练案22 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

的解集是{xl-5≤x<-2或2<x≤5}： 8.[-3,-1)U(1,3]因为当0<x≤3时，函数单调递增，由 图象可知1<f(x)≤3，由于函数f(x)是奇函数，所以当-3≤ x<0时，-3≤f(x)<-1. 9.(1)函数f(x)的定义域为[0，+0)， 不关于原点对称，所以f(x)=√：是非奇非偶函数， (1)f(x)在(-，-2]和[0，+)上是增函数，在 (2)f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1],关于原点对称 f(-x)==工：-f(,所以f)为奇函数 [-2,0上是减函数， (3)f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，关于原点对称， 因此f(x)的单调增区间为(-0，-2]，[0，+如)，单调减 当x>0时，-x<0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x= f(x); 区间为[-号0小 当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x= f(x), (2f(-2）=4(分）= 所以f(x)是偶函数 10.(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x, )在区间-1，]上的最大值为子 f(-x))关于原点的对称点为P'(x,-f(-x), 16.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,xe[-1,1]. 图③为图①补充后的图象，易知f(3)=-2. -3-2-10123 4:61 (1) (2) (3) ④ 当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示， (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点 函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数，最小值为f(1)= P(-x,f(-x)关于y轴的对称点为P'(xf(-x)),图④为 3-2a; 图②补充后的图象，易知f(1)>f(3). 当-1<a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函11.C因为y=f(x)为奇函数，f(-a)=-f(a),故点(-a 数f(x)在区间[-1，a)上单调递减，在区间(a,1]上单调递 -f(a))在y=f(x)的图象上. 增，最小值为f(a)=2-a2: 12.B若x是有理数，则-x也是有理数f(-x)=f(x)=1;若 当a≤-1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数 x是无理数，则-x也是无理数，f(-x)=f(x)=0.∴.函数 f(x)在区间[-1,1]上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a. f(x)是偶函数 r3-2a,a≥1， 13.BDA选项，若f(x)=x(x2-4),则f(-2)=0,f(2)=0,故 综上所述，f(x)n={2-d2,-1<a<1, f(-2)=f(2),又f(x)的定义域为R,关于原点对称，且 3+2a,a≤-1. f(-x)=-x[(-x)2-4]=-x(x2-4)=-f(x),所以 f(x)为奇函数，故A错误；B选项，依据偶函数的定义知，若 练案[22] f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x),则可知满足f(2)≠f(-2) 1.D由函数奇偶性定义可知，A,B,C项为奇函数，D项为偶 的函数必然不是偶函数，故B正确；C选项，若f(x)=x2,则 函数 f(2)=4,f(1)=1,故f(2)>f(1),但函数f(x)=x2在 2.Cf(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0,得a=1. (-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故C错误： 3.Bf-=1f(-x)=f(x)(x)为偶函数其图象的对 D选项，因为2>1，f(2)>f(1),所以f(x)不是R上的减函 f(x) 数，故D正确. 称轴为y轴. 14.0因为奇函数的图象关于原点对称，所以a-4+2a-2= 4.B:F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又xe(-a,a)关于 0,所以a=2,因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0,即b+ 原点对称，.F(x)是偶函数. 2=0,故b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)- 5.A因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,又因为f(2)+ f(2)=0 4 f(0)=1,所以f(2)=4-号=1，解得a=6,所以f(x)=2x-15.子 据题意)1+而国 x2+1 (x>0),所以(-3)=-f3)=-(6-号)=-4 是奇函数，fa)=1+h(a)=子(a)=-号，故 6CD函数()=是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正 f代-o）=1+(-a)=1-h(a)=1-(-）=号 确：函数f()=是奇函数，但图象不过原点，所以B不正16)证明：已知f〔x+)f)+ 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 确；由奇偶性的定义知C、D正确。 令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 7.{x-5≤x<-2或2<x≤5}因为偶函数的图象关于y轴 所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x), 对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集.因为当 故f(x)是奇函数. x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{xI2<x≤5}，所以当x∈ (2)由(1)知f(x)为奇函数. [-5,0]时，f(x)<0的解集为{xl-5≤x<-2.所以f(x)<0 所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a. -375 又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3), 11.D方法一：令g(x)=ax3+bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数，从 所以f(12)=-4a. 而f(-2023)=g(-2023)+1=-g(2023)+1.又因为 练案[23] f2023)=k,所以g(2023)=k-1,从而f(-2023)= -(k-1)+1=2-k. 1.B由已知可得g(-2)=f(-2)=-f(2)=-(22-2×2) 方法二：因为f(-x）+f(x)=-ax-bx+1+ax3+bx+1= =0. 2,所以f(-2023)+f(2023)=2.又因为f(2023)=k,所以 2.A因为函数为偶函数，所以a+2=0,a=-2,即函数f(x)= f(-2023)=2-k. -2x2+1,所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递增. 3.Af(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与在[-3， 12.Cf(x)为奇函数，fw）=-0<0,过<0，f(x) -1]上一致，∴f(x)在区间[1,3]上单调递增，又f(x)在区间 在(0，+∞)上单调递减且f(1)=0,.当x>1时，f(x)<0, [-3,-1]上有最大值5，∴.f(x)在区间[1,3]上有最小值 -5 <0.:奇函数的图象关于原点对称，…f(x)在(-0， 4.C函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴.f(-x)=f(x),故 A、B错误：f(x)f(-x)=f(x)≥0，故C正确，D错误. 0)上单调递减且f(-1)=0,当x<-1时，f(x)>0, 5.B方法-：当<0时)=+=(+宁) 1 -4,所以 <0.综上，不等式的解集为(-0，-1)U(1,+∞) f(x)有最小值-子，因为f(x)是奇函数，所以当x>0时， BA的定义城为R- f(x),∴f(x)为偶函数，排除B,D,又因为f(x)≥0，故选A. f()有最大值子 14.(-1,3)f(x)为偶函数，.f(x-1)=f(x-11),又 方法二：（直接法）设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x(1 f(2)=0,f(x-1)>0,∴.f(1x-11)>f(2).:Ix-11,2e [0,+∞)，且f(x)在[0，+∞)上单调递减，.Ix-11<2,即 x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)=-x2+x= -(-)+宁，所以当>0时)有最大值头 -2<x-1<2,x的取值范围为(-1,3). 1 15.D.·f(x+8)=f(x),.f(25)=f(17)=f(9)=f(1),同理 6.AC根据偶函数在[0,7]上的图象及 f(80)=f(0),又：奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增， 其对称性，作出函数在[-7,0]上的图 f(x)在区间[-2,2]上单调递增，∴f(-1)<f(0)< 象，如图所示，可知这个函数有三个单 f(1),即f(-1)<f(80)<f(25). 调递增区间，有三个单调递减区间，在-7-3.503.5 16.任取x1,x2,且-3≤x1<x2≤3，则x2-x1>0,f(x2-x1)<0, 其定义域内有最大值7，在其定义域内 f(x2)=f几(x2-x1）+x1」=f(x2-x1)+f(x1), 的最小值不是-7. .f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1), 7.f(-2)<f(1)<f(0):f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)恒 ∴.f(x)在[-3,3]上单调递减 成立，即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立 又f(1)=-2f(2)=f(1)+f(1)=-4, .m=0,即f(x)=-x2+2.,·f(x)的图象开口向下，对称轴 f(3)=f1)+f(2)=-2-4=-6,又f(x)是定义在R上 为y轴，在[0，+0)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0),即 的奇函数， f(-2)<f(1)<f(0). .f(-3)=-f(3)=6,又f(x)在[-3,3]上单调递减， 8.一x+1:f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=√E+1,.当x .函数f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. <0时，-x>0f(x)=f(-x)=-x+1,即当x<0时，f(x) 练案[24] =w/-x+1. 9.f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数， 1.C 由题意，得厂m=1, 由f(1-x)+f(1-2x)<0, fm=1..m+n=3. 2n-4=0,n=2. 得f(1-x)<-f(1-2x),即f(1-x)<f(2x-1). 2.D因为f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1,解得m=0或 又：f(x)在(-1,1)上是减函数， 2,当m=0时f(x)=x在(0，+0)上为减函数，不符合题 -1<1-x<1, -1<2x-1<1,解得0<x<5, .2 意，当m=2时，f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数，符合题意， 所以m=2.故选D. 1-x>2x-1, 3.C函数f(x)=x(∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所 原不等式的解集为{0<x<号} 以C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.故选C 10.F(x)在(-0,0)上单调递减. 4BC幂函数()=产的图象经过点(2，)），则分=2"，解 证明如下：任取，x2∈（-0,0)，且x1<x2, 得a=-1.故f(x)=x.所以函数在(0，+o)和(-o,0) 则有-x1>-x>0. 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)<0, 内都单调递减，函数为奇函数，且函数的图象经过(1,1)点， 所以f(-x2)<f(-x)<0, ① 函数的定义域为(-∞，0)U(0,+0). 又因为f(x)是奇函数， 5D特值法取x=2代人排除A,B.C,可知D正确故选D, 所以f(-x2)=-f(x2)f(-x1)=-f(), 由①②得f(x2)>f(x1)>0. 6.D函数y=x在区间(0，+∞)内单调递增，故排除A;函数y 于是F(x)-F()=f)-f) =x在区间(0，+∞)内单调递增，故排除B:函数y=x在区 >0 f(x1)f(x2) 即F(x1)>F(x2), 间（0，+0)内单调递增，放排除C:函数y==士在区间 所以F(x)= 石在(-之，0)上单调港就 (0,+∞)内单调递减，故D满足题意 :7.-3由题意得m2+3m+1=1,.m2+3m=0,∴.m=0或m 376练案[22]第三章3.23.2.2 [第1课时 奇偶性的概念] A组·基础巩固 7.设偶函数∫(x)的定义域为 y=f(x) 1.下列函数中为偶函数的是 [-5,5],若当x∈[0,5] 5x A.f(x)=x B.f(x)=x 时，f(x)的图象如图所示， C.F(x)=x+I 则不等式f(x)<0的解集是 D)- 8.已知函数f(x)是定义在[-3， 2.若f(x)=3x3+5x+a-1为R上的奇函数，则 0)U(0,3]上的奇函数，当x> a的值为 ( 0时，f(x)的图象如图所示，那 0123 A.0 B.-1 C.1 D.2 么f(x)的值域是 3.若函数f(x)满足-=1，则f(x)的图象的9.判断下列函数的奇偶性 f(x) (1)f(x)=√x; 对称轴是 ( A.x轴 B.y轴 (2)f(x)=1-x C.直线y=x D.不能确定 x+x,x>0, 4.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+ (3)f(x)= x-x,x<O. f(-x),则F(x)是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时， f(x)=2x-a,若f(2)+f(0)=1,则f(-3) 等于 A.-4B.-3 C.-2 D.1 6.(多选)下列命题正确的是 A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则恒有 f(0)=0 D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)= f(Ix1) 233— 10.(1)如图①，给出奇函数y=f(x)的局部图13.（多选）对于定义在R上的函数f(x),下列判 象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3) 断正确的是 的值； A.若函数f(x)满足f(-2)=f(2),则f(x) 是偶函数 2 B.若函数f(x)满足f(-2)≠f(2),则f(x) -3-2-1o123 -2- 23 不是偶函数 3 C.若函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)是 ① ② R上的增函数 (2)如图②，给出偶函数y=f(x)的局部图 D.若函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)不 象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1) 是R上的减函数 与f(3)的大小 14.已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x) =2023x3-5x+b+2,则f(a)+f(b)的值为 C组·拓展提升 15,已知函数f(x)=+,若f(a）=号，则 x2+1 f(-a)= 16.已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y) =f(x)+f(y) (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(-3)=a,试用a表示f(12). B组·综合运用 11.若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表 示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是 A.(a,-f(a)) B.(-a,f(a)) C.(-a,-f(a)） D.(a,f(-a)) 12.函数f(x)= 山，x是有理数是 0,x是无理数 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 234