练案19 3.1.2 第2课时 分段函数-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

所以f-3)]-6)-名多 7f(x)=+1二15<0，由题图可知，图象是由两条线段 L-x,0≤x≤1 16.(1)选条件①，设f(x)=ar2+bx+c(a≠0)， 组成，当-1≤x<0时，设f(x)=ax+b(a≠0)，将(-1,0) 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a (0,1)代入解析式.则{-0+b=0,a=l即fx)=x+1 +b+c. 1b=1, {b=1, 因为f(x+1)=f(x)+2x-1, 当0≤x≤1时，设f(x)=x,将(1，-1)代人，则k=-1,即 所以ax2+(2a+b)x+a+b+c=a2+bx+c+2x-1, 所u21每得之 f(x)=-x综上(x)={+L1≤x<0, 1-x,0≤x≤1. 8.(-0,0)U(0,+o)￥-2}U(0,+∞)由题目解析式 因为函数f(x)的图象经过点(1,2)， 中的信息可知，x∈(-0,0)U(0,+0);当x<0时，y= 所以f1)=a+b+c=1-2+c=2,得c=3.故f(x)=x2-2x -2,当x>0时，x2>0,y=x2e(0,+0)..函数的值域为 +3. -2}U(0,+∞). 选条件②，设f(x)=aax2+bx+c(a≠0)， 由f(x+1)=f(1-x)知函数f代x)对称轴为x=1, 9.1)当0<≤3时)=2+2=2-亭 3 又质数：)调象的对称轴为直线：。名 当-2<x≤0时f(x)=2++2红=x+2, 3 b=1, 「x+2,-2<x≤0， 2 ra=1, 综上，函数f(x)的解析式为f(x)= 由题意可得 解得b=-2, 2-，0<x≤3. f(0)=c=3, c=3. f(1)=a+b+c=2, (2)图象过点(-2,0)，(0,2)，(3,1)， 故f(x)=x2-2x+3. 其中点(-2,0)是空点，(0,2)和(3,1)是实心点，函数f(x) 选条件③，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 的图象如图所示： 因为f(0)=3,所以c=3. 因为f(x)≥2=f(1)恒成立，函数f代x)图象对称轴为x=1, rf(1)=a+b+3=2, 所以 b=1, l-2a1 化2 -32-10123x 故f(x)=x2-2x+3. 2 (2)由(1)可知f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2. 因为-1≤x≤4，所以-2≤x-1≤3， (3)由图得函数f(x)的值域为(0,2] 所以0≤(x-1)2≤9，所以2≤(x-1)2+2≤11. 10.(1)因为-3<-1，所以f(-3)=-3+2=-1. 所以f(x)在[-1,4]上的值域为[2,11]. 因为-1<3 练案[19] <2,所以f(3)=2×2=3. 1.B根据题意知，这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除 又3>2，所以(3)川=f3)=号 2 A,D,然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C, (2)当a≤-1时，由f(a)=2, 故选B. 得a+2=2,a=0,舍去； 2.A因为f代1)=2，所以由f(a)+f代1)=0，得fa)=-2,所 当-1<a<2时，由f(a)=2,得2a=2,a=1; 以a肯定小于0，则f(a)=a+1=-2,解得a=-3. 当a≥2时，由f(a)=2, 3.Af(5)=f[f(10)],f(10)=f[f(15)]=f(18)=21,.f(5) =f(21)=24.故选A. 得号-2a=2或a=-2(舍去). 4.A画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)=f(1),得x= 综上所述，a的值为1或2 -3,1,3,所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(-3,1)U(3,11.A:x>1时，f(x)=x2+x-2,.f(2)=22+2-2=4, +0).故选A. 高() 又：x≤1时f(x)=1-x2, 3 y=)=3 (生）=1-（合）广=1-6=瓷放选A 2 12.C由题意，当a≤0时f(a)=a2+1=10,解得a=-3或a -6-3 =3(舍去)；当a>0,f代a)=2a=10,解得a=5;综上，a=-3 5.BCf(x)的值域为{0,1}，故A错误：f(x)的定义域为R,故 或a=5,故选C. B正确；当x是有理数时，x+1也为有理数，当x是无理数时， 13.BC由题意知函数f(x)的定义域为(-∞，2)，故A错误： x+1也为无理数，故f(x+1)=f(x)成立，故C正确；因为 当x≤-1时，f(x)的取值范围是(-，1]，当-1<x<2 时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(-0,4)， f(分）=1，所以x)的图象经过点（分，），放D错误 故B正确；当x≤-1时，x+2=3,解得x=1(舍).当-1< 6号依题意知f(0)=3×0+2=2,则ff0)]=(2)-2- x<2时，x2=3,解得x=3或x=-3(舍)，故C正确；当 x≤-1时，x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时，x2<1,解 2a=a,求得a=3 4 得-1<x<1,因此f(x)<1的解集为(-0，-1)U(-1, 1),故D错误 -372 14.{xlx≤1}当x≥0时，f(x)=1,由f(x)+x≤2，知x≤1， .0≤x≤1；当x<0时f(x)=0,知x≤2，.x<0.综上，不等 式的解集为xlx≤1}. 15.(1)当x=10时，由f(10)·g(10)=(20+10)(a-10)=600,解 得a=30. 从而可得f(15)g(15)=25×15=375(元)， 即第15天该商品的销售收入为375元. 2自恩意可宽7=细98-0 &[引自题在得{1解得1≤≤20，因为 f(t)是定义在区间[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1- 即y=:+10x+60,1≤≤10， ),所以x-2<1-x,解得x<3 3 1x2-70x+1200,10<x≤30 ②.由①②得1≤x<2 当1≤x≤10时，y=-x2+10x+600=-(x-5)2+625, 故当x=5时y取最大值，ym=625, 所以满足题设条件的x的取值范围为[1，)》 当10<x≤30时，y<102-70×10+1200=600 9.y=-x2+21xl+3 故当x=5时，该商品日销售收人最大，最大值为625元. =+2x+3(x≥0)， 16.(1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图1. 1-x2-2x+3(x<0), y=厂-(x-1)2+4(x≥0). g(x)=x 1-(x+1)2+4(x<0). -3-2-10123 函数图象如图， -1012 2 -10112 所以函数递增区间是(-0，-1)和[0,1]；函数递减区间是 ffx)=-x2+2 c(x [-1,0]和(1，+∞). 图1 图2 10函数y=x-在(0，+0)上单调递增 由图1中函数取值的情况，结合函数p(x)的定义，可得函数 p(x)的图象如图2. 证明f()=x-,设0<年<，则 令-x2+2=x,得x=-2或x=1. 结合图2，得出p(x)的解析式为 f))(）-(）=1+) [-x2+2,x≤-2， p(x)={x,-2<x<1, 义南0<444<01+0， L-x2+2,x≥1. f(x1)-f(x2)<0,fx1)<f代x2), (2)由图2知，p(x)的定义域为R,因为p(1)=1, ∴p(x)的值域为(-0,1] 故函数y=-上在(0，+)上单调递增 11.CD因为f(x)在[a,b]上是增函数，所以对于任意的x1,x 练案[20] e[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同，故 1.C若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用 A、B正确，D不正确；C中，若：<x2,则f(a)≤f(x1)< “U”连接 f(x)≤f(b),所以C不正确，故选CD. 2.A根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：12.BD当a=0时，f(x)=-12x+5,在R上是减函数，A错 f(x)=10-2x在(0，+0)上单调递减；f(x)=x2-3x在 误；当a=1时，f(x)=2x2-8x+5,其单调递减区间是 (0,2]上单调递减，在[子+上单润递增：()=2x。 (-∞，2]，因此f(x)在(-∞，0)上单调递减，B正确；由f(x)的 r2a>0. f()=在(0，+)上单调递增， 单调递减区间是(-0，-4]得_4(a-3》。-4,a的值不 3.C因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5) 存在，C错误；在D中，当a=0时，f(x)=-12x+5,在 4.DA错误，x1,2只是区间(a,b)上的两个值，不具有任意 ra>0. 性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y= (-∞，3)上是减函数；当a≠0时，由 1 4(a-3】≥3，得0 在(-“，1)和(1，+如)上分别速减但不能说= 4a 在(-0,1)U(1,+0)上递减；D正确，符合单调性定义. as3 ，所以a的取值范围是[0，子]，D正确 5.C因为函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(-m+ 9),所以2m>-m+9,即m>3, 13.(-0,+0) 根据题意，函数f(x)=+1,≥0， 则在 1-x2+1,x<0, 6.(-∞，1)和(1，+∞)由图象可知f(x)的单调递增区间为 区间[0，+)上，f(x)=x2+1为增函数，且f(x)≥1，在区 (-,1)和(1，+0). 间(-∞，0)上，f(x)=-x2+1为增函数，且f(x)<1,故 7.(-女，]函数f(x)的图象如图所示，由图象易知函数的 f(x)在R上为增函数，即其递增区间为(-o,+∞). 单调递减区间为(-如，2] 14.根据题意，函数f(x)=-(a+1)x+7(x≤1)， l(a-4)x+5(x>1) 是R上的减函数，必有生≥1， -373-练案[19]第三章3.13.1.2 [第2课时 分段函数] A组·基础巩固 r3x+2,x<1, 6.已知函数f(x)= Lx2-ax,x≥1， 若f[f(0)]= 1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时 间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达 a,则实数a= 下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，7.已知函数f(x)的图象如图所 一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似 示，则∫（x)的解析式是 地刻画出这列火车的速度变化情况的是 )8.函数y= 「x,x>0, 的定义域 -2,x<0 速度 速度 ↑速度 速度 为 ,值域为 时间0 9.已知函数f()=2+-21山(-2<≤3). 时间O 时间 3 0 (1)用分段函数的形式表示函数f(x); 2.已知函数f(x)={ 2x,x>0, 若f(a)+f(1) (2)画出函数f(x)的图象； x+1,x≤0. (3)写出函数f(x)的值域. =0,则实数a的值等于 A.-3B.-1 C.1 D.3 3.f()=+3,x>10, 则f(5)的值是 /Lf(x+5)],x≤10， -3-2-10123x A.24 B.21 C.18 D.16 4已知函数f(x)={ x2-4x+6,x≥0， 则不等式 x+6,x<0, f(x)>f(1)的解集是 A.(-3,1)U(3,+∞) B.（-3,1)U(2,+0) C.(-1,1)U(3,+0) D.(-∞，-3)U(1,3) 5.（多选)已知狄利克雷函数f(x)= 1,x是有理数， 则下列结论正确的是( 0,x是无理数， A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.f(x+1)=f(x) D.f(x)的图象经过点(3,0)】 —226 x+2,x≤-1， C组·拓展提升 2x,-1<x<2, 10.已知函数f(x)= 15.经过市场调查，某种商品在销售中有如下关 2,≥2. 系：第x(1≤x≤30，x∈N,)天的销售价格（单 20+x,1≤x≤10 (1)求f(-3)(3月的值： 位：元/件)为f(x)= 第x 40-x,10<x≤30， (2)若f(a)=2,求a的值， 天的销售量（单位：件）为g(x)=a-x(a为 常数)，且在第10天该商品的销售收入为 600元（销售收入=销售价格×销售量）. (1)求a的值，并求第15天该商品的销售 收入； (2)求在这30天中，该商品日销售收入y的 最大值 B组·综合运用 11.设函数f(x)= r1-x2(x≤1)， x2+x-2(x>1) 则r2】 的值为 16.已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令p(x) A.1o B.-27 =minf(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较 D.18 16 小者) +1,x≤0，若f(a)=10,则a (1)分别用图象法和解析式表示φ(x); 12.已知f(x)= 2x,x>0, (2)求函数φ(x)的定义域，值域. ( ) A.-3或3 B.3或5 C.-3或5 D.3 x+2,x≤-1：关 13.(多选)已知函数f(x)={,-1<x<2, 于函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞，4) C.若f(x)=3,则x的值是3 D.f(x)<1的解集为(-1,1) (x≥0)'则不等式对(x)+x≤ 14.已知f(x)=0(x<0), 2的解集是 —227