2.2 第2课时 基本不等式的应用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

039 第2课时基本不等式的应用 题型探究提技能 题型一基本不等式的变形应用 角度1构造法求最值 例1.=+7+10， [方法总结1] 构造法求最值就是将 x+1 (x>-1)取最小值时的x值为 已知数学表达式变形， P[方法总结1] 构造出和或积为定值 〉跟踪训练1 的形式 2+3x+8x>-1)取最大值时的x值为 y=- x+1 角度2巧用“1”的代换求最值 [方法总结2] 常数代换法解题的关 例2若a,b是正实数且a+6=1,则片+弓的最小值为 键是通过代数式的变 形，构造和式或积式 ●[方法总结2] 为定值的式子，然后 )跟踪训练2 利用基本不等式求解 若x>0,y>0,y=9x+y,求x+y的最小值. 最值.应用此种方法求 解最值时，应把 “1”的表达式与所 求最值的表达式相乘 求积或相除求商 [方法总结3] 恒成立问题常采用分 题型二利用基本不等式求参数范围 离参数的方法求解， 例3卫知a>06>0,若不等式子+产26正成立，求m的最大值 若a≤y恒成立，则a ≤ymn:若Q≥y恒成 P[方法总结3] 立，则a≥ymax.将问 题转化为求y的最值 问题，可能会用到基 本不等式 040 》】跟踪训练3 若对任意x>0,+3x+≤a恒成立，求a的取值范围. 题型三 基本不等式的实际应用 例4如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间， 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 己知a+b为定值，可用基本不等式求ab的最大值 [方法总结4] (1)现有可围36长网的材料，问每间虎笼的长、宽各设计为多少时， 应用基本不等式解决 可使每间虎笼面积最大？己知ab为定值，可用基本 实际问题的思路 1.先认真审题，设出变 了不等式求a+b的最小值 量，将实际问题抽象成 (2)要使每间虎笼面积为24m,问每间虎笼的长、宽各设计为多少 数学问题： 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 2建立相应的关系式， 利用基本不等式求解； ●[方法总结4] 3根据实际背景写出 答案. 》跟踪训练4 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得 的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x+ 18x-25(x∈N*),则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最 大值是 万元 041 随堂检测重反馈 1若>5，则x+45的最小值为 A.6 B.8 C.9 D.3 2.设x>0,y>0,x+y=4,则1+4的最小值为 3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2, 80元/m2,那么水池的最低总造价为 元 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13] 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 新课程标准解读 学科核心素养 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式 数学抽象 的现实意义， 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不 数学抽象、数学运算 等式的解集. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的 直观想象、逻辑推理 联系 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决 数学建模、数学运算 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理明要点 P情境导入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长 度是24m,围成的矩形区域的面积要大于20m,问这个矩形的边长要满 [提示] 设这个矩形的一条边 足什么条件？ ●[提示] 长为xm,则另一条 日新知初探 边长为(12-x)m.由题 知识点一一元二次不等式的概念 意，得(12-x)x> 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式不等 20,其中x∈{xl0< 式，称为一元二次不等式.其一般形式是：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,x<12).整理得X- 其中a,b,c均为常数，a≠0. 12x+20<0,x∈{x 知识点二二次函数的零点 10<x<12). 般地，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=a.x2+bx+c的预习自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)× Va3-2可≤方2红+目-2-32，声且仅当时。 2 【解析】(1)6和8的几何平均数为45. (2)a2+1≥2a等价于(a-1)2≥0，等号成立的条件是a=1 等号成立，所以(3-2x)的最大值为2 (3)当a<0时，a+上是负数 16 (2)因为x>-2,所以x+2>0,(x+2)+ (4)当a<0时.(-a)+(-日)是正数 (x+2).16 2 28,当且仅当x+2=62即x=2时取多 24x>0,4>0y=x+≥2 4 4 =4,当且仅当x 号，.x+2+ 十2(x>-2)取最小值时，x的值为2 =头，即=2时，等号成立，放y=4 3:1(2号 题型探究提技能 【解析】()：x<子5-4>0，y=4-2+ 例1：(1)B(2)C x-5 【解析】(1)方法一：因为0<a<b,所以0<√a<b,所以a -(5-4+与4)+3≤-2+3=1，当且仅当5-4红 <V瓜，同样由0<a<6得号<兰，所以生<么由基本不 2 5-4,即龙=1时，上式等号成立，故当x=1时，ym=1 1 等式可得，瓜<综上<瓜<中<么 (2)因为0<x<2,所以3-2x>0,所以y=4x(3-2x)= 3 方法二：因为0<4<b,所以a<“b<b,排除A,C两项，又 21203-2]≤2+号-2]-号当且仅当2=3 2 /ab-a=a(b-a)>0,即ab>a,排除D项 方法三：取a=2,6=8,则V瓜=4，生=5，所以a<瓜< 2,即=子时，等号成主.因为e(0,子）所以y=4(6 atb<b. -2)(0<x<)的最大值为 2 2 (2)选项A中，+子≥（当且仅当x=分时，2+子=x） 跟踪训练3：-1因为x<分，所以1-2x>0 1 故选项A不正确；选项B中，x+2(x>0),x+≤-2 因为2z+2=-1+21-(1-2+)1 1 (x<0),故选项B不正确；选项C中，x2-21xl+1=（1xl- 因为1-2+122√0-2)1-22当且仅当 1 1)2≥0(x∈R),故选项C正确；选项D中，x2+1≥1，则0< =0时，等号成立) ,1≤1，故选项D不正确 1 x2+1 所以2x+2x一≤-2+1=-1，即最大值是-1 跟踪训练1：A对于A,符合基本不等式的三个条件“一正，二 随堂检测重反馈 定，三相等”：对于B,忽视了验证等号成立的条作，即=1C由基本不等式知当a>6>0时，石<“5」 2,√d< 则x=±1，均不满足x≥2；对于C,当a>0,b>0时，ab≤ “生，当且仅当a=6时取等号，放C错误：对于D,由基本不 a,故选C 2.D由于ab>0,可知a与b同号，显然当a<0,b<0时，选项 等式得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号，故D错误.故 选A A,B中的不等式不成立，所以选项A,B错误；由ab>0,得b 例2：(1)x>0,. 2>0,4>0.2+4≥2 /12 ·4x 1 >0,号>0，所以名+号≥2√合号-2，谁项c错误：显 83. 然，Va,beR,a2+b2≥2ab,选项D正确.故选D. 当且仅当2=4x,即x=5时取最小值85， 3.≥ +2=+）山=屋+1+月≥2当且仅 2+12+1 x+1 当x>0时，2+4红的最小值为8万 当x+1= 1,即x=0时取“=” √2+1 (2)x<0.->0.则+(-4≥2√ 2.(-4x)= 4.20x+y≥2y=2/100=20(当且仅当x=y=10时取等号). 85, 第2课时基本不等式的应用 当且仅当2=-4x时，即x=-5时取等号 题型探究提技能 一 一2+4≤-8反：当x<0时，吕+4的最大值为-8瓦 例1：1y=+7x+10=x+山)°+5x+)+4=(x+1）+ x+1 x+1 x++5,因为>-1，所以x+1>0,所以y≥ 4 果踪训练2：()32（22 【解析】(1)由0<x<1知3-2x>0,故√x(3-2x)= 2√c+0舌+5=9，当且仅当+1即=1时， √2 等号成立，故x=1. -317 跟踪训练1：6-1y=2+3x+8=(x+1)2+(x+1)+6 x+1 x+1 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. 1 ，因为>-1，所以x+1>0,所以y≤ (2)设每间虎笼长xm,宽ym, (x+1)+6 +1 由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy=24, 1 -26-1 当且仅当x+1= 所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48.当且仅当2x=3y时，等号 +D山1+2623 成 即x=6-1时，等号成立 由24部得化 y=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 03+2万因为a+b=1,所以+子=（日+号）a+6) 方法二：由y=24,得x=24 y =女+径+3=2√合·+3=3+2，当且仅当 a a b 所以1=+6r约+6=6(9+=6x2√9·y48 a+b=1. b_2a即a=2-1,b=2-2时，等号成立 当且仅当6=y即y=4时，等号成立，此时x=6. ab' 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 跟踪训练2x>0,y>0,y=9x+y,.1 921 跟踪训练4：58每台机器运转x年的年平均利润为Y=18 +=(+号）(x+)=0++=0+ -(+空)且x>0.故之≤18-25=8，当且仅当x=5 2,9.=16. 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元 Ny x 随堂检测重反馈 当且仅当号=即=4，y=2时，等号成立 10令1=-5，则>0.+1++52√5 t 即x+y的最小值为16. 例3：因为a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使2 1 +方≥2a+b =9,(当且仅当=4，即4=2，=7时，取等号）放x+ 恒成立， x-5x>5)的最小值为9 4 只需m≤(2a+6)(名+)恒成立 29 +=4+（仕+号）x+)=( y 面2a+)(2+）=4+++1=5+4=9 当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9. ++）汉0w0则+华2任-4（当 y 所以m的最大值为9. 且仅当上=“时取等号），则片+≥子×(5+4)-是 跟踪训练3：因为x>0,所以x+】≥2，当且仅当x=1时取等号， x y X 3. ++32月 1 6=子·4≤4（售）=6，当且仅当x=4=分 所以有，2+3x+1 1 时取等号 4.1760设池底一边长为xm,则另一边长为4m,总造价为y 即2的最大值为写，故a≥行 x2+3x+1 例4：(1)设每间虎笼长xm,宽ym, 元则y=4×120+2(2+2×)×80=20(+）+ 则由条件知：4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=xy. 480>0)因为+兰≥2√4，当且仅当：4即： 方法一：由于18=2x+3y≥2√/2x·3y=2√6xy, =2时取等号，所以ymn=480+320×4=1760(元). 所以26≤18，得≤号，即S≤头，当且仅当2x=3y时. 27 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 等号成立 由它8解45 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 ly=3. 教材梳理明要点 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. 新知初探 方法二：由2x+3y=18,得x=9-多 知识点一 一个2 因为>0，所以9->0， 知识点二 所0<y<65==0-多水=子6-0 实数x零点 预习自测 因为0<y<6,所以6-y>0,所以s≤子·[6》+ 1.-1或3由y=0得x2-2x-3=0,即x=-1或x=3.即函 数的零点为-1和3. 7 2.xlx<-1或x>3}方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1, =2 2=3.函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，与x -318-