练案21 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[21]第三章 3.23.2.1[第2课时函数的最大（小）值] A组·基础巩固 6.函数f(x)=x-2在[1,2]上的最大值是 1.函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小 值分别为 7.已知函数f(x)=Ix2-4xl,x∈[2,5]，则f(x) 的最小值是 ,最大值是 8.已知函数f(x)在区间[2，+∞)上是增函数， 则f(2) f(x2-4x+6)(填“≥”“≤” Af(月)f(-3) B.f0)f(月） 或“=”) c.f(-3)f(0) D.f(0),f(3) 9.已知函数f(x)=1-1(a>0,x>0). 2.函数y=x+√x-2的值域是 (1)求证：f(x)在(0，+∞)上是单调递增 函数； A.[0,+0) B.[2,+o) C.[4,+∞) D.[√2，+∞) (2)若f(x)在22]上的值域是2,2，求a 3.(多选)函数y=七+ 的值. x-1 (x≠1)的定义域为[2， 5),下列说法正确的是 ( L最小值为好 B.最大值为4 C.无最大值 D.无最小值 4.若函数y=2ax-b在[1,2]上的最大值与最小 值的差为2，则实数a的值是 A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 5.(多选)若xER且x≠0，(x)是y=1与y=x 中的较大者，则f(x) A.最大值为1 B.最小值为1 C.最小值为-1 D.无最大值 231 10.已知函数f(x)=ax2+2bx+1,x∈[1,3](a, C组·拓展提升 beR且a,b为常数)： 15.已知函数f(x)=1x1(x+1),试画出函数 (1)若a=1,求f(x)的最大值； ∫(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题. (2)若a>0,b=-1,且f(x)的最小值为-4， (1)写出函数f(x)的单调区间； 求a的值. (2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最 大值 B组·综合运用 1.函数f(x)=1-x1-的最大值是（ c青 n子 12.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润16.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1]，求 (单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和 函数f(x)的最小值 L2=2x,其中x为销售量（单位：辆）.若该公 司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大 利润为 A.45.606万元 B.45.6万元 C.45.56万元 D.45.51万元 13.（多选)关于函数f(x)=√-x2+2x+3的结 论，下列说法正确的有 ( A.f(x)的单调增区间是[-1,1] B.f(x)的单调减区间是[1，+o) C.f(x)的最大值为2 D.f(x)没有最小值 14.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1，a],并且 f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围 是 4 232且a-4<0,且1-(a+1)+7≥(a-4)+5, 解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1,3]. 因为-)（日）-（合）士 15()号=3+中2)在(-2+)止单别通 x+2 2->0, x13X2 减，证明如下：设x1>x2>-2, 所以f(x2)>f(x1), x2-X1 所以f(x)在(0，+∞)上是单调递增函数. 则fx)-()=x+25+2（+2)(+2), (2)因为f(x)在(0，+0)上是单调递增函数， 因为x1>x2>-2,所以x1+2>0,2+2>0,2-:1<0, 所以f(x1)-f(x2）<0, 所以f()在[2,2]上单调递增， 所以f(,)<f(2),所以f(x)在(-2，+∞)上单调递减. (2)由(1)可知，当x∈(-2,2)时，函数f(x)单调递减， 所以f(分）=分2)=2. 所以由f(-2m+3)>f(m) [-2<-2m+3<2, 即-2=7=2.所以a=号 得-2<m2<2, 解得1<m<2, 10.(1)当a=1时f(x)=x2+2bx+1,xe[1,3], -2m+3<m2, 函数的对称轴为x=-b, 所以m的取值范围为(1,2). 当-b>2即b<-2时f(x)m=f(1)=2b+2, 16)在f(号）=fx)-f)中， 当-b≤2即b≥-2时f(x)m=f(3)=6b+10, 令x=y=1,则有f1)=f(1)-f(1)f(1)=0. 综上f(x)mm= 2b+2,b<-2, 16b+10,b≥-2. (2)f6)=1fx+3)-f(号）<2=6)+f(6, (2)当a>0,b=-1时f(x)=a2-2x+1,xe[1,3], f3x+9)-f6)<f6),即f(生)<f6) 函数的对称轴为x=。>0,当。≤1，即a≥1时) f(1)=a-1=-4,解得a=-3,不合题意舍去， f(x)是(0，+∞)上的增函数， 0 当。≥3，即0<a≤兮时， 解得-3<x<9. x+3<6, f()m=f(3)=9a-5=-4,解得a=g成立， 2 即不等式的解集为x1-3<x<9} 当1<石<3，即时<a<1时， 练案[21] f0mf(日）=1-合-4 a 1.B由图象可知f(0)最大√(3)最小放选B 解得a=了，不合题意合去，放a的值为) 2.B函数y=x+√x-2在[2，+0)上单调递增，所以其最小 值为f2)=2,其值域为[2，+0). 1.Cf()=+当分母-x+1取最小值时，()取 3D函数y==1+在[2,5)上是减函数即在x=2 到大饭1(）+是所以) 处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到. 4.C当a>0时，最大值为4a-b,最小值为2a-b,差为2a,.a 手即)的最大值为手放选C =1;当a<0时，最大值为2a-b,最小值为4a-b,差为-2a,12.B设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为(15-a)辆， ..a=-1. 设利润为y万元，则y=5.06a-0.15a2+2(15-a)(0≤a≤ 5.CD在同一平面直角坐标系中画出函数 15且aeN),则y=-0.15a2+3.06a+30,其对称轴a= y=士y=x的图象，如右图所示，图中实 10.2,aeN,.a=10时可求ymm=45.6万元. 线部分即为f(x)的图象，当x=-1时， 13.AC要使函数有意义，有-x2+2x+3≥0，解得-1≤x≤3， f(x)取得最小值-1，f(x)无最大值，故 可知选项B错误：当x=-1或x=3时-x2+2x+3=0,此 选CD. 时函数有最小值0，可知选项D错误；令y=-x+2x+3= 61函数(x)=x-2在[1,2]上是增函数，当x=2时， -(x-1)2+4,根据复合函数的单调性可知选项A正确；根 据函数的单调性及定义域，可知f(x)m=f(1)=2,从而选 f(x)取最大值f(2)=2-1=1. 项C正确.故选AC. 7.05因为函数f(x)=1x2-4x1= 14.(1,3]或a1<a≤3}画f(x)=x2-6x+8的图象f(x) j-(2-4),2≤x≤4对应图象如右图， 的单调递减区间为(-0,3]，.1<a≤3. 1x2-4x,4<x≤5， 故f(x)的最小值为f(4)=0,f(x)的最大 值为f(5)=5. 45 8.≤x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，且 f(x)在区间[2，+0)上是增函数…f(2)≤f(x2-4x+6). 9.(1)证明：设2>x1>0,则x2-x1>0,x12>0, 15f)=1x1(x+1D={(x0·的图象如图所示 1x2+x(x>0) -374- 的解集是{xl-5≤x<-2或2<x≤5}： 8.[-3,-1)U(1,3]因为当0<x≤3时，函数单调递增，由 图象可知1<f(x)≤3，由于函数f(x)是奇函数，所以当-3≤ x<0时，-3≤f(x)<-1. 9.(1)函数f(x)的定义域为[0，+0)， 不关于原点对称，所以f(x)=√：是非奇非偶函数， (1)f(x)在(-，-2]和[0，+)上是增函数，在 (2)f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1],关于原点对称 f(-x)==工：-f(,所以f)为奇函数 [-2,0上是减函数， (3)f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，关于原点对称， 因此f(x)的单调增区间为(-0，-2]，[0，+如)，单调减 当x>0时，-x<0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x= f(x); 区间为[-号0小 当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x= f(x), (2f(-2）=4(分）= 所以f(x)是偶函数 10.(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x, )在区间-1，]上的最大值为子 f(-x))关于原点的对称点为P'(x,-f(-x), 16.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,xe[-1,1]. 图③为图①补充后的图象，易知f(3)=-2. -3-2-10123 4:61 (1) (2) (3) ④ 当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示， (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点 函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数，最小值为f(1)= P(-x,f(-x)关于y轴的对称点为P'(xf(-x)),图④为 3-2a; 图②补充后的图象，易知f(1)>f(3). 当-1<a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函11.C因为y=f(x)为奇函数，f(-a)=-f(a),故点(-a 数f(x)在区间[-1，a)上单调递减，在区间(a,1]上单调递 -f(a))在y=f(x)的图象上. 增，最小值为f(a)=2-a2: 12.B若x是有理数，则-x也是有理数f(-x)=f(x)=1;若 当a≤-1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数 x是无理数，则-x也是无理数，f(-x)=f(x)=0.∴.函数 f(x)在区间[-1,1]上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a. f(x)是偶函数 r3-2a,a≥1， 13.BDA选项，若f(x)=x(x2-4),则f(-2)=0,f(2)=0,故 综上所述，f(x)n={2-d2,-1<a<1, f(-2)=f(2),又f(x)的定义域为R,关于原点对称，且 3+2a,a≤-1. f(-x)=-x[(-x)2-4]=-x(x2-4)=-f(x),所以 f(x)为奇函数，故A错误；B选项，依据偶函数的定义知，若 练案[22] f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x),则可知满足f(2)≠f(-2) 1.D由函数奇偶性定义可知，A,B,C项为奇函数，D项为偶 的函数必然不是偶函数，故B正确；C选项，若f(x)=x2,则 函数 f(2)=4,f(1)=1,故f(2)>f(1),但函数f(x)=x2在 2.Cf(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0,得a=1. (-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故C错误： 3.Bf-=1f(-x)=f(x)(x)为偶函数其图象的对 D选项，因为2>1，f(2)>f(1),所以f(x)不是R上的减函 f(x) 数，故D正确. 称轴为y轴. 14.0因为奇函数的图象关于原点对称，所以a-4+2a-2= 4.B:F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又xe(-a,a)关于 0,所以a=2,因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0,即b+ 原点对称，.F(x)是偶函数. 2=0,故b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)- 5.A因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,又因为f(2)+ f(2)=0 4 f(0)=1,所以f(2)=4-号=1，解得a=6,所以f(x)=2x-15.子 据题意)1+而国 x2+1 (x>0),所以(-3)=-f3)=-(6-号)=-4 是奇函数，fa)=1+h(a)=子(a)=-号，故 6CD函数()=是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正 f代-o）=1+(-a)=1-h(a)=1-(-）=号 确：函数f()=是奇函数，但图象不过原点，所以B不正16)证明：已知f〔x+)f)+ 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 确；由奇偶性的定义知C、D正确。 令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 7.{x-5≤x<-2或2<x≤5}因为偶函数的图象关于y轴 所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x), 对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集.因为当 故f(x)是奇函数. x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{xI2<x≤5}，所以当x∈ (2)由(1)知f(x)为奇函数. [-5,0]时，f(x)<0的解集为{xl-5≤x<-2.所以f(x)<0 所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a. -375