1.1 第1课时 集合的概念-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

001 第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的概念 新课程标准解读 学科核心素养 通过实例了解集合与元素的含义，掌握集合中元素的三个特征，会利用集合中 数学抽象 元素的特征解决一些简单问题 理解元素与集合的属于关系，识记常见数集的表示符号 逻辑推理 教材梳理明要点 ●情境导入 第十九届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行. 本届亚运会共设42个竞赛大项，包括31个奥运项目和11个非奥运项目， [提示1] 其中电子竞技和霹雳舞两个项目是首次在亚运会上亮相 参加本届运动会的运 动员是确定的且互不 问题： 相同的个体，可以构 1.参加第十九届亚洲运动会的所有运动员能否构成一个集合？ 成一个集合 [提示2] 2.所有高个子运动员能否构成一个集合？ >[提示] “高个子”没有量化 e新知初探 标准，不能确定一个 运动员是否是高个子 知识点一元素与集合 运动员，故不能构成 1.元素：一般地，我们把 统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b, 一个集合 c,…表示； 2.集合：把一些元素组成的 叫做集合（简称为 ).集合通常 用大写拉丁字母A,B,C,…表示 知识点二集合中元素的特征 1.集合中元素的特征： 2.集合相等：只要构成两个集合的元素是 我们就称这两个集合是 相等的， 002 知识点三元素和集合之间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 [知识点反思] 1.集合是一个整体，暗 如果a是集合A的元素，就说 属于 a属于集合A 含“所有”“全体” a属于集合A 的含义； 如果a不是集合A的元素，就 2组成集合的元素可 不属于 a不属于集合A 以是数学中的数、代 说a不属于集合A 数式、方程、点、图 2.常用数集及其记法 形，也可以是现实生 活中的事物或人等； 非负整数集 名称 正整数集 整数集 有理数集 实数集 3.组成集合的元素个 (或自然数集) 数可以有限，也可以 记法 N N或N Z Q R 无限.含有有限个元素 的集合为有限集，含 ●[知识点反思] 有无限个元素的集合 为无限集； 自预习自测 4.集合中的元素必须 1.（多选)下列给出的对象中，能构成集合的是 ( 是确定的，不能模棱 A.品德高尚的同学 B.我们学校2024级高一新生 两可；任何两个元素 C.所有的三角形 D.小于10的自然数 不能相同，且与顺序2.用符号“∈”或“”填空： 无关 0 N*;-3 N:0.5 Z:2 0:3 Q R 题型探究提技能 题型一集合的基本概念 例1(1)（多选）以下元素的全体能构成集合的是 A.中国古代四大发明 B.周长为10cm的三角形 C.方程x2+2x-3=0的实数根 D.地球上的小河流 (2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2,若 集合P与Q相等，则a= ●[方法总结1] [方法总结1] /.判断一组研究对象 》】跟踪训练1 是否能构成集合，关 (1)下列说法中正确的是 键是看各对象能否满 A.在平面内与定点A,B等距离的点不能构成集合 足确定性、互异性； B.高中学生中的游泳能手能构成集合 2.若两个集合相等， C.由“tile”中的字母构成的集合中元素的个数为5 则这两个集合中的元 D.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长，则 素完全相同，但它们 △ABC不可能是等腰三角形 的顺序可以不同. (2)若由，名，1组成的集合A与由d2,a+b,0组成的集合B相等，则a2+ 6202的值为 003 题型二元素与集合的关系 例1)集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的 是 () A.√5∈M B.0M C.1∈M D.-∈M (2)(多选)已知集合A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确 的是 ( [方法总结2] A.-2∈A B.-11庆A 判断元素与集合关系 C.3k2-1∈A D.-34主A >[方法总结2] 的两种方法 /.直接法：判断该元 〉跟踪训练2 素在已知集合中是否 (1)(多选)下列关系中，正确的有 ( 出现. 人eR 2.推理法：判断该元 B.5Q C.I-3I∈N D.I-√31∈Q 素是否满足集合中元 素所具有的特征. (2)若集合A中的元素x满足3eN,xeN,则集合A中的元索为 题型三集合中元素特征的应用 例3知-3是由x-2,2:+5x,12三个元素构成的集合中的元素求 的值。 -3是三个元素之一，显然-3≠12→-3=x-2或-3=2x2+5x [方法总结3] 代回检验是否满足元素的互异性←一x=-1或x=- 解决此类问题的通法 是：根据元素的确定 ●[方法总结3] 性建立分类讨论的标 准，求得参数的值， 然后将参数值代入检 验是否满足集合中元 素的互异性。 )》跟踪训练3 已知集合A中仅含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,则实数a的值为 随堂检测 重反馈 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有 A.接近于1的所有正整数 B.小于0的实数 C.点(2,1)与(1,2) D.未来世界的高科技产品 2.下列元素与集合的关系中，正确的是 A.-1EN B.0使N C.√3∈Q 0 5癸R 3.若1∈A,且集合A与集合B相等，则1 B(填“∈”或“主”) 4.设集合A含有两个元素2，a;集合B含有两个元素3，b,若A=B,则a+b= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1]学案及练案部分 参考答案 [学案部分] 第一章集合与常用逻辑用语 例3：由题意可知，x-2=-3或2x2+5x=-3. 当x-2=-3时，x=-1,把x=-1代人2x2+5x, 得集合的三个元素分别为-3，-3,12， 1.1集合的概念 不满足集合中元素的互异性： 第1课时集合的概念 当2+5x=-3时x=-弓或x=-1(含去)， 教材梳理 明要点 当x=-时，集合的三个元素分别为-子，-3,12，满足集 新知初探 知识点一 合中元素的互异性，故x=子 1.研究对象2.总体集 跟踪训练3：0或-1：-3eA,-3=a-3或-3=2a-1. 知识点二 若-3=a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3，-1， 1.确定性互异性无序性2.一样的 符合题意.若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个 知识点三 元素-4，-3，符合题意.综上所述，实数a的值为0或-1. 1.aeA aeA 随堂检测重反馈 预习自测 1.BCA中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成 1.BCD“高尚”没有严格的标准，选项A中的元素不能构成集 集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，点 合，故选BCD (2,1)与(1,2)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D 2.年生华华∈∈ 中，未来世界的高科技产品没有判断标准，是不确定的，不能 题型探究提技能 构成一个集合 例1：(1)ABC(2)±2 2.B因为-1是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是 【解析】(1)在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成 正整数，所以B正确：因为3是无理数，不是有理数，所以C 集合：在B中，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集 合：在C中，方程x2+2x-3=0的实数根为-3和1，能构成 不正确：因为子是实数，所以D不正确 集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合 :3.∈由集合相等的定义可知，1∈B. (2)由题意得a2=4,a=±2 4.5由题意得a=3,b=2,所以a+b=5 跟踪训练1：(1)D(2)-1 【解析】(1)在平面内与定，点A,B等距离的点在AB的垂直 第2课时集合的表示 平分线上，能构成集合，故A错误；游泳能手没有确定的标 教材梳理 明要点 准，故不能构成集合，故B错误；由集合中元素的互异性可 新知初探 知，由tile中的字母构成的集合中元素为t,i,l,e,共4个，故 知识点一 C错误；因为集合的元素具有互异性，所以a,b,c互不相等， 一一列举列举法 故不可能构成等腰三角形，故D正确. 知识点二 (2)由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以6 =0 {x∈AIP(x) 预习自测 所以b=0,所以a=1,即a=±1，又当a=1时，集合A、B均 1.(1)V(2)×(3)V 不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a=-1.所以a2+ 【解析】(1)与(3)都是用列举法表示集合，(2)中只有一个元 b202四=-1. 素(1,2) 例2：(1)D(2)BC 2.C该集合是点集，元素的代表符号应为点的坐标(x,y),故 【解析】(1)5>1，故A错；-2<0<1，故B错；1M,故C 选C. 错：-2<-牙<1，故D对 题型探究提技能 例1：(1)大于4且不大于8的整数有5,6,7,8，故所求集合为5,6， (2)令3张-1=-2解得k=-行，号Z,所以-2g4:令 1 7,8 (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集 认-1=-1山，解得=9-碧eZ,所以-1华：因为 合为0,2}. (3)将x=0代人y=x+2024,得y=2024,即直线与y轴的 eZ,所以32-1eA:令3k-1=-34,解得k=-11,-11∈ 交点是(0,2024)，将y=0代人y=x+2024,得x=-2024, Z,所以-34∈A. 即直线与x轴的交点是(-2024,0)，故直线与坐标轴的交点 跟踪训练2：(1)ABC（2)0,1,2 组成的集合是{(0,2024)，(-2024,0)}. 【解析】(1)？是实数，5是无理数，1-31=3是自然数， 跟踪训练1：(1)16的约数有1,2,4,8,16.故A={1,2,4,8,16} (2)方程(x-4)(x-2)=0的解为x=2或x=4,所以B= 1-51=√5是无理数.因此，A、B、C正确，D错误，故选ABC 2,4}. (2)由题意可得：3-x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0. （3)1得2所以c=6.2 x-y=1, -309