2.2 第1课时 基本不等式-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

036 随堂检测 重反馈 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 ( A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 2.已知a∈R,则“a>1"”是“1<1"的 条件 ( A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 3.给定下列命题： ①0>a>b→a2>b:②a2>b2a>b>0:③a>b=6<1:④a>b→a3>b. 其中真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为 x的取值范围为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 2.2 基本不等式 新课程标准解读 学科核心素养 理解基本不等式的几何意义及其推导过程， 数学抽象、直观想象 能利用基本不等式比较代数式的大小、求最值及证明简单的不等式， 逻辑推理、数学运算 会运用基本不等式解决生活中的问题 数学建模 第1课时 基本不等式 教材梳理 明要点 ●情境导入 某金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天 平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄 金放人左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右 边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除 [提示] 以2作为黄金的最终质量出售.这样称得的质量是黄金的真实质量吗？ 不是，可利用基本不 [提示] 等式知识进行计算并 证明. 白新知初探 知识点一基本不等式 如果a>0,6>0,则，≤，当且仅当 时，等号成立.其中， a+b叫做正数a,b的 平均数，√ab叫做正数a,b的 平均 数：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平 均数 037 知识点二基本不等式与最值 已知x,y都为正数，则 [知识点反思] (1)若x+y=s(和为定值)，则当x=y时，积y取得最大值 1.基本不等式的常见 (2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值 变形 0)a+b≥2a5;2)ab >[知识点反思] 地地 2 目预习自测 (其中a>0,b>0,当 且仅当a=b时等号成 1.判断下列说法是否正确，正确的打“V”,错误的打“×”. 立). (1)6和8的几何平均数为2√3. ( 2.利用基本不等式求 最值时要牢记“一正 (2)a2+1≥2a中等号成立的条件是a=1. ( (各项必须为正）、 (3)若a≠0，则a+≥2a.=2 二定（各项之和或各 ( a 项之积为定值）、三 相等（必须验证取等 (4)若a≠0，则-a)+(-日≤-2√(-a）·0 1） =-2 号时条件是否具 备)” 2.若x>0,则y=4+x的最小值为 题型探究提技能 题型一 利用基本不等式判断命题真假 例1()设0<a<6,则下列不等式中正确的是 ( a<6<v< B.a</ab<atb<b 2 C.a<vab<b<atb 2 D.vabcucatbcb [方法总结1] 基本不等式的结构体 (2)下列不等式一定成立的是 现了“和式”与“积 式”的相互转化，当 +1>(x>0) A.x2+4 B.x+1≥2(x≠0) 题目中不等号的一端 是“和式”而另一端 ,>1(xeR) 是“积式”时，就要 C.x2+1≥21x|(x∈R) D.+ 考虑利用基本不等式 来解决，在应用过程 >[方法总结1] 中注意“一正、二 定、三相等”· 》跟踪训练1 下列不等式中正确的是 A当x>0时，R+1≥2 B.当x≥2时，x+上的最小值为2 C.Vad≥a+b 2 D.a2+b2≥4ab 038 题型二直接利用基本不等式求最值 例2(1)当>0时，求2+4：的最小值： [方法总结2] 负项和求最值时，通 (2)当x<0时，求2+4：的最大值 ●[方法总结2] 过提取负号转化为正 数后再利用基本不等 式并结合不等式的性 质求出最值 )跟踪训练2 (1)若0<x<1,则x(3-2x)的最大值为 (2)x+2+2>2)取最小值时，的值为 [方法总结3] 题型三基本不等式的变形应用—“凑定值”问题 拼凑法求最值，其实质 就是先对代数式变形 拼凑出和或积为常数 例3(1已知<则y=4-2+5的最大值是 构造出4x-54 的两项，然后利用基本 不等式求解最值 (2)设0<x<号，则y=4红(3-2)的最大值为 4x =2 x2x D[方法总结3] 》跟踪训练3 已知x<分则2x+2x 的最大值是 随堂检测 重反馈 1.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 ( A.a-b<0 B.0<6<1 6%“ D.ab >a+b 2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是 ( A.a+b≥2√ab B.1+1≥2 a+b√ab C.b+≤2 D.a2+b2≥2ab a b 3比较大小：+2 2.(填“>”“<”“≥”或“≤”) √x+1 4.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12]2.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0， .a-b≥0即a≥b,故选C. 又：a>6>0,两边同乘正数站得方>。>0. ② 3.D“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，x≥ 95,y>380,z>45. 由08得>会 4.10y+x>70该两位数可表示为10y+x,∴.10y+x>70. 例3：(1)因为1≤a≤2，所以4≤4a≤8. ① 因为2≤b≤4，所以-8≤-2b≤-4 ② 第2课时等式性质与不等式性质 由①+②，得-4≤4a-2b≤4. 教材梳理 明要点 (2)方法一：设u=a+b,=a-b得a=“”,b=“” 2 2 新知初探 知识点 .4a-2b=2u+2m-u+v=u+3. 1≤u≤4，-1≤v≤2，.-3≤3v≤6 b=aa=ca±c=b±cac=bca=b c c 则-2≤u+3m≤10，即-2≤4a-2b≤10. 知识点二 方法二：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b). b<a azc a+czb+c aczbe a+c>b+d aczbd a" ..4a-26=(x+y)a+(x-y)b. >b" [x+y=4,x=1,又1≤a+b≤4， 预习自测 x-y=-2,y=3.又{-3≤3(a-b)≤6. 1.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式 .∴.-2≤4a-2b≤10. 的性质5知，D一定成立 跟踪训练3：(1){x-2yl-11<x-2y<0 2.(1)>(2)<(3)>(4)< (2){4a-2b15≤4a-2b≤10} 【解析】(1)如果a>b>0,那么0<L<上， ，即>>0 【解析】(1)因为2<y<3,所以-6<-2y<-4.所以-5+ 6> a (-6)<x-2y<4+(-4),即-11<x-2y<0. (2)如果a>b,那么-2a<-2b: (2)令a+b=4,a-b=v,则2≤u≤4,1≤u≤2.由 (3)如果a>b>0,那么a0>b10 (4)如果a>-b,那么-a<b,所以c-a<c+b. a+b=,解得 a=utu 2, 题型探究提技能 a-b=v; 则40-2b=4ד生-2ד2号 2 例1：(1)D(2)AD 【解析】（1)方法一：c2≥0，.c=0时，有ac2=bc2,故A 2u+2v-u+=u+3.而2≤u≤4,3≤3≤6，则5≤u+3u≤ 为饭命通：由a6>0,有的>0→品>流行>。故B为 10.故5≤4a-2b≤10 随堂检测重反馈 假命题： 0x6<03-a>-b20=-方>-7043 1.B.x<a<0,.x2>a2.x2-ax=x(x-a)>0,.x2>ax 又ax-a2=a(x-a)>0,..ax>a2..x2>ax>a2.故选B. La<b<0=-a>-b>0 ra>b→b-a<0, 2A若a>1,则0<人<1，故<1，所以“a>1”能推出“ {>6→->062>0=b< 。,故C为假命题；1>11 a ab <1”.取a=-1,则<1成立，但a>1不成立，故“a>1”是 0.:a>b,.a>0且b<0,故D为真命题 方法二：特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A错误；取a “上<1”的充分非必要条件，故选A a =2,b=1,则1 =分石=1，有行<方，故B辑误；取a=3B对于①.由0>0>6可知，0≤a<-6,则由性质7可知。 11 -26=-1,则台=分号=2，有台号故c错说 (-b)2>(-a)2,即62>a2,故①错误；对于②，性质7不具有 可逆性，故②错误：对于③，当0>4>b时，>1，故③错误： (2)若a<0<b,c<d<0,则ac>bd,故A错误；若ab>0,bc a以>0，则片-号>0故B三确：若6>d则-d> 对于④，因为a>b,所以a-b>0,所以a3-b=(a-b)(a2+ -c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确；若a=-1,b=-2,c 山+)=(a-6)[(a+)广+]>0，放d>6,④正确 =2,d=1,则号-1，兰=-1，号=名故D错说 4.{x-yl27<x-y<56} 28<y<33, 跟踪训练1：AD①由2>t可知2>0，所以x>y,故2> -33<-y<-28.又：60<x<84,.27<x-y<56.由 t→x>y;②当t>0时，x>y,当t<0时，x<y,故xt>t台x >y;③若x=-2,y=-1,则虽有x2>y2,但是x<y,故x2>y 28<y<33,得 3 为>④由0<士<知，>0，所以0<上<10< 1 y 2.2 基本不等式 ·y<·yx>y 第1课时基本不等式 例2：因为a>b>c,所以-c>-b. 所以a-6>8-6>0所以。6>>06.2>0， 教材梳理 明要点 a-b a-c 新知初探 即1 1>0.又b-c>0, 知识点一 即a-6+e-a a=b算术几何不小于 所以，>0所以。6+6e+。>0 知识点二 跟踪训练2：.a>b>0,∴.a>b>0. ① 22p 4 -316- 预习自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)× Va3-2可≤方2红+目-2-32，声且仅当时。 2 【解析】(1)6和8的几何平均数为45. (2)a2+1≥2a等价于(a-1)2≥0，等号成立的条件是a=1 等号成立，所以(3-2x)的最大值为2 (3)当a<0时，a+上是负数 16 (2)因为x>-2,所以x+2>0,(x+2)+ (4)当a<0时.(-a)+(-日)是正数 (x+2).16 2 28,当且仅当x+2=62即x=2时取多 24x>0,4>0y=x+≥2 4 4 =4,当且仅当x 号，.x+2+ 十2(x>-2)取最小值时，x的值为2 =头，即=2时，等号成立，放y=4 3:1(2号 题型探究提技能 【解析】()：x<子5-4>0，y=4-2+ 例1：(1)B(2)C x-5 【解析】(1)方法一：因为0<a<b,所以0<√a<b,所以a -(5-4+与4)+3≤-2+3=1，当且仅当5-4红 <V瓜，同样由0<a<6得号<兰，所以生<么由基本不 2 5-4,即龙=1时，上式等号成立，故当x=1时，ym=1 1 等式可得，瓜<综上<瓜<中<么 (2)因为0<x<2,所以3-2x>0,所以y=4x(3-2x)= 3 方法二：因为0<4<b,所以a<“b<b,排除A,C两项，又 21203-2]≤2+号-2]-号当且仅当2=3 2 /ab-a=a(b-a)>0,即ab>a,排除D项 方法三：取a=2,6=8,则V瓜=4，生=5，所以a<瓜< 2,即=子时，等号成主.因为e(0,子）所以y=4(6 atb<b. -2)(0<x<)的最大值为 2 2 (2)选项A中，+子≥（当且仅当x=分时，2+子=x） 跟踪训练3：-1因为x<分，所以1-2x>0 1 故选项A不正确；选项B中，x+2(x>0),x+≤-2 因为2z+2=-1+21-(1-2+)1 1 (x<0),故选项B不正确；选项C中，x2-21xl+1=（1xl- 因为1-2+122√0-2)1-22当且仅当 1 1)2≥0(x∈R),故选项C正确；选项D中，x2+1≥1，则0< =0时，等号成立) ,1≤1，故选项D不正确 1 x2+1 所以2x+2x一≤-2+1=-1，即最大值是-1 跟踪训练1：A对于A,符合基本不等式的三个条件“一正，二 随堂检测重反馈 定，三相等”：对于B,忽视了验证等号成立的条作，即=1C由基本不等式知当a>6>0时，石<“5」 2,√d< 则x=±1，均不满足x≥2；对于C,当a>0,b>0时，ab≤ “生，当且仅当a=6时取等号，放C错误：对于D,由基本不 a,故选C 2.D由于ab>0,可知a与b同号，显然当a<0,b<0时，选项 等式得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号，故D错误.故 选A A,B中的不等式不成立，所以选项A,B错误；由ab>0,得b 例2：(1)x>0,. 2>0,4>0.2+4≥2 /12 ·4x 1 >0,号>0，所以名+号≥2√合号-2，谁项c错误：显 83. 然，Va,beR,a2+b2≥2ab,选项D正确.故选D. 当且仅当2=4x,即x=5时取最小值85， 3.≥ +2=+）山=屋+1+月≥2当且仅 2+12+1 x+1 当x>0时，2+4红的最小值为8万 当x+1= 1,即x=0时取“=” √2+1 (2)x<0.->0.则+(-4≥2√ 2.(-4x)= 4.20x+y≥2y=2/100=20(当且仅当x=y=10时取等号). 85, 第2课时基本不等式的应用 当且仅当2=-4x时，即x=-5时取等号 题型探究提技能 一 一2+4≤-8反：当x<0时，吕+4的最大值为-8瓦 例1：1y=+7x+10=x+山)°+5x+)+4=(x+1）+ x+1 x+1 x++5,因为>-1，所以x+1>0,所以y≥ 4 果踪训练2：()32（22 【解析】(1)由0<x<1知3-2x>0,故√x(3-2x)= 2√c+0舌+5=9，当且仅当+1即=1时， √2 等号成立，故x=1. -317