0.15×2+0.4=10,误差10.01-10=0.01< ，解得：4=9， 0.2,吻合， 所以，模型与数据吻合 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍 (3)当x=4时，y=0.15×24+0.4=2.8, 0=ls惯+6， 即谷神星距太阳的距离为2.8AU. 跟踪训练2：(1)由题意可得 解得k= 随堂检测重反馈 2700 .5=k·1og100 +b, 1.A随着自变量每增加1，函数值增加3，函数值的增量是均匀 3b=0, 的，故为线性函数即一次函数模型. 2.A设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的g%.由题意 所以游速与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式v= 可知(g%)0=0.95,所以g%=0.950,所以从2021年起，x 2g180 0 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y= 0.95ò·m. （2)由题意，有宁吧品≤2.5，即g品<5，所以1g Q Q 3.C设6年间平均年增长率为x,则有1200(1+x)6=4800, ≤log35, 解得x=2-1.故选C. 由对数函数的单调性有0<品≤3，解得0<0≤2430， 4.2500每生产一单位产品，成本增加10万元，∴.单位产品 数Q时的总成本为(2000+10Q)万元，·K(Q)=40Q 故当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要 0Q…利涧40)=400-200-100-200=-00- 24300个单位. 例3：(1)选择②y=ha+b(k>0,0<a<1,x≥0)作为函数模型， 300)2+2500,.Q=300时，利润L(Q)的最大值是2500 由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不 万元 应该选择对数增长模型③： 章末复习与总结 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同 一个常数，所以不应该选择一次函数模型①. 例1：(1)原式=(103)亨+(22)15-1π-41=10+8-(4 故应选择②y=ka+b(k>0,0<a<1,x≥0) m)=14+π. -339