1.5.1 全称量词与存在量词-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

021 随堂检测重反馈 1.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，则a的取值范围是 A.a≥3 B.a≤-1 C.-1≤a≤3 D.a≤3 3.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是 4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 1.5 全称量词与存在量词 新课程标准解读 学科核心素养 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 数学抽象、逻辑推理 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 1.5.1全称量词与存在量词 教材梳理明要点 ●情境导入 “我们学校举行的中学生机器人大赛中，共有100名同学参赛，所有 参赛同学都学习过编程，至少有20名同学来自高一年级，每一个同学都 信心十足.” 问题： [提示] 上述报导中的短语：“所有”“至少有”和“每一个”，在逻辑上称为什么？ “所有”“至少有” 含有这些短语的命题称作什么命题？ D[提示] 和“每一个”，在逻辑 上称为量词，含有这 已新知初探 些短语的命题称作全 知识点一全称量词与全称量词命题 称量词命题或存在量 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做 词命题」 量词，并用符号“ ”表示 2.全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题 3.全称量词命题的表述形式：“对M中任意一个x,P(x)成立”，可用符号简记 为 4.全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集 合M中的每个元素x,证明(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命 题，只需列举出一个xo∈M,使得p(xo)不成立即可. 022 注意：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出 来.例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形 的对角线都互相平分”. 知识点二存在量词与存在量词命题 1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫 做 量词，并用符号“ ”表示。 2.存在量词命题：含有 的命题，叫做存在量词命题， 3.存在量词命题的表述形式：“存在M中的元素x,使(x)成立”，可用符号 [知识点反思] 简记为 全称量词命题与存在 4.存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集 量词命题的区别 合M中，能找到一个元素x,使(x)成立即可；否则这一命题就是假命题， 1.全称量词命题中的 全称量词表明给定范 [知识点反思] 围内所有对象都具有 目预习自测 某一性质，无一例外， 1.下列命题中全称量词命题的个数是 ( 强调“整体、全 部”； ①任意一个自然数都是正整数②有的矩形是正方形③三角形的内角 2.存在量词命题中的 和是180° 存在量词表明给定范 A.0 B.1 C.2 D.3 围内的对象有例外，强2.下列语句中，是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 调“个别、部分”· ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗？ 题型探究提技能 [方法总结1] 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 判断一个语句是全称 量词命题还是存在量 词命题的步骤 例 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题 (1)梯形的对角线相等； 断 判断该语句是否 为命题 (2)存在一个四边形有外接圆 (3)二次方程都存在实数根； 看命题中是否合 看有量词或隐合量 (4)过平面内两点有且只有一条直线. ●[方法总结1] 词，判断量词或隐 词 合量词是全称量 词还是存在量词 ↓ 含有全称量词的 下命题称为全称量 结词命题，合有存在 论量词的命题称为 存在量词命题 ●023 》跟踪训练1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)有些实数a,b能使Ia-bl=lal+1b; (4)方程3x-2y=10有整数解. [方法总结2] 判断全称量词命题 和存在量词命题真 假的方法 1.要判断一个全称量 词命题为真，必须 满足集合中的每一 个元素x,使命题 px)为真；但要判断 题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 一个全称量词命题 例2判断下列命题的真假 为假时，只要在给 定的集合中找到一 (1)VxeR+1> 个元素x,使命题 px)为假； (2)3,B∈R,(a-B)2=(a+B)2; 2要判断一个存在量 (3)存在一个数既是偶数又是负数； 词命题为真，只要 (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； 在给定的集合中找 到一个元素x,使命 (5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立. [方法总结2] 题p(x)为真；要判断 一个存在量词命题 为假，必须对给定 集合中的每一个元 素x,使命题p(x) 为假. 〉跟踪训练2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)3x,y∈Z,使3x-4y=20; (4)任何数的0次方都等于1. 024 题型三全称量词命题与存在量词命题的应用 [方法总结3] 例 3.(1)已知集合A={x11≤x≤2}，若命题“Hx∈A,一次函数y=x+m的 解决含有量词的命题 图象在x轴上方”是真命题，求实数m的取值范围. 求参数范围问题的 等价于函数y=x+m的最小值大于0 思路 1.全称量词命题求参 (2)若命题“3x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命题，求实数 数范围的问题，一 a的取值范围. 即关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根 般在题目中会出现 P[方法总结3] “恒成立”等词语 可构造函数，利用 数形结合求参数范 围，也可用分离参 数法求参数范围： 2.存在量词命题求参 数范围的问题中常 出现“存在”等词 语，通常是假设存 在满足条件的参 数，然后利用条件 求参数范围，若能 求出参数范围，则 假设成立；反之， )跟踪训练3 假设不成立，解决有 关存在量词命题的 (1)已知命题p:“x∈R,x2-2√3x+m=0”是真命题，则实数m的取值范围 参数取值范围问题 是 时，应尽量分离参 A.m<3 B.m>3 C.m≤3 D.m≥3 数 (2)已知命题p:“Hx∈R,mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是 随堂检测 重反馈 1.下列命题是全称量词命题的是 A.有的三角形是等边三角形 B.所有2的倍数都是偶数 C.有一个实数，使1xl≤0 D.至少有一个x∈{xx是无理数}，x2是无理数 2.(多选)下列命题中是真命题的是 A.3x∈R,x3=3 B.3x∈R,3x+1是整数 C.Hx∈R,lxl>3 D.Hx∈Q,x2∈Z 3.命题p:]x∈R,x2+2x+5=0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是 命题（填“真”或“假”） 4.已知下列命题：①Hx∈R,x2+2>0;②Hx∈N,x≥1；③对任意实数x,y,都有x2+y2≠0.其中真 命题的个数为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8]2.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以g是p的必要条 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac 件故选B. +2bc, 3.(1)台(2)→ 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0, 【解析】(1)命题“若x2=1,则x=1”是假命题，故x2=1≠ 所以a=b,a=c,b=c,即a=b=c,故△ABC为等边三角形； x=1. (2)必要性（由△ABC为等边三角形台a2+b2+c2=ab+ac+ (2)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，故a,b bc): 都是偶数一a+b是偶数. 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 4.{a-2≤a≤7}因为N是M的必要条件，所以MCN.于是 所以a2+b+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,故a2+b2+c2=ab+ a-1≥3，从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 ac bc. la+1≤8， 综上可知，命题得证 {al-2≤a≤7}. 例3：设p对应的集合为A=x|x-2>0},即A={xx>2} 9对应的集合为B=xlax-4>0. 1.4.2 充要条件 ra>0, 教材梳理 明要点 （1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB,即4<2， 新知初探 l a 知识点一 解得a>2,故实数a的取值范围为{ala>2}: 充分必要充要 (2)因为p是g的必要不充分条件，所以B手A. 预习自测 ①当a>0时，由B军4，得4>2，解得0<a<2: 1.Ca2+b2=c2与△ABC为直角三角形，故选C. ②当a<0时，显然不满足题意： 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,p台9，所以p是q的充要 综上，实数a的取值范围为{aI0<a<2 条件.对于(2)，P→q,但q≠p,所以p是q的充分不必要条 跟踪训练3：(1){mlm>2}(2){aa≥1} 件.对于(3)，pg,但g→p,所以p是g的必要不充分条件. 对于(4)，显然p台g,所以p是q的充要条件. 【解析】(1)由题意，P:-1<x<3,9:-1<x<m+1,因为9 是p的必要不充分条件，即xI-1<x<3}至{xI-1<x<m 题型探究提技能 +1},则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{mlm 例1：(1)B(2)见解析 >2}. 【解析】(1)因为A=xlx=3k,keN},B=xlx=6z,z∈N (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1.由x-a≤0，得x≤ ={xlx=3×2z,z∈N},所以B手A,所以“x∈A”是“x∈B”的 a.设A={xl0<x<1},B=xlx≤a,:p是q的充分不必要 必要不充分条件 条件，∴.A至B,∴.a≥1.故实数a的取值范围是ala≥1}. (2)①因为1xl=1y时，x=±y,不一定有x3=y,而x3=y2时 随堂检测重反馈 一定有x=y,必有1x|=Iyl,所以p是q的必要不充分条件. 1.B由a2=b2,得a=±b,当a=-b时，a2+b2≠2ab.由a2+ ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是g的 b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以“a2=b2”是“a2+b 充要条件 =2ab”的必要不充分条件.故选B. ③若ACB,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故a ACB,故p是q的充要条件。 ≤-1. ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等 3.{mlm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以 (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 {xlx>m是{xlx>2}的真子集，所以m>2. 等，故p是g的充分不必要条件。 4.m=-2函数y=x+mx+1的图象关于直线x=1对称，则 跟踪训练1：(1)D(2)A 【解析】(1)a2+b2>0,则a,b不同时为零；a,b中至少有一 受=1，即m=-2:反之，若m=-2,则y=-2x+1的图 个不为零，则a2+b2>0. 象关于直线x=1对称. (2)如图所示，：甲是乙的必要条件，.乙 甲 一甲.又丙是乙的充分条件，但不是乙的 1.5全称量词与存在量词 必要条件，∴.丙一乙，但乙台丙.综上，有丙 一乙一甲，甲台丙，即丙是甲的充分条件，（丙 1.5.1全称量词与存在量词 但不是甲的必要条件 例2：设p:ac<0,9:关于x的方程a2+bx+c=0有一正根和 教材梳理明要点 负根 新知初探 (1)充分性(p→9)： 知识点一 若ac<0成立，则关于x的方程ax2+bx+c=0的判别式△= 1.全称H2.全称量词3.Hx∈M,p(x) 知识点二 2-4ac>0,且两根之积C<0,所以关于x的方程ax2+bx+ 1.存在了2.存在量词3.3xeM,p(x) c=0有一正根和一负根成立，即充分性成立 预习自测 (2)必要性(9→p): 1.C①③是全称量词命题 若关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根成立，则两 2.①②③④ ①②③是全称量词命题；④是存在量词命题； 根之积。<0， ⑤不是命题. 题型探究提技能 所以ac<0成立，即必要性成立， 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 由(1)(2)可得，一元二次方程a2+bx+c=0有一正根和 然为全称量词命题 负根的充要条件是ac<0. (2)命题为存在量词命题 跟踪训练2：(1)充分性（由a2+b2+c2=ab+ac+bc→△ABC为 (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 等边三角形)： 为全称量词命题. -313 (4)命题是“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写，题，其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数 故为全称量词命题 2.B量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定 跟踪训练1：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°， 后为“它的平方不是有理数”，故选B. 故为全称量词命题 题型探究提技能 (2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 例1：(1)D（2)见解析 命题 【解析】(1)全称量词命题的否定是存在量词命题.VxeA, (3)含存在量词“有些”，故为存在量词命题 2x∈B的否定：]x∈A,2xB. (4)可改写为：存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立.故为 (2)①该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平 存在量词命题 行.因为平行四边形的两组对边都平行，所以这是一个假 2:(1)真命题，因为≥0，所以2+1≥1,2+1>2恒成立. 命题 (2)真命题，例如a=0,B=1,符合题意 ②该命题的否定：]aeR,方程x2+aw+2=0没有实数根.当 (3)真命题，如数-2，-4等，既是偶数又是负数 a=0时，方程x2+2=0没有实数根，所以这是一个真命题」 ③该命题的否定：]a,b∈R,使方程x=b的解不唯一或不存在 (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长 当a=0,b=1,方程x=b的解不存在，所以这是一个真命题. 度就不是有理数 ④该命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位不是0；15 (5)假命题，因为该方程的判别式△=-31<0，故无实数解. 跟踪训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 是可以被5整除的整数，但末位不是0.所以这是一个真 命题 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以 该命题是真命题. 跟踪训练1：(1)该命题的否定：3x∈-2，-1,0,1,2}，1x-21 (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数， <2 所以该命题是真命题 (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数 (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20 (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数 成立，所以该命题是真命题 (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似 (4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题 例2：(1)D(2)见解析 例3：(1)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m,因为一次函数y= 【解析】 (1)命题p:]x>1,x2-4<0的否定是：Hx>1,x2 x+m的图象在x轴上方， -4≥0.故选D. 所以1+m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是mlm> (2)①HxeR,2x+1<0,为假命题.②VxeR,x2-x+1 -1}. (2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根， ≥0，所以是真命题.③一切分 当a=0时，方程为2x-1=0,显然有实数根，满足题意： 0因为2-x+人 当a≠0时，4=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. 数都是有理数，是真命题， 综上知，实数a的取值范围是ala≥-1}. 跟踪训练2：(1)该命题的否定：任意一个奇数都能被3整除.这 跟踪训练3：(1)C(2)m≥0 个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除 【解析】(1)依题意，方程x2-25x+m=0有实数解，则4 (2)该命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都是60°， =(-25)2-4m≥0，所以m≤3，故选C. 这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60° (2)当xeR时，x2≥0，若“HxeR,mx2≥0”是真命题，则有m (3)该命题的否定：Vx∈R,有1x+11>1.这个命题为假命 ≥0. 题，如x=0时，不满足1x+11>1. 随堂检测 重反馈 3 (4)该命题的否定：任意xeR,x+x+子>0.因为x+x+ 1.B 2.ABA是真命题，由x3=3得x=5,是无理数，所以选项A 3 112 。11 =（x+2)+2≥2>0，这个命题是真命题 为真命题：B是真命题，当x=1时，3x+1=4是整数：C是假 例3：因为p为假命题，所以命题p:HxeR,m+x2-2x+5>0 命题，如x=2时，<3；D是假命题，如x=】, 2,2Z 为真命题，m+x-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x 3.存在量词命题假命题P是存在量词命题，因为方程x2+ -1)2-4,即m>-(x-1)2-4对任意xeR恒成立，只需m 2x+5=0的判别式22-4×5<0，即方程x2+2x+5=0无实 >-4即可，故实数m的取值范围为{mlm>-4}. 根，所以命题P是假命题 (说明：本题也可利用二次函数y=x2-2x+5+m的图象恒在 4.1①由于Hx∈R,都有x2≥0，因而有x+2≥2>0，即x2+2 x轴上方，转化为对应方程△<0进行解题) >0,所以命题“Hx∈R,x2+2>0”是真命题.②由于0∈N, 跟踪训练3：A因为“了x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0” 当x=0时，x≥1不成立，所以命题“VxeN,x≥1”是假命 不成立，则不等式x2-4x-a-1≥0对Hx∈R恒成立，等价 题.③当x=y=0时，x2+y2=0,所以③是假命题 于xeR时a≤(x2-4x-1)mn恒成立，因为(x2-4x-1)n= -5,.a≤-5.故B、C、D不正确.故选A 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 随堂检测重反馈 教材梳理 明要点 1.C命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即 新知初探 对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根。 知识点 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A;由命题 3xEM,-p(x) 的否定要否定结论，可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 知识点二 词“V”,可排除B. VxEM,p(x) 3.至少有两个 预习自测 4.{ala≥1}因为p为假命题，所以p为真命题，所以Hx> 1.存在一个能被2整除的整数不是偶数原命题是全称量词命：0，x+a-1≠0，即x≠1-a,所以1-a≤0，即a≥1. 314