第1章 集合与常用逻辑用语 章末复习与总结-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

029 章末复习与总结 知识体系构建 常用逻辑用语 集合 全 充 运 Venn图 表 存在量词习 量词》 要 分 条 方 念 件 集 集 集 包含关 法 P 爸 刘 元素性 存在量词命 举 全称量词命 P是9的充要条 是 然 9的 法 法 确 互 无 等 集 要 分 题 题 集 条 性 件 件 全称（存在）量 件 词命题的否定 p>9 9=p P>9 核心考点培优 考点一 集合的基本概念 例1(1)已知集合4=01,2，则集合B=a1a=-y,xe4,y∈A中元 [方法总结1] 求解与集合中元素有 素的个数是 ( ) 关问题的注意点 A.1 B.3 C.5 1.集合中元素的互异 D.9 性对解题结果的影响 (2)已知集合M={a,2a-1,2a2-1},若1∈M,则M中所有元素之和 较大，特别是含有字 为 ( ) 母的集合，在求出字 母的值后，要注意检 A.3 B.1 C.-3 D.-1 验集合中的元素是否 满足互异性， P[方法总结1] 2.用描述法表示集 合，首先要搞清楚集 考点二集合间的关系 合中代表元素的合 义，再看元素的限制 例2(1)卫知集合1满足1CAC1,2,3,4,这样的集合A有 条件，明白集合的类 型，是数集、点集还 个 ( 是其他类型的集合. [方法总结2] A.5 B.6 C.7 D.8 破解集合间基本关系 (2)已知集合A={xlx≥4或x<-5},B={xla+1≤x≤a+3},若 的方法 1.若BCA,应分B= BCA,则实数a的取值范围为 ☑和B≠☑两种情况 讨论； ●[方法总结2] 2.已知两个集合间的 关系求参数时，关键 考点三集合的运算 是将两个集合间的关 系转化为元素或区间 例3(1)已知集合UA,B之间的关系如图所示则 端点间的关系，进而 0,4.7,8 转化为参数满足的关 (CB)∩A= ( A B 系解决这类问题常常 A.{3} B.{0,1,2,4,7,8 1.2 5.6 要合理利用数轴、 Venn图，化抽象为直 C.{1,2 D.{1,2,3} 观进行求解. 030 (2)已知集合A={1,3,√m},B={1,m},AUB=A,则m等于() [方法总结3] 在进行集合的交集、 A.0或3 B.0或3 C.1或3 D.1或3 并集、补集运算时， 借助数轴（或Venn图） ●[方法总结3] 分析，能将复杂问题 考点四充分条件与必要条件 直观化，从而使问题 变得简单，是数形结 4.(1)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1,aeR},Q={xl-2≤x≤5}.若 合思想具体应用之一 “x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围， 在具体应用时要注意 端点值是否符合题 (2)设全集U=R,集合A={x1≤x<5},非空集合B={x|2≤x≤1+ 意，以免增解或漏解 2a},其中a∈R.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取 [方法总结4] 值范围. [方法总结4] 充分、必要、充要条 件的常用判断方法 1.定文法：直接判断 “若p,则9”，“若 9,则p”的真假. 2.利用集合间的包含 关系判断：设命题P 对应的集合为A,命题 9对应的集合为B,若 ACB,则P是9的充 分条件或9是p的必要 条件；若A手B,则P 是9的充分不必要条件 或9是P的必要不充分 条件；若A=B,则P 是9的充要条件 考点五全称量词命题与存在量词命题 [方法总结5] 5.(1)命题“Hx≤2，x2+2x-8>0”的否定是 全称量词命题与存在 量词命题问题的两种 A.]x≤2，x2+2x-8≤0 B.Hx>2,x2+2x-8>0 题型 C.3x≤2，x2+2x-8>0 D.]x>2,x2+2x-8>0 1.对含有量词的命题 进行否定，一要改变 (2)若命题“Hx∈R,都有mx2+4x-1≠0”为假命题，则实数m的取 量词，二要否定结论： 值范围为 2.根据全称量词命题 和存在量词命题的真 A.{ml-4<m<0 B.mlm>0 假求参数的取值范 C.{mlm≥-4} D.{ml-4≤m≤0} 围，一般把问题转化 为函数、不等式或集 ●[方法总结5] 合问题解决 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）章末复习与总结 知识点三 ≥a=b 例1：(1)C(2)C 预习自测 【解析】（1)①当x=0时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为 1.(1)V(2)V(3)×(4)V 0,-1,-2;②当x=1时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为1， 【解析】(1)不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2. 0,-1:③当x=2时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0. (2)若x2=0,则x=0,所以x≥0成立. 所以B=-2,-1,0,1,2},故选C (3)若x-1≤0，则x<1或者x=1,即x≤1 (2)若a=1,则2a-1=1,矛盾；若2a-1=1,则a=1,矛盾， (4)任意两数之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的 故2a-1=1,解得a=1(舍)或a=-1,故M=}-1,-3, 一种，没有其他大小关系. 1},M中所有元素之和为-3，故选C 2.>因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a- 例2：(1)D(2){ala<-8或a≥3} b)2>0. 【解析】(1)由题意得集合A={1},{1,2},1,3},{1,4},3.x2+4>4x方法一：x2+4-4x=(x-2)2,而x≠2，所以(x- 1,2,3},1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4}.故选D. 2)2>0,所以x2+4-4x>0,所以x2+4>4x. (2)用数轴表示两集合的位置关系，如图所示， 方法二：由重要不等式可知x2+4≥4x,当且仅当x=2时等号 B☐A A 成立，又x≠2，所以x2+4>4x a+1a+3-5 0 4 题型探究提技能 A 例1：设复兴号列车速度为u,km/h,民航飞机的最低速度为2 AB km/h,普通客车速度为3km/h. 或 -504a+1a+3 要使BCA,只需a+3<-5或a+1≥4，解得a<-8或a≥ 1、巧2的关系：21+100≤2,13的关系：1>32 3.所以实数a的取值范围为{ala<-8或a≥3} 跟踪训练1：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m, 例3：(1)C(2)B 所以0<x≤18， 【解析】(1)由题图所示，U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A= 这时莱园的另一条边长为”02=(15-之)(m。 {1,2,3},B=3,5,6},所以CB=0,1,2,4,7,8},(CmB)∩A =1,2}.故选C. 因此菜园面积5=x·（15-交)，依题意有S≥10。 (2)由AUB=A知BCA,所以m=3或m=m.当m=3时，A ={1,3,5},B={1,3},满足AUB=A;若m=m,则m=1 即x(15-)≥110， 或0.当m=1时，/m=1,不合题意，舍去，当m=0时，A= 故该题中的不等关系可用不等式组表示 {1,3,0},B={1,0},满足AUB=A. r0<x≤18， 例4：(1)由题意得P是Q的真子集，当P是空集时，满足PQ, 为 即a+1>2a+1,解得a<0; (15-)≥10， ra≥0， 例2：(x2-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 当P是非空集合时，要使PQ,则{a+1≥-2，且a+1=-2 =(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 2a+1≤5， 与2a+1=5不同时成立， =x-0(-+1)=x-[(-）+] 解得0≤a≤2，故a的取值范围是{ala≤2}. (2)若“xeA”是“xeB”的必要条件，则BCA, (-）+>0-10 又集合B为非室集合，故有+2a之5：解得}≤a<2, r1+2a≥2， G-0-广引0e-12-2a 所以a的取值范围 1 a 2sa<2 跟踪训练2：：5x2+y2+2-(2xy+4x+2z-2) 例5：(1)A(2)C =4x2-4x+1+x2-2y+y2+z2-2z+1 【解析】(1)命题“Hx≤2，x2+2x-8>0”的否定是：3x≤ =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0， 2,x2+2x-8≤0.故选A. .5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2, (2)由题意得“xeR,使得mx2+4x-1=0”是真命题，当m 1 当且仅当x=y=2且z=1时取等号 =0,x=4符合题意；当m≠0，只要4=16+4m≥0即可，解 例3：证法一：利用a+b≥2ab. 得m≥-4且m≠0.综上：实数m的取值范围是{mlm≥ 4}. a>0a+}a+()广=2a=2 第二章一元二次函数、方程和不等式 当且仅当a=二即a=1时，等号成立.a+1≥2. a 2.1等式性质与不等式性质 证法二：.a+ 日-2=(a+(）-2=(a-) ≥0， 第1课时不等式关系与比较大小 教材梳理明要点 a+日≥2 新知初探 跟踪训练3：因为a2+362-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2 知识点 ≥0， 不等号的式子 当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+3b2≥2b(a+b) 知识点二 随堂检测重反馈 axb axb a=b a=b a<b a<b :1.CA应为x≤2000；B应为x<y;D应为y≤a,故选C -315