3.1.2 第1课时 函数的表示法-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

同，y=√(3-x)7与y=x-3不是同一个函数 4.[-3,2]由题意得-2≤x+1≤3，..-3≤x≤2，故函数 f(x+1)的定义域为[-3,2] 3.1.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 教材梳理 明要点 新知初探 图2 知识点一 跟踪训练2：(1)用描点法可以作 数学表达式图象表格 出函数的图象如图① 预习自测 由图可知y=x2+x(-1≤x≤ 1.C由图象，知x≠0，即x∈(-∞，0)U(0,+∞). 1)的值城为[-子，2 2.11由g(x)对应表，知g(1)=3,所以f[g(1)]=f(3).由 f(x)对应表，得f(3)=1,所以f[g(1)]=f(3)=1.由g(x)对 (2)用描点法可以作出函数的 应表，得当x=2时，g(2)=2,又g[f(x)]=2,所以f(x)=2. 图象如图②， ② 又由f(x)对应表，得x=1时，f(1)=2.所以x=1. 由图可知y=2(-2≤x≤1， 题型探究提技能 且x≠0)的值域为(-o,-1]U[2,+o). 例1：(1)用列表法可将函数y=f(x)表示为 例3：(1)f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6(2)f(x)=x2+1 0 2 3 【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=f(ax+b) y 50 40 30 20 10 0 =aa)+b=a+山+6=4+6，于是有{6，新 (2)用图象法可将函数y=f(x)表示为如下图； Ay 8{826所以)2+2成)--6 50· (2)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题 40· rc=1, ra=1, 30 ● 20 意得{a+b+c=2,解得b=0,故f(x)=x2+1. 10A l4a+2b+c=5, c=1, 012345元 例4：(1)C(2)f(x)=x2-4x+3 (3)用解析法可将函数y=f(x)表示为y=50-10x,xe0,1,2, 【解析】 3,4,5 )由f()=+,有f)=+(x0). 跟踪训练1：用列表法表示函数y=f(x),如 故选C 表所示 1234x (2)方法一（换元法）：令x+1=t,则x=t-1,teR,所以f(t) -1 =(t-1)2-2(t-1)=2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3. x -2 -3 方法二（配凑法）：因为x2-2x=（x2+2x+1)-(4x+4)+3 y -2 -3 -4 -5 -4 =(x+1)2-4(x+1)+3,所以fx+1)=(x+1)2-4(x+1) -5 用图象法表示函数y=f(x),如右图所示. +3,即f(x)=x2-4x+3. 例2：(1)列表 :(1)=+品0)(2)子-1 3 0 2 2 2 【解析】（四在已知等式中，将x换成子，得f(）+2) y 2 5 当xe[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象（图1）可知 r)+2r(）=. =,与已知方程联立，得 消去 其值域为[1,5]· (）+2r()= (2)列表 2 3 f(）,得f)=-营+品 2 (2)由题意，在f(x)-2f(-x)=1+2x中，以-x代x可得 八--1-a联可21清女 当x[2，+0)，图象是反比例函数y=2的一部分，观察图 -)可得)=子-1 象（图2）可知其值域为(0,1]. (3)列表 跟踪训练3：(1)设f(x)=a2+bx+c(a≠0)， 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x -2 -1 1 2 -1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x, 0 0 3 2a=2, ra=1, 画图象，图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分 所以2b=-4,所以b=-2,所以f(x)=2-2x-1. 由图3可得函数的值域是[-1,8]. 2a+2c=0,(c=-1, 323 2)f(x-）=+是=(x-)+2, (2)函数f(x)的图象如右图所示 (3)由(2)知，f(x)在(-2,2]上的值 3 令1=-f0=f+2=+2 域为[1,3). 跟踪训练2：(1)函数图象如右图所示 (3)2r✉)+3f()=x ① (2)由f(x)=1和函数图象综合判断 可知， 用代誉x得2(）+()= 3 ② 当xe(-0,1)时，得f(x)=-2x+1 =1,解得x=0； ②×3-①×2有5f(x)=9 -6x 当x∈[1，+o)时，得f(x)=x2- )=是-g(40. 2x=1, 解得x=1+√2或x=1-√2（舍去）. 随堂检测重反馈 综上可知x的值为0或1+√2. 1.B由题意可知f(1)=4f(4)=2,∴f[f1)]=f(4)=2.故例：(1)当0≤x≤100时，设函数关系 选B. 式为y=kx 2.C由图象可得f[f(2)]=f(0)=4. 将x=100,y=65代人，得k=0.65,所以y=0.65x. 3.3x-1方法一（换元法）：令x+1=t,∴.x=t-1,∴.f(t)=3(t 当x>l00时，设函数关系式为y=ax+b. -1)+2=3t-1,.f(x)=3x-1. 将x=100,y=65和x=130,y=89代入， 方法二（配凑法）：f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,f(x)= 3x-1. 得6：0解件C。所以y=-a-5 1130a+b=89. 4y=50(>0)由梯形的面积公式有100=x+3·,得y 2 -2>0 综上可得7=侣50 (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超 过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每 第2课时分段函数 度电0.80元. 教材梳理明要点 (3)当x=62时，y=62×0.65=40.3(元)； 预习自测 当y=105时，因为0.65×100=65<105，故x>100,所以105 1.AD结合分段函数的定义可知A、D是分段函数，B、C中不 =0.8x-15,x=150. 同对应关系的定义域有重叠部分，故选AD 即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交 2-3-t480-=1-】=0 费105元，则该用户该月用了150度电. 跟踪训练3：(1)由题意可知，销售x(千部)手机获得的销售额 =-3. 为0.6×1000x=600x(万元)， 题型探究提技能 当0<x<30时，W(x)=600x-250-10x2-100x=-10x2+500x 例1：(1)f(-4)=-4+2=-2,f(3)=2×3=6,f(-2)=-2 -250, +2=0, f[f(-2)]=f(0)=02=0. 当≥30时，()=6-230-601-1000+720=-10 x x (2)当a≤-1时，a+2=10,可得a=8,不符合题意； +7000: 当-1<a<2时，a2=10,可得a=±√10，不符合题意； r-10x2+500x-250,0<x<30, 当a≥2时，2a=10,可得a=5,符合题意；综上可知，a=5. 所以，W(x)= -x-10000+7000,x≥30. 跟踪训练1：(1)由-5e(-0,-2],1e(-2,2),-与 (2)当0<x<30时，W(x)=-10x2+500x-250, (-∞，-2]， 当x=25时，W(x)m=-6250+12500-250=6000(万 知f(-5)=-5+1=-4f(1)=3×1+5=8, 元)， (-)川f(-+1）=f(-3)=3×(-)+5 当x≥30时，W()=-x-10000+7000≤-21000+ x 7000=6800(万元) (2):a2+2≥2f(0+2)=2(d2+2)-1≥a+4,即a≤-2 1 当且仅当x=10000时，即x=100时，等号成立， 综上所述，当x=100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润 或a≥1 是6800（万元）. 六实数a的取值范围是(-，]U[1,+o)。 随堂检测重反馈 例2：【分析】先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转1.Bf(x)=1x-1川= 化为分段函数，再利用描点法作出函数图象 x-1,x≥1故选B. 1-x,x<1g 【解析】(1)当0≤x≤2时()=1+2=1： 2.B 因为≤1，所以（宁）=方+1=又因为>1，所 当-2<x<0时=1+1-x 以W(分川f(3)=-多+3=3故选B 所以f(x)=1(0≤≤2)， 3.D作出y=f(x)的图象，如图所示.由图象知，f(x)的值域是 l1-x(-2<x<0). [0,2]U3},故选D. -324055 3.1.2函数的表示法 新课程标准解读 学科核心素养 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 数学抽象、直观想象 法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用， 数学抽象、数学运算 第1课时 函数的表示法 教材梳理明要点 9情境导入 下图中使用数据、条状图、曲线的形式，具体、形象、直观的向群众表 达了我国国内生产总值增长情况.我们从生活实际中总结抽象出的函数 如何表示呢？ 20/7-2023年中国GDP及增速 ■国内生产总值（亿元） 一增速(%) 1492371210207 820754919281986515101356 8.4 6.7 (预期目标) [提示] 6.0 5.0 函数有三种表示方 22 法：解析法、图象 3.0 法、列表法 2017201820192020202120222023 数据来源：国家统计局 [提示] e新知初探 知识点一函数的表示法 解析法 就是用 表示两个变量之问的对应关系 函数的表 示法 图象法 就是用 [知识点反思] 表示两个变量之间的对应关系 并不是所有的函数都可 列表法 就是列出 来表示两个变量之间的对应关系 以用解析式表示，不仅 如此，图象法也不适用 函数三种表示方法的优缺点 于所有函数，如Dx)= 解析法 列表法 图象法 0,xEQ,列表法虽 11,x ECg Q. 优 一是简明、全面概括了变 优 不需计算可以直 优能形象、直观地 在理论上适用于所有函 量间的关系；二是利用解 点 接看出与自变量 点 表示函数的变化 析式可求任一函数值 对应的函数值 情况 数，但对于自变量有无 数个取值的情况，列表 不够形象、直观， 仅能表示自变量 只能近似求出自变量 法只能表示函数的一个 缺 而且并不是所有 缺 取较少的有限值 缺 的值所对应的函数值 点 函数都有解析式 点 时的对应关系 而且有时误差较大 概况或片段 ●[知识点反思] 056 目预习自测 1,已知函数y=f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是 () A.(-∞，1)U(1,+∞) B.R C.(-0,0)U(0,+0) D.(-1,0) 2.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 1 2 3 f(x) 2 1 g(x) 3 2 则f[g(1)]的值为 ;当g[f(x)]=2时，x= 题型探究 提技能 题型一 函数的表示法 例 1.某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道 [方法总结1] 题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参 用三种表示法表示函 与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关 数时的注意点 1.解析法必须注明函 系y=f(x): ●[方法总结1] 数的定义域； 2.列表法必须罗列出 所有的自变量的值与 函数值的对应关系； 3.图象法必须清楚函 数图象是“点”还是 “线”. 》跟踪训练1 已知函数f(x)=-x-1,x∈{1,2,3,4}，试分别用列表法和图象法表示函 数y=f(x). .057 题型二与函数图象有关的问题 [方法总结2] 例2作出下列函数的图象并求出其值域 描点法作函数图象的 三个关注点 (1)y=2x+1,x∈[0,2]； /,画函数图象时首先 （2y=2xe[2.+a: 关注函数的定义域， 即在定义域内作图， (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. P[方法总结2] 2.图象是实线或实 点，定义域外的部分 有时可用虚线来衬托 整个图象； 3.要标出某些关键 点，例如图象的顶 〉跟踪训练2 点、端点、与坐标轴 作出下列函数的图象，并指出其值域 的交点等要分清这些 (1)y=x2+x(-1≤x≤1)； 关键点是实心点还是 2 空心圈. (2)y=2(-2≤x≤1，且x≠0) [方法总结3] 函数解析式的求法 1.待定系数法：若已 知函数的类型（如一次 函数、二次函数)，可 用待定系数法； 2.换元法：已知复合 题型三求函数解析式 函数于[g(x)]的解析 角度1待定系数法求解析式 式，可用换元法，此 例3(I)已知一次函数)满足/(x)]=4+6,则(x)的解析式为 时要注意新元的取值 设出函数解析式，求出参数即可 范围； 3.解方程组法：已知 (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,则该二次函 数的解析式为 角度2换元法（或配凑法）求解析式 (-x)之间的关系 例4)士- x,则有 式，可根据已知条件 再构造出另外一个等 → 己知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一 A.f(x)=x2+1 式组成方程组，通过 是将g(x)视为一个整体，应用数学的 B.f(x)=x+x 解方程组求出于x): 整体化思想，换元求解；二是将函数解 C.f(x)=术+x(x≠0)析式的右端凑成含g(x)的形式 4.配凑法：已知复合 D.f(x)=x2+1(x≠0) 函数于[9(x)]的解析 (2)已知函数f代x+1)=x2-2x,则f(x)的解析式为 式，将9(x)视为一个 角度3方程组法求函数解析式 整体，在函数解析式 右端含x部分凑成含 例5.(1)已知函数()满足()+2r】=,则函数f(x)的解析式为 9x)代数式形式，用x 分别代替9(x),从而得 将换及得f+2()= 到f(x)解析式，此时 注意9(x)范围即f(x) 2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x) 的定文域，此法多用 于较简单解析式，这 以-x代x可得f-x)-2f(x)=1-2x ●[方法总结3] 类问题用换元法也可， 058 》跟踪训练3 (1)已知函数f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的 解析式； 2)已知f-）=+,求f(x (3)已知2f()+3f）=3x(x0),求f(). 随堂检测重反馈 1.下表给出函数y=f(x),则f[f(1)]等于 x 1 2 5 4 5 y 4 5 3 2 A.1 B.2 C.4 D.5 2.如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A,B,C的坐标分别是(0,4)，（2,0)， ↑A 1--F7C (6,4),则f[f(2)]= 1-米1 A.0 B.2 0123456x C.4 D.6 3.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)= 4.一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm,下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数 关系为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18] 第2课时 分段函数 教材梳理 明要点 巴情境导入 国家电网是按不同的时间段来定电价的；居民用水是按用水量的多 少阶梯收费的.电价与时间的关系，水价与用水量的关系是函数关系吗？ [提示] 如何表示呢？ [提示] 是函数关系，可用分 白新知初探 段函数来表示. 知识点分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函 数为分段两数像y,=00这样的丽旋就是分段西威 分段函数是一个函数，而不是几个函数；定义域、值域分别是各段函数的定 义域、值域的并集：各段函数的定义域的交集是空集.