2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

轴有两个交点(-1,0)和(3,0)，如图 则当a=2时，原不等式的解集为0； 所示. 当a>2时，不等式的解集为xl2<x<a}, 观察图象可得不等式的解集为{xIx<-1 当a<2时，不等式的解集为xIa<x<2}. 或x>3}. 题型探究提技能 例郎：因为+pr+q<0的解集为[-子<x<号} 例1：(1)方程2x2+5x-3=0的两实根为 所以x1=一 ，与为=了是方程？+Px+g=0的两个实数根， 2 =-3=分， 1 1 32p, p= 作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①. 由根与系数的关系得 解得 6 由圆可得原不等式的解架为-3<x<} 1 =9, 9= 6 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.4=36-4×3×2=12 12 所以不等式gx2+px+1>0即为- >0, 6t+ 6x+1>0, 解方程6+2=0得353 整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3. 3 即不等式qx2+x+1>0的解集为{xl-2<x<3}. 作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②， 跟踪训练3：因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{xlx≤-3或 x≥4}， 3-3 由图可得原不等式的解集为{xx≤ 3或x≥ 3+31 所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根， 3 「-3+4=-a b 由根与系数的关系可得 即/6=-a, -3×4=C lc=-12a. 所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a ≥0， 3+/3 即x2-2x-15≥0，解得x≤-3或x≥5， 故所求不等式的解集为{xlx≤-3或x≥5. 9 随堂检测重反馈 (3):方程42-4x+1=0有两个相等的实根。=龙=2 1.AD由于2+E+1<0,2+3+1<0不符合一元二次不等 作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③】 式的定义，只有x2+2x<-1,x2+1<0是一元二次不等式， 由图可得原不等式的解集为{≠} 故选AD. 2.A因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x1<x<2},所 (4)原不等式可化为x2-6x+10<0, :4=36-40=-4<0,.方程x2-6x+10=0无实根 以1和2为方程(x-a)(x-6)=0的两个，则有仔2或 函数y=x2-6x+10的图象在x轴上方，与x轴无交点 .原不等式的解集为⑦. 二，所以a+b=1+2=3,即a+b的值为 跟踪训练1：不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0. 因为4=(-1)2-4×2×(-3)=25>0， 3.D因为不等式ax-b>0的解集是{xlx>1},所以a>0,b 3 所以方程2x2-x-3=0的两根为x=-1,x2=2 =1,所以(a+b)(x-3)>0等价于a(x+1)(x-3)>0,其 解集应为xlx>3或x<-1},故选D. 又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上， 4.}xl-4<x<1} -x2-3x+4>0→(x+4)(x-1)<0→-4 所以不等式-2x2+x+3<0的解集是 <x<1. {<-1或>} 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 例2：①当a=0时，原不等式即为-x+1<0,解得x>1. 题型探究提技能 ②当a<0时，原不等式化为(x-。)x-1)>0,解得x< 例1：(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,·.-1<x< 1 2 或x>1 故原不等式的解集为{x-1<x<2} 11 ⑧若0<a<1.原不等式化为(e-)(x-1)<0解得1<x (2)原不等式可化为-1 3x5s0, 5 a 「(x-1)(3x+5)≤0 3≤x≤1， 5 综上可知，当a<0时，原不等式的解集 即-3 <x≤1. 3x+5≠0. 5 为x<石或>1小 31 当a=0时，原不等式的解集为{xlx>1}: 放原不等式的解集为{+-子<≤} 当0<a<1时，原不等式的解集为x1<x<上】 a (3)原不等式可化为-1 x+2 -1>0, 跟踪训练2：原不等式可化为(x-a)(x-2)<0; 方程x2-(a+2)x+2a=0的两根为x1=2,x2=a, =1-（+2>0,即3 x+2 0x+2>0,则x<-2. 又函数y=x2-(a+2)x+2a的图象开口向上， 故原不等式的解集为xlx<-2. -319 跟踪训练1：(1)不等式+！≥0可转化成不等式 x-3 当且仅当x=是，即x=3时等号成立， 组x+1)(x-3)≥0， ·-m<6,解得m>-6,所以实数m的取值范围是mlm> Lx≠3， -6}. 解得x≤-1或x>3. 例4：设税率调低后“税收总收入”为y元 即原不等式的解集为xx≤-1或x>3, (2)不等式5x+1<3可改写为5x+-3<0,即2x=D<0. y240a1+2%):8-%-号m(2+42s-4m)0< x+1 x+1 x+1 ≤8). 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 依题意，得y≥2400m×8%×78%, 所以原不等式的解集为x-1<x<1}. 例：方法一：设方程两根分别为，西，则：+名=m。, 即-2号(2+42：-40)≥2400mx8%×78%, 8,x12 整理，得x2+42x-88≤0，解得-44≤x≤2. =m-7 8 根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2. 因为两根均大于1，所以x1-1>0,x2-1>0, .x的范围是{x0<x≤2}. r4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 跟踪训练4：由题意可得=-2x+这≥25， 故有(x1-1)+(x2-1)>0, 化简得x2-36x-405≥0，解得x≥45或x≤-9， (x1-1)(x2-1)>0, 又.x≥0，.x≥45. (m-1)2-32(m-7)≥0， ·.这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h. m-1-2>0, 即8 随堂检测重反馈 巴g2g2+1>0, 1.B原不等式可化为3x+04红-≤0解得-写≤< 11-4x≠0， rm≥25或m≤9， 解得m>17, 所以m≥25.故实数m的取值范围是{mlm: 专故其解年为-写≤<宁}放选区 LmER, 2.{x|2<x<3}由不等式ax2+5x+1≤0的解集为 ≥25}. 方法二：令y=8x2-(m-1)x {-方≤≤-写}可知方程a成+5x+1=0有两根 +m-7,则方程两实根大于 分与号，放a=6,则不等式号<0即曾<0等 1 1,等价于二次函数与x轴公 x-3 共点都在x=1右侧，如右 价于3(x-2)(x-3)<0,不等式3(x-2)(x-3)<0的解集 图，则 ,4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 为2<x<3,则不等式-号<0的解失为2<<3. -(m-1) 3.{k1-3<k≤1}(1)当k-1=0,即k=1时，-1<0恒成立， 2x82>1, 符合题意.(2)当k-1≠0时，由题意可知 8-(m-1)+m-7>0, {4=(k-1)2+4(k-1)<0,解得-3<k<1,综上可知-3< 「k-1<0, 解得m≥25，∴.实数m的取值范围是mm≥25}. 跟踪训练2：al-2<a<1}方法一：设两根为x1>1,x2<1, k≤1. 则x1-1>0,x2-1<0, 4.4 设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y= -1)(-1)<0即-(+)+1<0， L4>0, 4=(a2-1)2-4(a-2)>0, (3000-产学×2u0,整理得y=-2002+ 即0,2+(a2-1)+1<0, 1(a2-)2-4(a-2)>0,解得-2<a<1 130000x,因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以 方法二：由题意得12+(a2-1)+a-2<0,即a2+a-2<0, y=-20002+1B00x≥2000，解得3≤≤4，所以要使 解得-2<a<1. 提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元 例3：当a2-1=0时，a=±1， 若a=1,则原不等式可化为-1<0，显然恒成立； 章末复习与总结 若a=-1,则原不等式可化为2x-1<0不是恒成立，所以a =-1舍去； 1作地得士-00千 当a2-1≠0时，因为(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集 为R, ①当=0时本=0,1x 所以只需-1<0， 4=(a-1)2+4(d2-1)<0,解得-子<a<1: ②当1t<0,即<-1时千<0，+<1- 综上，实数a的取值范围为{-号<a≤} ③当1+>0且≠0，即-1<x<0或x>0时，千>0+ 跟踪训练3：因为x>0,所以不等式x2+mx+9>0可化为-m< >1-x. x+9 例2：ax2+(1-a)x-1>0可得(a+1)(x-1）>0,即x+ t≥2 而当x>0时，x+ 6, 日)x-1)<0. -320—044 随堂检测重反馈 1.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是 ( A.x2+√2x<-1 B.x2+√x+1<0 C.0+3+1<0 D.x2+1<0 2.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为xl1<x<2},则a+b的值为 A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.关于x的不等式ax-b>0的解集是{xlx>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 () A.{xl-1<x<3} B.xl1<x<3 C.{xlx<1或x>3 D.{x|x<-1或x>3} 4.不等式-x2-3x+4>0的解集为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 题型探究提技能 题型一 解简单的分式不等式 [方法总结1] 分式不等式的解法 例1解下列不等式： /,利用“两数相除同 0)号<0：(2号=0：32>1 ●[方法总结1] 号得正异号得负”和 “两数相乘同号得正 异号得负”把比较简 单的分式不等式，直 接转化为一元二次不 等式或一元二次不等 式组求解，但要注意 等价变形，保证分母 不为零. )跟踪训练1 2.对于不等号右边不 解下列不等式： 为零的较复杂的分式 不等式，先移项再通 9≥0：(2)5+<3. (1)x+1、 x+1 分（不要去分母），使 之转化为不等号右边 为零的形式，然后再 用上述方法求解 045 题型二一元二次方程根的分布 例2已知方程8：-(m-1)x+m-7=0有两实根，如果两实根都大于1， [方法总结2] 方程ax2+bx+c=0(a 求实数m的取值范围. ●[方法总结2] ≠0)的根的分布问题 得解法 1.把问题转化为两根 积与两根和的表达 式，利用韦达定理得 到系数的关系式，再 进一步求解， 2.结合函数图象，利 用根的判别式和特殊 自变量函数值的正负 构造不等式组来解决」 》跟踪训练2 要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1 小，则实数a的取值范围是 题型三一元二次不等式恒成立问题 例3，关于x的不等式(d-1)-(a-1)x-1<0的解集为R,求实数a的 取值范围。 讨论二次项系数a2-1是否为0 》跟踪训练3 当x>0时，不等式x2+mx+9>0恒成立，求实数m的取值范围. 046 题型四一元二次不等式的实际应用 例4国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户 向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即 8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率 降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税 [方法总结3] 求解一元二次不等式 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%， 应用问题的步骤 [方法总结3] 阅读理解、认真 审题，把握问题 中的关键量，找 准不等关系 将文字语言转化 为符号语言，用 建 不等式表示不等 关系，建立相应 的数学模型 )】跟踪训练4 解不等式，得到 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于 解】 数学结论，要注 意数学模型中元 惯性往前滑行的距离)sm和汽车刹车前的车速xk/h有如下关系：s=-2x 素的实际意义 +含.在-次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于25m,那么这辆 回归实际问题， 汽车刹车前的车速至少为多少？ 答 将数学结论还原 为买际问题的结 果 随堂检测 重反馈 1不等式站≥0的解集是 B.x Cx>或x≤- Dx≥或x≤- 2名不等式2+5x+1≤0的箭维为-}≤三-引则不等式号<0的解集为 x-3 3.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立，则实数k的取值范围是 4.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元， 销售就可能减少2000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为 元. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[15]