1.4.1 充分条件与必要条件-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

014 随堂检测重反馈 1.已知全集U={0,1,2},且CA={2},则A= A.{0 B.{1 c.0 D.{0,1} 2.已知全集U=R,集合A={yly=x2+3,x∈R},B={x-2<x<4},则图O 中阴影部分表示的集合为 ) A.{xl-2≤x≤3} B.{xl-2<x<3 C.{xl-2<x≤3 D.{xl-2≤x<3} 3.(2022·北京卷改编)已知全集U={x1-3<x<3},集合A={x|-2<x ≤1}，则CA= A.{x|-2<x≤1} B.{x|-3<x<-2或1≤x<3 C.{xl-2≤x<1 D.{x|-3<x≤-2或1<x<3 4.设全集U={n∈NI1≤n≤10，A=1,2,3,5,8,B={1,3,5,7,9},则(CA)∩B= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5] .4充分条件与必要条件 新课程标准解读 学科核心素养 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系， 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 1.4.1 充分条件与必要条件 教材梳理明要点 ●情境导入 在右图所示电路图中，闭合开关K,与 [提示1] 灯泡L亮是有关系的.甲图中K闭合时，灯 K 若开关K,闭合，则灯 泡L一定亮，但灯泡L亮时K不一定闭合； 泡L亮 乙图中K闭合时，灯泡L不一定亮，但灯泡 甲 [提示2] 亮时K一定闭合 数学中常用充分条 问题： 件、必要条件和充要 1.把K闭合作为条件，灯泡L亮看作结论，如何用命题的形式表示出 条件来刻画条件与结 论的不同关系， 来呢？ 2.在数学中如何描述条件与结论的这种不同关系呢？ ●[提示] 015 日新知初探 知识点一命题 1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的陈述句 叫做 2.分类：判断为真的语句是 判断为假的语句是 3.表达形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p,则g”“如果p,那么g”等 形式.其中p称为命题的 ,9称为命题的 知识点二充分条件、必要条件 命题真假 “若p,则gq”是真命题 “若p,则g”是假命题 推出关系 p是q的 条件 条件关系 p不是g的 条件 q是p的 条件 q不是p的 条件 [知识点反思] [知识点反思] 在命题“若卫，则9” 中，若P→9，则p是 白预习自测 9的充分条件；若9→ 1.（多选)下列“若p,则g”形式的命题中，q是p的必要条件是 P,则P是9的必要 A.若y=1,则x,y互为倒数 B.若a∈Q,则aeR 条件. C.若x≠-1，则x2-1≠0 D.若ab=0,则a=0 2.已知实数x,“x≥2”是“x≥1”的 条件（填“充分”或“必要”）。 题型探究提技能 题型一充分条件的判断 例1判断下列哪些命题中p是9的充分条件？ [方法总结1] (1)若x∈{1,2,3,4}，则x∈{x∈Q10<x<5}; 充分条件的两种判断 方法 (2)若x=1,则x2-4x+3=0; (3)若lxl=y,则x=y; 1.定义法 (4)若∠A1=∠A2=30°，B,C1=B2C2=2,A1B1=A2B2=2,则△A1B1C 第 确定谁是条件，谁 和△AB2C2全等. ●[方法总结1] 步 是结论 第二步 尝试由条件推结 勾 )】跟踪训练1 若条件能推出结 下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中p是g的充分条件？ 第 论，则条件为结论 (1)若x>1,则x>2; 三步 的充分条件，否则 条件就不是结论 (2)若内错角相等，则两直线平行； 的充分条件 (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； (4)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0. 2.集合关手法 已知条件P:“x∈A”, 结论9：“x∈B”,若 A=B,则P是9的充 分条件 016 题型二必要条件的判断 例2下列若，则g形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ (1)若1x1>2,则x>2; (2)若∠A和∠B是对顶角，则∠A=∠B; (3)已知a,b,c,deR,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d; [方法总结2] (4)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的四条边相等 必要条件的两种判断 方法 P[方法总结2] 1.定义法：若p→9， 则9是p的必要条 件，即 第一步确定“条件” 与“结论”； 第二步尝试由“结 论”推“条件”； 》跟踪训练2 第三步若由“结论” 能推出“条件”，则 下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ “条件”是“结论” (1)若a是1的平方根，则a=1; 的必要条件 (2)若4x2-mx+9是完全平方式，则m=12; 2集合关系法 (3)若a是无理数，则a是无限小数； 已知条件P:“x∈ (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等. A”，结论9：“x∈ B”，若A2B,则P 是9的必要条件. 题型三充分、必要条件的探求 例3.(1)（多选）设x后R,则使x>π成立的一个充分条件是 () A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x>5 [方法总结3] 若P是9的充分（必 (2)写出“四边形ABCD是矩形”的一个必要条件： 要)条件，这样的条件P P[方法总结3] 是不唯一的 》跟踪训练3 (1)（多选)使|x1=x成立的一个必要条件是 A.x<0 B.x≥0或x≤-1 C.x>0 D.x≥-1 (2)“一元二次方程x2-ax+1=0有两个正实数根”的一个充分条件可以为 ;一个必要条件可以为 017 题型四根据充分（必要）条件求参数的范围 例4.1)已知P:实数清足3a<x<a,其中a<0g:实数清足-2≤≤.若 p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 1转化为集合间的包含关系{x3a<x<a,a<0}C{xl-2≤x≤3 2)已知P={xla-4<x<a+4},Q={xl1<x<3},“x∈P”是“x∈ Q”的必要条件，求实数α的取值范围， 转化为Q二P P[方法总结4] [方法总结4] 根据充分（必要）条件 求参数的范围的步骤 1根据充分条件、必 要条件与集合间的关 系，将问题转化为相 应的两个集合之间的 包含关系； 》跟踪训练4 2.建立关于参数的不 等式（组）进行求解. （1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围. (2)若“x<-3或x>1”是“x>a”的必要条件，求a的取值范围. 随堂检测 重反馈 1.若a∈R,则“a=1”是“|a=1”的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.无法判断 2.若p是g的充分条件，则g是p的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 3.用符号“→”与“”填空： (1)x2=1 x=1; (2)a,b都是偶数 a+b是偶数， 4.已知M={xla-1<x<a+1},N={xl-3<x<8},若N是M的必要条件，则实数a的取值范围 为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6]跟踪训练2：(1)B(2){1,2,3 (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题， 【解析】(1)：U=R,B={xlx>1},.CB=xlx≤1}.又A 所以p→g,所以p是q的充分条件 =Ixlx>0,..An(Cu B)=101 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数 (2)CmB=2},AU(CB)=1,2,3. 所以a的个位数字为偶数： 例3：(1)由已知A={xlx≥-m},得uA={xlx<-m} 所以P=g,所以p是g的充分条件 因为B={xl-2<x<4},(CA)∩B=⑦， (4)因为(x-1)2+(y-2)2=0台x=1且y=2=(x-1)·(y 在数轴上表示，如右图」 B -2)=0. 所以-m≤-2，即m≥2 -m-202 所以p→q,所以p是q的充分条件 所以m的取值范围是{mlm≥2}. 例2：(1)因为当1xl>2时，x>2或x<-2,所以p台g,所以g (2)由已知得A={xx≥-m},所以CA={xlx<-m}, 不是p的必要条件 又(CA)∩B≠⑦，所以-m>-2,解得m<2. (2)因为对顶角相等，所以p→q,所以q是p的必要条件 所以m的取值范围是{mlm<2}. (3)因为1≠3,5≠3但是1+5=3+3，所以p台9，所以9不 跟踪训练3：(1)2（2)7 是p的必要条件 【解析】(1)：CA=5},.5∈U,且5A..d+2a-3= (4)因为正方形的四条边相等，所以p一g,所以g是p的必要 5,解得a=2或a=-4.当a=2时，12a-11=3≠5，此时A= 条件 {3,2},U=2,3,5},符合题意.当a=-4时，12a-11=9,此 跟踪训练2：(1)1的平方根是±1，所以p台g,所以g不是p的 时A=9,2},U=2,3,5},不满足条件A=15},故a=-4 必要条件. 舍去.综上知a-2. (2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2，所以m=±12，所以p台q, (2)U=R,A={xa≤x≤b},∴.CA={xlx<a或x>b}.又 所以q不是p的必要条件. CA=xlx<3或x>4},.a=3,b=4,a+b=7. (3)因为无理数是无限不循环小数，所以P→q,所以q是p的 随堂检测重反馈 必要条件 1.D.U={0,1,2},CA=2},.A={0,1},故选D. (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等， 2.By=x2+3≥3，所以A={yIy≥3}，阴影部分表示集合为 所以p→g,所以q是p的必要条件. (C A)OB,Cu A=lyly <31,(Cu A)nB=-2<x<3. 例3：(1)CD 选B. (2)四边形ABCD的两组对边分别平行（答案不唯一） 3.D由补集定义可知：CA={xl-3<x≤-2或1<x<3},故 【解析】(1)因为4>π，所以x>4能推出x>T,故x>4是x 选D. >π的一个充分条件，同理，x>5也是x>π的一个充分 4.{7,9}由题意，得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故CA= 条件 {4,6,7,9,10},所以(CA)∩B=7,9 (2)因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的两组对边 分别平行，即“四边形ABCD是矩形”能推出“四边形ABCD的 1.4充分条件与必要条件 两组对边分别平行”，所以“四边形ABCD的两组对边分别平 行”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 跟踪训练3：(1)BD(2)a>3(答案不唯一)a>-1(答案不 唯一) 教材梳理 明要点 【解析】（1)Ixl=x的解为x≥0，设A=x1x≥0}，B={xlx 新知初探 ≥0或x≤-1}，A二B,所以x≥0或x≤-1是使|x|=x成立 知识点 的一个必要条件，同理x≥-1也是使xI=x成立的一个必要 1.真假命题2.真命题假命题3.条件结论 条件. 知识点二 (2)因为一元二次方程x-ax+1=0有两个正实数根，所以 P→9p书q充分必要充分必要 预习自测 A=02-4≥0，解得a≥2.故一元二次方程-a+1=0有 x1+x2=a>0, 1.AB当“若p,则g”形式的命题为真命题时，g是p的必要条 两个正实数根的一个充分条件可以为a>3;一元二次方程x 件因为选项A,B中的命题是真命题，选项C,D中的命题是 -ar+1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>-1. 假命题.故选AB. 例4：(1)p:3a<x<a,a<0,即集合A=xl3a<x<a,a<0}. 2.充分由x≥2能推出x≥1，所以“x≥2”是“x≥1”的充分 9:-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3}.因为p→q,所以 条件 ACB. 题型探究提技能 r3a≥-2. 例1：(1)集合{x∈QI0<x<5}是由大于0且小于5的有理数构 所以{a≤3， 2 3 ≤a<0,所以a的取值范围是 成的集合， la<0 所以P→q,所以p是q的充分条件. 2 (2)p→q,所以p是q的充分条件 a -3≤a<0 (3)若1xl=1yl,则x=y或x=-y,所以p≠q,所以p不是q (2)因为“xeP”是“x∈Q”的必要条件，所以QCP, 的充分条件 (4)由∠A1=∠A,=30°，B1C1=B,C,=2,A1B1=A,B2=2知 所以4即51，所以-1a5 ∠B1=∠B2=120°. 即a的取值范围为{al-1≤a≤5} 所以△A,B,C1和△A,BC2全等，所以p→q,所以p是q的充 跟踪训练4：(1)由已知条件知{xlx<m}C{xx>2或x<1}, 分条件 所以m≤1.所以m的取值范围是mlm≤1}. 跟踪训练1：(1)方法一：由x>1≠x>2,所以p不是q的充分 (2)由已知条件得{xlx>a}Cxlx<-3,或x>1},所以a≥1. 条件. 所以a的取值范围是ala≥1}. 方法二：设集合A={xx>1},B={xlx>2, 随堂检测重反馈 所以B二A,所以p不是g的充分条件. :1.Aa=1→|al=1;lal=1台a=1,所以选A. -312 2.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以g是p的必要条 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac 件故选B. +2bc, 3.(1)台(2)→ 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0, 【解析】(1)命题“若x2=1,则x=1”是假命题，故x2=1≠ 所以a=b,a=c,b=c,即a=b=c,故△ABC为等边三角形； x=1. (2)必要性（由△ABC为等边三角形台a2+b2+c2=ab+ac+ (2)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，故a,b bc): 都是偶数一a+b是偶数. 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 4.{a-2≤a≤7}因为N是M的必要条件，所以MCN.于是 所以a2+b+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,故a2+b2+c2=ab+ a-1≥3，从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 ac bc. la+1≤8， 综上可知，命题得证 {al-2≤a≤7}. 例3：设p对应的集合为A=x|x-2>0},即A={xx>2} 9对应的集合为B=xlax-4>0. 1.4.2 充要条件 ra>0, 教材梳理 明要点 （1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB,即4<2， 新知初探 l a 知识点一 解得a>2,故实数a的取值范围为{ala>2}: 充分必要充要 (2)因为p是g的必要不充分条件，所以B手A. 预习自测 ①当a>0时，由B军4，得4>2，解得0<a<2: 1.Ca2+b2=c2与△ABC为直角三角形，故选C. ②当a<0时，显然不满足题意： 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,p台9，所以p是q的充要 综上，实数a的取值范围为{aI0<a<2 条件.对于(2)，P→q,但q≠p,所以p是q的充分不必要条 跟踪训练3：(1){mlm>2}(2){aa≥1} 件.对于(3)，pg,但g→p,所以p是g的必要不充分条件. 对于(4)，显然p台g,所以p是q的充要条件. 【解析】(1)由题意，P:-1<x<3,9:-1<x<m+1,因为9 是p的必要不充分条件，即xI-1<x<3}至{xI-1<x<m 题型探究提技能 +1},则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{mlm 例1：(1)B(2)见解析 >2}. 【解析】(1)因为A=xlx=3k,keN},B=xlx=6z,z∈N (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1.由x-a≤0，得x≤ ={xlx=3×2z,z∈N},所以B手A,所以“x∈A”是“x∈B”的 a.设A={xl0<x<1},B=xlx≤a,:p是q的充分不必要 必要不充分条件 条件，∴.A至B,∴.a≥1.故实数a的取值范围是ala≥1}. (2)①因为1xl=1y时，x=±y,不一定有x3=y,而x3=y2时 随堂检测重反馈 一定有x=y,必有1x|=Iyl,所以p是q的必要不充分条件. 1.B由a2=b2,得a=±b,当a=-b时，a2+b2≠2ab.由a2+ ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是g的 b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以“a2=b2”是“a2+b 充要条件 =2ab”的必要不充分条件.故选B. ③若ACB,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故a ACB,故p是q的充要条件。 ≤-1. ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等 3.{mlm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以 (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 {xlx>m是{xlx>2}的真子集，所以m>2. 等，故p是g的充分不必要条件。 4.m=-2函数y=x+mx+1的图象关于直线x=1对称，则 跟踪训练1：(1)D(2)A 【解析】(1)a2+b2>0,则a,b不同时为零；a,b中至少有一 受=1，即m=-2:反之，若m=-2,则y=-2x+1的图 个不为零，则a2+b2>0. 象关于直线x=1对称. (2)如图所示，：甲是乙的必要条件，.乙 甲 一甲.又丙是乙的充分条件，但不是乙的 1.5全称量词与存在量词 必要条件，∴.丙一乙，但乙台丙.综上，有丙 一乙一甲，甲台丙，即丙是甲的充分条件，（丙 1.5.1全称量词与存在量词 但不是甲的必要条件 例2：设p:ac<0,9:关于x的方程a2+bx+c=0有一正根和 教材梳理明要点 负根 新知初探 (1)充分性(p→9)： 知识点一 若ac<0成立，则关于x的方程ax2+bx+c=0的判别式△= 1.全称H2.全称量词3.Hx∈M,p(x) 知识点二 2-4ac>0,且两根之积C<0,所以关于x的方程ax2+bx+ 1.存在了2.存在量词3.3xeM,p(x) c=0有一正根和一负根成立，即充分性成立 预习自测 (2)必要性(9→p): 1.C①③是全称量词命题 若关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根成立，则两 2.①②③④ ①②③是全称量词命题；④是存在量词命题； 根之积。<0， ⑤不是命题. 题型探究提技能 所以ac<0成立，即必要性成立， 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 由(1)(2)可得，一元二次方程a2+bx+c=0有一正根和 然为全称量词命题 负根的充要条件是ac<0. (2)命题为存在量词命题 跟踪训练2：(1)充分性（由a2+b2+c2=ab+ac+bc→△ABC为 (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 等边三角形)： 为全称量词命题. -313