1.3 第2课时 补集及综合运用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

012 第2课时补集及综合运用 新课程标准解读 学科核心素养 在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示 数学抽象 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集， 数学抽象、数学运算 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概，念的作用. 数学运算、直观想象 教材梳理明要点 e情境导入 我们学校高一年级所有同学组成的集合记为P,喜欢数学的同学组 [提示] 成的集合记为M,不喜欢数学的同学组成的集合记为N,那么这三个集合 集合M和集合N都是 有什么关系呢？ 集合P的子集；集合 N是由集合P中不属 P[提示] 于集合M的元素构成 白新知初探 的集合；集合M是由 知识点一全集 集合P中不属于集合 N的元素构成的集合 般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 元素，那么就称 这个集合为 ,记为 知识点二补集 [知识点反思] 对于一个集合A,由全集U中 集合A的所有元 正确理解全集、补集 文字语言 素组成的集合称为集合A 全集U的补集，简称 的概念 为集合A的补集，记作 1.全集是一个相对概 念，因研究问题的不 定义 符号语言 CuA= 同而变化； 2.补集既是集合之间 的一种关系，也是集 图形语言 合之间的一种运算.补 集是相对于全集而言 的，它与全集不可分 (1)Cu ACU; (2)CU= ,Cm②=U: 割，同一个集合在不 性质 (3)C(CuA)= (4)AU(CA)= ;An(CuA)=☑ 同的全集中的补集也 不相同； D[知识点反思] 3.A和CA都是全集 U的子集.若x∈U, 自预习自测 则x∈A或xeCA,二 1.（2023·全国甲卷)设全集U=1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5}, 者必居其一 则NUCM= () A.{2,3,5} B.{1,3,4 C.{1,2,4,5}D.2,3,4,5} 2.已知集合A={x1x<-5或x>7},则CA= () A.{xl-5<x<7} B.{xl-5≤x≤7} C.xlx<-5Uxlx>7 D.{xlx≤-5}U{xlx≥7} 013 题型探究提技能 题型一补集的基本运算 例1)已知全集为0，集合A=1,35,7,dA=24,6,0B=1,4, [方法总结1] 6},则集合B= 求集合的补集的方法 (2)已知全集U={x|x≤5}，集合A={x1-3≤x<5},则CmA= 1.定义法：当集合中 的元素较少时，可利 ●[方法总结1] 用定义直接求解； 》跟踪训练1 2.Venn图法：借助 Venn图可直观地求出 (1)设集合A={x∈N*1x≤6}，B={2,4},则CB等于 全集及补集； A.{2,4} B.{0,1,3,5} 3.数轴法：当集合中 C.{1,3,5,6 D.{x∈N*Ix≤6 的元素连续且无限 （2)已知U={xlx>0},A={x12≤x<6},则CA= 时，可借助数轴求 题型二交集、并集、补集的综合运算 解，此时需注意端点 问题 例2已知全集U=xx≤4，集合A=x1-2<x<3,B=x1-3≤≤ 2},求A∩B,(CA)UB,A∩(CuB) ●[方法总结2] [方法总结2] 解决交集、并集、补 集运算的技巧 集合的交集、并集、 )》跟踪训练2 补集运算是同级运算， (1)设U=R,A={xx>0},B={xlx>1},则An(CB)= 因此在进行集合的混 A.{x10≤x<1 B.{xl0<x≤1} 合运算时，有括号的先 C.xlx<0 D.xlx>1 算括号内的，再按照从 (2)已知集合0={1,2,3,4}，A={1,3},B={1,3,4},则AU(CB)= 左到右的顺序进行 题型三与补集相关的参数值的求解 计算. 例3已知全集U=R,设集合A=x+m≥01，B=-2<r<4. CuA={xlx<-m},借助 [方法总结3] (1)若(CuA)∩B=②，求实数m的取值范围；数抽分析CA与B的关 由集合的补集求解参 (2)若CA)门8求实数m的取值范围秀☆命移注m的取位 数的方法 1.若集合中元素个数 >[方法总结3] 有限时，可利用补集 定义并结合集合知识 求解； 2.若集合中元素有无 限个时，一般利用数 轴分析法求解。 〉跟踪训练3 (1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={I2a-1I,2},CuA={5},则实数a的 值为 (2)设U=R,A={xIa≤x≤b},若CuA={x|x<3或x>4},则a+b= 014 随堂检测重反馈 1.已知全集U={0,1,2},且CA={2},则A= A.{0 B.{1 c.0 D.{0,1} 2.已知全集U=R,集合A={yly=x2+3,x∈R},B={x-2<x<4},则图O 中阴影部分表示的集合为 ) A.{xl-2≤x≤3} B.{xl-2<x<3 C.{xl-2<x≤3 D.{xl-2≤x<3} 3.(2022·北京卷改编)已知全集U={x1-3<x<3},集合A={x|-2<x ≤1}，则CA= A.{x|-2<x≤1} B.{x|-3<x<-2或1≤x<3 C.{xl-2≤x<1 D.{x|-3<x≤-2或1<x<3 4.设全集U={n∈NI1≤n≤10，A=1,2,3,5,8,B={1,3,5,7,9},则(CA)∩B= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5] .4充分条件与必要条件 新课程标准解读 学科核心素养 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系， 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 1.4.1 充分条件与必要条件 教材梳理明要点 ●情境导入 在右图所示电路图中，闭合开关K,与 [提示1] 灯泡L亮是有关系的.甲图中K闭合时，灯 K 若开关K,闭合，则灯 泡L一定亮，但灯泡L亮时K不一定闭合； 泡L亮 乙图中K闭合时，灯泡L不一定亮，但灯泡 甲 [提示2] 亮时K一定闭合 数学中常用充分条 问题： 件、必要条件和充要 1.把K闭合作为条件，灯泡L亮看作结论，如何用命题的形式表示出 条件来刻画条件与结 论的不同关系， 来呢？ 2.在数学中如何描述条件与结论的这种不同关系呢？ ●[提示]1.3集合的基本运算 果踪训练3.（①因为An8=②，所u日35.解得-154 ≤2.所以a的取值范围为{al-1≤a≤2}. 第1课时并集与交集 ②因为AUB=B,所以A二B,所以a>5或a+3<-1, 教材梳理 明要点 即a的取值范围为{ala>5或a<-4}. 新知初探 (2)①由题意得M=2}. 知识点 当m=2时，N={xlx2-3x+2=0}={1,2}, 或并集AUBA并B{xlx∈A,或x∈B ∴.M∩N={2},MUN=1,2}. 知识点二 ②.M∩N=M,·.MCN,.M={2},∴.2∈N, 且交集 A∩BA交B{xIx∈A,且x∈B .2是关于x的方程x2-3x+m=0的解，即4-6+m=0,解 预习自测 得m=2. 1.DMUN=0,1,2}U{2,4}=0,1,2,4} 随堂检测重反馈 2.CMnN={-2,-1,0,1,2}n{x1x≤-2或x≥3}=1.B由题设得AnB={2,3},故选B. {-2}.故选C. 2.C图中阴影表示AUB,又因为A={2,4,6},B=1,3,6}, 题型探究提技能 所以AUB=1,2,3,4,6},故选C. 例1：(1)A={-1,2},B={x1x2-2x=0}=10,2},AUB= 3.R{xl-1<x≤1，或4≤x<5}借助数轴 {-1,0.2} 可知： (2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示： AUB=R,A∩B={xl-1<x≤1，或4≤x<5}. 4.{ala≥2}A={xlx>a,B=xlx>2},又AUB=B,A A☐B CB.∴.a≥2. -3 256 ∴.AUB={x|-3<x≤5}U{x|2<x≤6}={xl-3<x≤6}， 第2课时补集及综合运用 跟踪训练1：(1)B(2)C 【解析】(1)因为A={1,2,3},B={0,1,2,所以AUB= 教材梳理明要点 0,1,2,3}.故选B. 新知初探 (2)因为集合A={x11≤x≤3}，B={xI2<x<4},所以AUB 知识点一 所有全集U =xI1≤x<4}.故选C. 例2：(1)B(2)D 知识点二 【解析】(1)由题设得A∩B=2,3},故选B. 不属于相对于CA{xlx∈U,且xEA}⑦AU 预习自测 (2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B={xl-2≤ x<-1},故选D. 1.A由题意知，CM={2,3,5},NUC M={2,3,5.故 选A. 2.B.A={xlx<-5或x>7},.CRA={xl-5≤x≤7}，故 选B. 题型探究提技能 跟踪训练2：(1)D(2)A 例1：(1){2,3,5,7}(2){xlx<-3,或x=5 【解析】(1)B=0,1,2,3},A∩B=0,1,2.故选D. 【解析】(1)A={1,3,5,7},CA={2,4,6},.U=(CA) (2).A=xlx<2},B={xI0<x≤3}，.A∩B=xI0<x< UA={1,2,3,4,5,6,7}.又CmB={1,4,6},.B={2,3,5, 2}.故选A. 7} 例3：(1)由MUW=M得NCM,当N=0时，2t+1≤2-t,即t≤ (2)将全集U和集合A分别表示 号此时MUN=M成立 在数轴上，如图所示 由补集的定义可知A={xlx<-3,或x=5}. 当N≠②时，由数轴可得 MN 跟踪训练1：(1)C(2){x10<x<2,或x≥6} r2-t<2t+1, 2-121+1 【解析】(1)因为A=xeN*1x≤6}=1,2,3,4,5,6}，B= 2t+1≤5， 12,4},所以04B={1,3,5,6}.故选C l2-t≥-2， (2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由 解得了<1≤2综上可知，实数：的取值范围是1≤2。 UA☐ 补集的定义可知，0，A=x10<x<2,或x0246 ≥6}. (2)由x-2x=0,得x=0或x=2..A=0,2}. ①A∩B=B,∴BCA,即B=☑，0}，2}，{0,2} 例2：如图1，由图可得，A={xx≤-2，或3≤x≤4. 当B=0时，4=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0; 如图2，由图可得B={xlx<-3,或2<x≤4. 如图3，由图可得A∩B=x|-2<x≤2}，∴(CmA)UB= fa2-a=0, 当B=0}时，A=4a=0,a=0: {xlx≤2或3≤x≤4}， 当B=2}时， 4-4a+a2 4=4a=0, -a=0,无解； A∩(CB)={xI2<x<3} 2a=2, 当B={0,2}时， 4=4a>0,得a=1.综上所述，得a的取值 -32-101234 -2-101234x a2-a=0 图1 图2 范围是{ala=1或a≤0}. R ②AUB=B,.ACB 4 :A=0,2},而B中方程至多有两个根，.A=B,由①知a -3-2-101234 =1. 图3 311 跟踪训练2：(1)B(2){1,2,3 (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题， 【解析】(1)：U=R,B={xlx>1},.CB=xlx≤1}.又A 所以p→g,所以p是q的充分条件 =Ixlx>0,..An(Cu B)=101 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数 (2)CmB=2},AU(CB)=1,2,3. 所以a的个位数字为偶数： 例3：(1)由已知A={xlx≥-m},得uA={xlx<-m} 所以P=g,所以p是g的充分条件 因为B={xl-2<x<4},(CA)∩B=⑦， (4)因为(x-1)2+(y-2)2=0台x=1且y=2=(x-1)·(y 在数轴上表示，如右图」 B -2)=0. 所以-m≤-2，即m≥2 -m-202 所以p→q,所以p是q的充分条件 所以m的取值范围是{mlm≥2}. 例2：(1)因为当1xl>2时，x>2或x<-2,所以p台g,所以g (2)由已知得A={xx≥-m},所以CA={xlx<-m}, 不是p的必要条件 又(CA)∩B≠⑦，所以-m>-2,解得m<2. (2)因为对顶角相等，所以p→q,所以q是p的必要条件 所以m的取值范围是{mlm<2}. (3)因为1≠3,5≠3但是1+5=3+3，所以p台9，所以9不 跟踪训练3：(1)2（2)7 是p的必要条件 【解析】(1)：CA=5},.5∈U,且5A..d+2a-3= (4)因为正方形的四条边相等，所以p一g,所以g是p的必要 5,解得a=2或a=-4.当a=2时，12a-11=3≠5，此时A= 条件 {3,2},U=2,3,5},符合题意.当a=-4时，12a-11=9,此 跟踪训练2：(1)1的平方根是±1，所以p台g,所以g不是p的 时A=9,2},U=2,3,5},不满足条件A=15},故a=-4 必要条件. 舍去.综上知a-2. (2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2，所以m=±12，所以p台q, (2)U=R,A={xa≤x≤b},∴.CA={xlx<a或x>b}.又 所以q不是p的必要条件. CA=xlx<3或x>4},.a=3,b=4,a+b=7. (3)因为无理数是无限不循环小数，所以P→q,所以q是p的 随堂检测重反馈 必要条件 1.D.U={0,1,2},CA=2},.A={0,1},故选D. (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等， 2.By=x2+3≥3，所以A={yIy≥3}，阴影部分表示集合为 所以p→g,所以q是p的必要条件. (C A)OB,Cu A=lyly <31,(Cu A)nB=-2<x<3. 例3：(1)CD 选B. (2)四边形ABCD的两组对边分别平行（答案不唯一） 3.D由补集定义可知：CA={xl-3<x≤-2或1<x<3},故 【解析】(1)因为4>π，所以x>4能推出x>T,故x>4是x 选D. >π的一个充分条件，同理，x>5也是x>π的一个充分 4.{7,9}由题意，得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故CA= 条件 {4,6,7,9,10},所以(CA)∩B=7,9 (2)因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的两组对边 分别平行，即“四边形ABCD是矩形”能推出“四边形ABCD的 1.4充分条件与必要条件 两组对边分别平行”，所以“四边形ABCD的两组对边分别平 行”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 跟踪训练3：(1)BD(2)a>3(答案不唯一)a>-1(答案不 唯一) 教材梳理 明要点 【解析】（1)Ixl=x的解为x≥0，设A=x1x≥0}，B={xlx 新知初探 ≥0或x≤-1}，A二B,所以x≥0或x≤-1是使|x|=x成立 知识点 的一个必要条件，同理x≥-1也是使xI=x成立的一个必要 1.真假命题2.真命题假命题3.条件结论 条件. 知识点二 (2)因为一元二次方程x-ax+1=0有两个正实数根，所以 P→9p书q充分必要充分必要 预习自测 A=02-4≥0，解得a≥2.故一元二次方程-a+1=0有 x1+x2=a>0, 1.AB当“若p,则g”形式的命题为真命题时，g是p的必要条 两个正实数根的一个充分条件可以为a>3;一元二次方程x 件因为选项A,B中的命题是真命题，选项C,D中的命题是 -ar+1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>-1. 假命题.故选AB. 例4：(1)p:3a<x<a,a<0,即集合A=xl3a<x<a,a<0}. 2.充分由x≥2能推出x≥1，所以“x≥2”是“x≥1”的充分 9:-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3}.因为p→q,所以 条件 ACB. 题型探究提技能 r3a≥-2. 例1：(1)集合{x∈QI0<x<5}是由大于0且小于5的有理数构 所以{a≤3， 2 3 ≤a<0,所以a的取值范围是 成的集合， la<0 所以P→q,所以p是q的充分条件. 2 (2)p→q,所以p是q的充分条件 a -3≤a<0 (3)若1xl=1yl,则x=y或x=-y,所以p≠q,所以p不是q (2)因为“xeP”是“x∈Q”的必要条件，所以QCP, 的充分条件 (4)由∠A1=∠A,=30°，B1C1=B,C,=2,A1B1=A,B2=2知 所以4即51，所以-1a5 ∠B1=∠B2=120°. 即a的取值范围为{al-1≤a≤5} 所以△A,B,C1和△A,BC2全等，所以p→q,所以p是q的充 跟踪训练4：(1)由已知条件知{xlx<m}C{xx>2或x<1}, 分条件 所以m≤1.所以m的取值范围是mlm≤1}. 跟踪训练1：(1)方法一：由x>1≠x>2,所以p不是q的充分 (2)由已知条件得{xlx>a}Cxlx<-3,或x>1},所以a≥1. 条件. 所以a的取值范围是ala≥1}. 方法二：设集合A={xx>1},B={xlx>2, 随堂检测重反馈 所以B二A,所以p不是g的充分条件. :1.Aa=1→|al=1;lal=1台a=1,所以选A. -312