1.4.2 充要条件-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

018 1.4.2充要条件 教材梳理明要点 ©情境导入 [提示] 由于命题“如果开关 A闭合，那么灯B 亮”是真命题，它的 逆命题“如果灯B 亮，那么开关A闭 问题： 合”也是真命题，所 以“开关A闭合”既 “开关A闭合”与“灯B亮”还有什么关系呢？ [提示] 是“灯B亮”的充分 条件，也是“灯B 台新知初探 亮”的必要条件 知识点一 充要条件 一般地， (1)如果p→g且q→p,则称p是q的 条件，简称为 条件； [知识点反思1] (2)如果p→g且gp,则称p是g的充分不必要条件； “p是9的充要条 (3)如果pg且q→p,则称p是q的必要不充分条件； 件”，可记作P台9， 读作p与9等价，也 (4)如果pg且q≠P,则称p是q的既不充分也不必要条件 可以说成“p成立当 >[知识点反思1] 且仅当9成立”或“g 成立当且仅当P成 知识点二用集合的观点理解充分条件与必要条件 立” p:A=xlp(x)成立}，q:B=xq(x)成立}. 若ACB,则p是g的充分条件： B 若A手B,则p是g的充分不必要条件 若B二A,则p是g的必要条件； 若B手A,则p是9的必要不充分条件 若A=B,则p,9互为充要条件 预习自测 1.设a,b,c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c,则“a2+b2=c2”是“△ABC为 直角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 019 2.下列各题中，p是g的充要条件的是 .(填序号) (1)p:3x+2>5,9:-2x-3<-5; (2)p:a>2,b<2,9:a>b; (3)P:四边形的两条对角线互相垂直平分，9：四边形是正方形； (4)p:a≠0，q:关于x的方程ax=1有唯一解 题型探究提技能 题型一充要条件的判断 例1.(ID已知集合A=xlx=3k,keN,B=xx=6,eN,“xEA”是 “x∈B”的 条件 A.充分不必要 B.必要不充分 [方法总结1] C.充要 D.既不充分也不必要 判断充分条件、必要 (2)判断下列各题中，P是9的什么条件（在“充分不必要条件”“必要 条件及充要条件的四 种方法 不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种 1.定义法：直接判断 作答) “若P,则9”以及 ①p:lxl=lyl,g:x3=y3; “若9，则p”的 ②p:△ABC中，AB>AC,9:△ABC中，∠C>∠B; 真假： ③p:ACB,9:AUB=B; 2.集合法：即利用集 合的包含关系判断； ④p:两个三角形全等，q:两个三角形面积相等.●[方法总结1] 3.等价法：即利用p曰 9与9台p的等价关 系，对于条件和结论 是否定形式的命题， 一般运用等价法； 4.传递法：充分条件 和必要条件具有传递 性，即由P,→P2→“ →Pn,可得P,→Pn: 充要条件也有传递性， )》跟踪训练1 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 A.ab=0 B.ab>O C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 (2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 ( A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分又不必要条件 020 题型二充要条件的证明 2.求证：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是 [方法总结2] ac<0. ●[方法总结2] 充要条件的证明策略 /.要证明一个条件P 是否是9的充要条 件，需要从充分性和 必要性两个方向进 行，即证明命题“若 P,则9”为真且“若 9:则p”为真； 2.在证明的过程中也 》】跟踪训练2 可以转化为集合的思 证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc,这里a, 想来证明，证明P与 b,c是△ABC的三条边的边长. 9的解集是相同的， 证明前必须分清楚充 分性和必要性，即搞 清楚由哪些条件推证 到哪些结论 题型三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 3.已知p:x-2>0,9:ax-4>0,其中a∈R且a≠0. [方法总结3] (1)若P是g的充分不必要条件，求实数a的取值范围；等价于A军B 应用充分不必要、必 (2)若P是g的必要不充分条件，求实数a的取值范围.等价于B手A 要不充分及充要条件 求参数值（范围）的一 ①p对应的集合A是q对应的集合B的真子集； 般步骤 ②g对应的集合B是p对应的集合A的真子集 1.根据已知将充分不 [方法总结3] 必要条件、必要不充 分条件或充要条件转 化为集合间的关系； 2.根据集合间的关系 构建关于参数的方程 (组)或不等式（组） 求解， )》跟踪训练3 (1)已知p:-1<x<3,9:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件，则实数 m的取值范围是 (2)已知x∈R,p:x<x,9:x-a≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的 取值范围是 021 随堂检测重反馈 1.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，则a的取值范围是 A.a≥3 B.a≤-1 C.-1≤a≤3 D.a≤3 3.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是 4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 1.5 全称量词与存在量词 新课程标准解读 学科核心素养 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 数学抽象、逻辑推理 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 1.5.1全称量词与存在量词 教材梳理明要点 ●情境导入 “我们学校举行的中学生机器人大赛中，共有100名同学参赛，所有 参赛同学都学习过编程，至少有20名同学来自高一年级，每一个同学都 信心十足.” 问题： [提示] 上述报导中的短语：“所有”“至少有”和“每一个”，在逻辑上称为什么？ “所有”“至少有” 含有这些短语的命题称作什么命题？ D[提示] 和“每一个”，在逻辑 上称为量词，含有这 已新知初探 些短语的命题称作全 知识点一全称量词与全称量词命题 称量词命题或存在量 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做 词命题」 量词，并用符号“ ”表示 2.全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题 3.全称量词命题的表述形式：“对M中任意一个x,P(x)成立”，可用符号简记 为 4.全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集 合M中的每个元素x,证明(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命 题，只需列举出一个xo∈M,使得p(xo)不成立即可.2.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以g是p的必要条 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac 件故选B. +2bc, 3.(1)台(2)→ 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0, 【解析】(1)命题“若x2=1,则x=1”是假命题，故x2=1≠ 所以a=b,a=c,b=c,即a=b=c,故△ABC为等边三角形； x=1. (2)必要性（由△ABC为等边三角形台a2+b2+c2=ab+ac+ (2)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，故a,b bc): 都是偶数一a+b是偶数. 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 4.{a-2≤a≤7}因为N是M的必要条件，所以MCN.于是 所以a2+b+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,故a2+b2+c2=ab+ a-1≥3，从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 ac bc. la+1≤8， 综上可知，命题得证 {al-2≤a≤7}. 例3：设p对应的集合为A=x|x-2>0},即A={xx>2} 9对应的集合为B=xlax-4>0. 1.4.2 充要条件 ra>0, 教材梳理 明要点 （1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB,即4<2， 新知初探 l a 知识点一 解得a>2,故实数a的取值范围为{ala>2}: 充分必要充要 (2)因为p是g的必要不充分条件，所以B手A. 预习自测 ①当a>0时，由B军4，得4>2，解得0<a<2: 1.Ca2+b2=c2与△ABC为直角三角形，故选C. ②当a<0时，显然不满足题意： 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,p台9，所以p是q的充要 综上，实数a的取值范围为{aI0<a<2 条件.对于(2)，P→q,但q≠p,所以p是q的充分不必要条 跟踪训练3：(1){mlm>2}(2){aa≥1} 件.对于(3)，pg,但g→p,所以p是g的必要不充分条件. 对于(4)，显然p台g,所以p是q的充要条件. 【解析】(1)由题意，P:-1<x<3,9:-1<x<m+1,因为9 是p的必要不充分条件，即xI-1<x<3}至{xI-1<x<m 题型探究提技能 +1},则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{mlm 例1：(1)B(2)见解析 >2}. 【解析】(1)因为A=xlx=3k,keN},B=xlx=6z,z∈N (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1.由x-a≤0，得x≤ ={xlx=3×2z,z∈N},所以B手A,所以“x∈A”是“x∈B”的 a.设A={xl0<x<1},B=xlx≤a,:p是q的充分不必要 必要不充分条件 条件，∴.A至B,∴.a≥1.故实数a的取值范围是ala≥1}. (2)①因为1xl=1y时，x=±y,不一定有x3=y,而x3=y2时 随堂检测重反馈 一定有x=y,必有1x|=Iyl,所以p是q的必要不充分条件. 1.B由a2=b2,得a=±b,当a=-b时，a2+b2≠2ab.由a2+ ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是g的 b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以“a2=b2”是“a2+b 充要条件 =2ab”的必要不充分条件.故选B. ③若ACB,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故a ACB,故p是q的充要条件。 ≤-1. ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等 3.{mlm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以 (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 {xlx>m是{xlx>2}的真子集，所以m>2. 等，故p是g的充分不必要条件。 4.m=-2函数y=x+mx+1的图象关于直线x=1对称，则 跟踪训练1：(1)D(2)A 【解析】(1)a2+b2>0,则a,b不同时为零；a,b中至少有一 受=1，即m=-2:反之，若m=-2,则y=-2x+1的图 个不为零，则a2+b2>0. 象关于直线x=1对称. (2)如图所示，：甲是乙的必要条件，.乙 甲 一甲.又丙是乙的充分条件，但不是乙的 1.5全称量词与存在量词 必要条件，∴.丙一乙，但乙台丙.综上，有丙 一乙一甲，甲台丙，即丙是甲的充分条件，（丙 1.5.1全称量词与存在量词 但不是甲的必要条件 例2：设p:ac<0,9:关于x的方程a2+bx+c=0有一正根和 教材梳理明要点 负根 新知初探 (1)充分性(p→9)： 知识点一 若ac<0成立，则关于x的方程ax2+bx+c=0的判别式△= 1.全称H2.全称量词3.Hx∈M,p(x) 知识点二 2-4ac>0,且两根之积C<0,所以关于x的方程ax2+bx+ 1.存在了2.存在量词3.3xeM,p(x) c=0有一正根和一负根成立，即充分性成立 预习自测 (2)必要性(9→p): 1.C①③是全称量词命题 若关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根成立，则两 2.①②③④ ①②③是全称量词命题；④是存在量词命题； 根之积。<0， ⑤不是命题. 题型探究提技能 所以ac<0成立，即必要性成立， 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 由(1)(2)可得，一元二次方程a2+bx+c=0有一正根和 然为全称量词命题 负根的充要条件是ac<0. (2)命题为存在量词命题 跟踪训练2：(1)充分性（由a2+b2+c2=ab+ac+bc→△ABC为 (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 等边三角形)： 为全称量词命题. -313