练案57 5.7 三角函数的应用-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[57] 第五章 5.7三角函数的应用 A组·基础巩固 4.（多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则 1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M, 下列判断正确的是 x/cm 的小球做上下自由振动.已知它们在时间(s) 离开平衡位置的位移s,(cm)和s2(cm)分别由 与=5sin(21+君），=10cos2u确定，则当1= A.该质点的运动周期为0.8s B.该质点的振幅为-5cm 等：时，与的大小关系是 C.该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大 D.该质点在0.3s和0.7s时的位移为零 A.51>S2 B.s<S2 5.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿 C.S1=52 D.不能确定 逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时 2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各 间1=0时，点A的坐标是（分，令），则当0≤： 点的位置，经过)周期后，乙点的位置将移至 ≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒) 的函数的单调递增区间是 A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12] 6.某城市一年中12个月的平均气温与月份关系 可近似用三角函数y=a+Acos[石(x-6)】 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (x=1,2,3,…,12)来表示，已知6月份的月平 3.某商品一年内每件出厂价在5万元基础上，按 均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最 月呈f(x)=Asin(wx+p)+BA>0,w>0, 低为18℃，则10月份的平均气温为 ℃. 7.如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示 1<罗)的模型波动(x为月份)，已知3月份 振动的时间t(s),纵轴表示振动的位移 y(cm),则这个简谐振动的振幅是 达到最高价7万元，7月份达到最低价3万元， 周期是 根据以上条件可以确定f(x)解析式是( ◆)/cm Ax)=2sin(x+平）+5(1≤x≤12，xe 03 0.5 N) -2 B(x)=7sin(平x-④)+5(1≤x≤12，x∈8.如图所示，弹簧下挂着的小 N") 球做上下振动.开始时小球 在平衡位置上方2cm处，然 初始位置 C.f(x)=7sin(牙x+牙）+5(1≤x≤12，xe 后小球向上运动，小球的最 平衡位置 N*) 高，点和最低，点与平衡位置的距离都是4cm,每 经过πs小球往复振动一次，则小球离开平衡 D.x)=2sin(军-平)+5(1≤t≤12，xe 位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 N*) -306 9.如图，它表示电流I=Asin(wt+p)(A>0,w> (1)求h与0间的函数解析式； 0)在一个周期内的图象. (2)设从OA开始转动，经过ts后到达OB, 求h与t之间的函数解析式，并求缆车到 达最高点时用的最少时间是多少？ 50 20 (1)试根据图象写出I=Asin(wx+p)(lp< 罗)的解析式； (2)在任意一段0秒的时间内，电流1既能取 得最大值A,又能取得最小值-A吗？ B组·综合运用 11.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从 点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d, 则函数d=f()的图象大致是 () d 10.如图为一个缆车示意图，缆 车半径为4.8m,圆上最低 2π 2π1 B 点与地面的距离为0.8m, \d d A 60s转动一圈，图中OA与 地面垂直，以OA为始边，逆时针转动0角到 2π1 0 T 2π OB,设B点与地面距离是h. D 307 12.如图是一个半径为R的 C组·拓展提升 水车，一个水斗从点 15.一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm) A(33,-3)出发，沿圆周 和时间(s)之间的一组对应值如下表所示： 按逆时针方向匀速旋转， t00.10.20.30.40.50.60.70.8 且旋转一周时用时60秒. y-4.0-2.80.02.84.02.80.0-2.8-4.0 经过1秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为 则可近似地描述该物体的位移y和时间t之 (x,y),其纵坐标满足y=f代t)=Rsin(ot+p) 间关系的一个三角函数为 (≥0,0>0，lp<牙则下列叙述错误的16.已知某地一天4时~16时的温度变化曲线近 是 似满足函数y=10sin(骨-平》 +20,x∈ AR=6,a=0p=-君 [4,16]. 6 (1)求该地区这一段时间内的最大温差； B.当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最 (2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以 大值为6 生存，那么在这段时间内，该细菌最多能 C.当te[10,25]时，函数y=f(t)单调递减 生存多长时间？ D.当t=20时，1PA1=63 13.（多选)如图是某市夏季某一天的温度变化 曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin(ox +P)+B(0<p<π)，则下列说法正确的是 30 20 61014 x/时 A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14 C该函数的解析式是)=10sin(受+3平)+ 20(6≤x≤14) D.这一天的函数关系式也适用于第二天 14.如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高 度h(米)在某天从0~24时的变化情况，则 水面高度h关于时间t的函数关系式为 h/m 3/6912 15/182124i —308③将y=m(分-平)的图象上所有的点的纵坐标伸长为 图象及性质可知②④正确 16.(1)由题意作出f(x)的简图如图. 原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sm(?-平）的 图象 +2T 11.C画出两函数在[0,2π]上的图象，根据图象即可求解 因为函数y=simx的最小正周期为T=2π， 函数y=2(3x-君)的最小正周期为T-, 由图象知4=2，由 -=2π，得T=4r, 所以在xe[0,2m]上函数y=2in(3x-石)有三个周期 4m-2即u=分 的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： )=2nm(分+e0)=2sine=1, =2sin3x-更 4细 ∴)=2sm(分+)】 运册并 2示 )=2m(2+石）=2 2+6=受+2km,keZ 由图可知，两函数图象有6个交点 故选C. 又(3,2)是)轴右侧的第-个最高点0罗 12.BD将函数(x)的图象向左平移写个单位长度，得y= (②)由-号+2k≤宁+≤号+2eZ. sim[2(+号）+小=m(2x+要+）：函数的图象过点 得-智+4hm气≤号+4m,keZ。 P0,).所以写+0=受+2km,4eZ:所以e=-石+2m。 八)的单调增区间为[-号+k,号+4m小ez)。 keZ,因为-π<p<0,所以9=-石；所以函数f(x)= (3):-m≤x≤π，- 3 6 sim(2x-晋）令-受+2m≤2x-石≤号+2km,keZ:解 -9≤m(宁+君）s1-5≤0e2. 得-石+m≤x≤牙+m,k∈Z:所以f(x)在 故f(x)的值域为[-5,2]. [石，][-石引上单调递塔 练案[57] B.AD)左移君个单位，得到函数g)=m2(+石)1.C当=罗时4=5·m(等+石）=5·sm受=-5 即g()=sim(2x+）当0≤≤受时，号≤2+≤与=106s要-5，所以= 3 专故-停≤如2：+号）≤1，当2x+号-号=壳时2D利用三角函数周期性的变化判断可知，选D m=山，当2+号=受时)=-放 3D由题意A=73-2,号=7-3=4,7=8,0= 2 选AD ∴x)=2sim(平x+p）+5,由x=3时x)最大，得平×3 14.-5由函数f(x)=Acos(ox+p)(A>0,ω>0,0<9<π) +9=受+2m,keZ,0=-平+26m,keZe1<受9 是奇函数，可得p=受，则f(x)=A(ax+受）= =-平…x)=2sm年x-牙)+5， -Asin ox(A>0,o>0).由△EFG是边长为2的等边三角 形，可得A=万，周期7=4=，@=受，则f(x)=4AD由图可知子7=0.6T=08报解A=5m,当=0.1 s或0.5s时，v=0.故选AD. -5sin牙x,…f1)=-, 5.D由已知可得该函数的周期为T=12,@-牙=石，又当1 15.②④T=m0=2.又2×晋+9=km+变，9=6m+ 号“9e(-受，受)…0=号y=m(2x+号）由 0时，4（分）y=sin(后+号）e[0,12],可解得 函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]. 407- 6.20.5由题意得y=23+5c0[石(x-6)]当x=10时y= 的图象为C. 20.5. 12.C由题意，R=V2万+9=6，T=60=石0=0由题意 7.20.8由题图可设y=Asin(ot+p),则A=2,T=2×(0.5 -0.1)=0.8,所以振幅是2，周期是0.8. 可知，当t=0时，y=-3得-3=6sin.lg<受，9= 8y=4sim(2x+石)(x≥0)（答案不唯-）不妨设y= -石，放A正确)=6sin(0-）当1e[35,5]时， 4in(cm+p).由题知A=4,7=,所以w=2要=2.当x=0 引-名e,膏小点P到x轴的距离的最大值为6，放 时，y=2,且小球开始向上运动，所以有9=2km+石，ke乙， B正确：当1e[0,25]时易-君e[g引，函数y= 不妨取9=石，故所求关系式可以为y=4sin(2x+石)(x≥ 先增后减，故C不正确；当t=20时，0-石=，P的纵坐 0). 标为6,1PA1=√27+8I=65,故D正确.故选C 9(1)由题图知4=6，T=2×(分动）=0 13.AB由题意以及函数的图象可知，A+B=30,-A+B=10, w浮-10四所以1=m(g+e小： A=06=20号=14-67=16，A正确：7-2运 又(00是该函数图象的第二零点， w=日y=10m(骨x+0）+20.~图象经过点(14， 1四×0+g=即e号符合1el<号 3030=10sin(得×14+e）+20.sim(零×14+g） 1=5m(9+号）】 =1心p可以取狂y=10sin(g+3F）+20(0≤≤ 2)不能因为1)有T动>高所以不可能 24),B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二 天这个关系式不一定适用，·D错.综上，AB正确 10.(1)以圆心0为原点，建立如图所示的坐标系，则以0x为始 14.h=-6sn 边，0B为终边的角为0-受， 5y=4sm(受-受)4e[0,+)(答案不唯-）设y Asim(ot+p)+b,则A=m2y=40+4.0=40,6= 2 2 山=0，w2平--要，所以y=4sm(受+p）,将 T0.82 故B点坐标为(4.8co(0-受)，4.8n(0-受)） (04,40)代人上式，得e=受+26keZ,取0=-号 所以h=5.6+48sm(0-受) 从而可知y=4sn(受-受)e[0,+). (2)点A在圆上转动的角速度是0，故1s转过的弧度数 16.(1)由函数解析式易知，当x=14时，函数取得最大值30，即 最高温度为30℃，当x=6时，函数取得最小值10，即最低温 为号 度为10℃，所以最大温差为20℃. 所以h=56+48sin(0-受)te[0,+)。 (2)令10im(骨-平）+20=5，得血(g-5平）=- 到达最高点时，h=10.4m. 面xe[4,16],所以x- 由m(0-受）=1，得-受-受+2m,keN, 所以tmin=30(s). 令10n(号-买)+20=25， 即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒 得m(冬-平）=分，而e[4,16],所以x=号 1.C令AP所对圆心角为9，由101=1，得1=0，n号=号 放该细菌能存活的最长时间为学-9=号（山）。 d=2sm分=2n7,即d=)=2sin(0≤1≤2m),它 408-