练案15 2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[15] 第二章2.3[第2课时二次函数与 一元二次方程、不等式的应用] A组·基础巩固 8.若不等式x2+2x+2>|a-21对于一切实数x 1.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则 均成立，则实数a的取值范围是 实数a的取值范围是 9.设函数y=ax2+(b-1)x+2 A.-4≤a≤4 B.-4<a<4 (1)若不等式y<0的解集为{xI1<x<2},求 C.a≤-4，或a≥4D.a<-4,或a>4 实数a,b的值； 2.若集合A={x1-1≤2x+1≤3}，B= (2)若当x=-1时y=5,且存在x∈R,使y< 1成立，求实数a的取值范围. {2≤0则4nB ( A.{xl-1≤x<0 B.{xI0<x≤1} C.{xI0≤x≤2 D.{xI0≤x≤1} 3不等式1的解集是 {≤≤2斗 R{s≤<2 C{xx>2或≤}D.{≥引 4.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实 根一个小于-1，另一个大于1，那么实数m的 取值范围是 A.-2<m<2 B.-2<m<0 C.-2<m<1 D.0<m<1 5.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x -4<0恒成立，则实数a的取值范围为 ( A.ala<2 B.{ala≤2 C.{al-2<a<2} D.{al-2<a≤2 6.若关于x的不等式x二>0的解集为xx< x+1 -1或x>4},则实数a 7.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间 的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x< 240),若每台产品的售价为25万元，则生产者 不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产 量是 台 217 10.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要 B组·综合运用 继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这 段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故 11.不等式2x=2<2的解集为 x2+x+1 的一个重要因素.在一个限速为40k/h的 A.{xlx≠-2} 弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况 B.R 不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘 查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的 C.0☑ 刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的 D.{xlx<-2或x>2} 刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有12.（多选)下列结论错误的是 () 如下关系：s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+ A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根， 0.005x2 则不等式ax2+bx+c>0的解集为R 问：甲、乙两车有无超速现象？ B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条 件是a<0且△=b2-4ac≤0 C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集 为R,则a≤- D.不等式>1的解集为xx<1 13.（多选)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对 x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是 A.0<a<1 B.0≤a≤1 c0<a<号 D.a≥0 14.某地每年销售木材约20万m3,每立方米价 格为2400元.为了减少木材消耗，决定按销 售收入的%征收木材税，这样每年的木材销 售量减少万m,为了既减少木材消耗又 保证税金收入每年不少于900万元，则t的取 值范围是 218 C组·拓展提升 16.北京冬奥会于2022年2月4日开幕，随着冬 奥会的举办，中国冰雪运动也快速发展，民众 15.已知集合A={x1(x-2)[x-(3a+1)]< 参与冰雪运动的热情高涨盛会的举行，不仅 带动冰雪活动，更推动了冰雪产业快速发展. 某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定 成本为200万元，每生产x千件，需另投人成本 (1)当a=2时，求A∩B; 为C(x)(万元)，其中C(x)与x之间的关系为 (2)求使B二A的实数a的取值范围. 2+20.0<x<0eN, C(x)= 通 50x 49000-1980,x≥60，x∈N°， x-2 过市场分析，当每千件产品售价为40万元 时，该厂年内生产的商品能全部销售完.若将 产品单价定为400元. (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千 件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品 的生产中所获利润最大？ -219又因为x+y=4,所以x= 号y=学时等号成立 11.B根据给出的定义得，x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) =x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x 练案[14] -1)<0,故不等式的解集是{xl-2<x<1}.故选B. 12.B当a<1时，B=xIa<x<1},显然不满足A∩B=2, 1.D不等式变形为2x2+x-6>0,又方程2x2+x-6=0的两 3};当a=1时，B=☑，不满足AnB=2,3};当a>1时，B 根为三，2三2，所以不等式的解集为 =xl1<x<a},因为AnB={2,3},所以3<a≤4. {<-2或x>}做选D 1B.立因为不等式a2+c-1>0的解集为3<x<4, 所以x=3,x=4是方程ax2+bx-1=0的两个实根，则3×4 2.D不等式x2-ax-6a2<0可化为(x-3a)(x+2a)<0.a 1 <0,∴不等式的解集为xl3a<x<-2a,故选D. =-=12,解得a=-2 3.C由已知得a(x+2)(x-3)>0,a<0,.(x+2)(x-3)14.{mlm<1}集合A={xlx2-2x-3≤0={xl-1≤x≤3}， <0,.-2<x<3.所求不等式的解集为xl-2<x<3}. 因为B={xlx<4-m或x>2m+4},所以0RB={xI4-m≤ 4.A由不等式x2+x+1<0的解集为空集，得对应的二次函 x≤2m+4}.因为A∩(CRB)=☑，①当4-m>2m+4,即m 数y=x2+kx+1的图象与x轴有一个交点或全部在x轴上 <0时，CRB=⑦，符合题意；②当4-m≤2m+4,即m≥0 方，则4=2-4×1×1≤0，解得-2≤k≤2. 时，则4-m>3,所以0≤m<1.综上，实数m的取值范围是 5.B不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0, {mlm<1}. 由不等式a-(a+1)x+1<0的解集为：日<<1以得a 15.ABC由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的 解集是{xx1<x<x2}(x1<x2),所以a<0,且x1,x2是一元 >0,方程(ax-1)(x-1)=0的两根为=1，=。，且 二次方程.ax2-2ax+1-3a=0的两根；所以x1+x2=2,选 <1,则a的取值范围为a>1,故选B. 项A正确：=1一30=-3<-3，选项B正确：所以 a 6.{x-3<x<4}由-x2+x+12>0,得x2-x-12<0,解得 -3<x<4,所以x的取值范围为{x1-3<x<4}. -√+)-4为=√4-4×西=24 7.1将原不等式化为22+(m-2)x<0,即x(x+2m-4)<0, >4,选项C正确；由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误 的，即选项D错误 故0,2是对应方程x(x+2m-4)=0的两个根，代入得m=1. 16.(1)当a=0时，原不等式可化为：x-2<0,即x<2. 8.{x1x<-2,或x>3}根据表格可以画出 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草 (2)当a<0时，2<0<2，所以2<x<2 图，如右图 (3)当a=1时，原不等式化为(x-2)2>0,x≠2. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0 的解集是{xx<-2,或x>3}. (4)当0<a<1时，2<2，所以x>2或x<2. 9.(1)方程x2-5x+6=0有两个不等实数根 1=2,x2=3,又因为函数y=x2-5x+6的 （5a>1时，2>名所以02或<2 图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 综上可知，不等式的解集为：a=0时，{xlx<2}; 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1).根据 图象可得不等式的解集为{xlx>3,或x<2} <0时{2<2 (2)原不等式可化为x2-6x+10<0,对于方程x2-6x+10= a=1时，{xlx≠2}； 0,因为△=(-6)2-40<0，所以方程无解，又因为函数y=x2 -6x+10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点， 0<a<1时，{<2或>2】 a了 其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为②. a>1时，{<名或>2} 练案[15] 1.A由4=a2-4×4≤0可得-4≤a≤4 2.B易求A={xl-1≤x≤1}，集合B={xlx(x-2)≤0且x≠ o1为o123 0}={xI0<x≤2}，所以A∩B={x10<x≤1}. (1) 3B不等式号-1，移项得：-130即0，可化 2-x 10.(1)当a=0时，不等式为-x>0,所以x<0, (2)当a≠0时，方程a2-x=0的两根为0与。： 为3≥0或4,30 1x-2<0或1x-2>0, 解得3 ≤：<2，则原不等式的解 ①当a>0时，>0，所以x>。或x<0: 4.D令y=x2+(m-1)x+m2-2,当x=1时函数值为y1,当x ②当a<0时，<0，所以片<x<0, =-1时，函数值为2，则=m+m-2<0, 解得0<m<1, 综上，当a>0时，不等式的解集为x>或x<0} ly2=m2-m<0, 故选D. 当a=0时，不等式的解集为{xlx<0}: 5.D当a-2=0,即a=2时，原不等式变为-4<0，恒成立；当 当a<0时，不等式的解集为{。<x<0】 。-2≠0时，{4022+6g-2》<0.解得-2<a<2,. -368- -2<a≤2，故选D 6.4不等式x二a>0等价于(x-a)(x+1)>0,因为不等式 则y=240×(20-)x%=60(8-). x+1 令y≥900，即60(8t-t2)≥900，解得3≤t≤5 x->0的解集为xlx<-1或x>4},所以a=4. 15.(1)当a=2时，A={xl2<x<7},B={x|4<x<5}, x+1 所以A∩B=xl4<x<5}. 7.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x- (2)因为B={xl2a<x<2+1}, 30000≥0，解得x≥150或x≤-200（舍去）.因为0<x<240 所以150≤x<240,即最低产量是150台. 当a<兮时，4=x13a+1<x<2 8.{al1<a<3}:x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，.当x=-1 2a≥3a+1, 时，x2+2x+2有最小值，最小值为1，由不等式2+2x+2> 要使BCA,必须{a2+1≤2，此时a=-1; Ia-21对于一切实数x均成立，得1a-21<1,解得1<a<3, a≠1， ..实数a的取值范围是aI1<a<3}. 当a=分时，4=，B={号<x< 10 9 不满足BCA, 9.(1)因为y=ax2+(b-1)x+2<0的解集为{x11<x<2}, 所以1,2是方程ax2+(b-1)x+2=0的两根. 舍去 a>0 当a>了时，A=x2<x<3a+1,要使Bc4, 2=3,解得a=1,b=-2 所以a r2a≥2， 2 则a2+1≤3a+1,解得1<a≤3. =2, a la≠1， (2)因为当x=-1时y=5,所以a-b=2, 综上可得：a的取值范围是al1<a≤3或a=-1}. 因为存在x∈R,y=aa2+(b-1)x+2<1成立， 16.(1)当0<x<60且xeN*时， 即存在xeR,ax2+(a-3)x+1<0成立， L=40x-2-20r-200=-2+20r-20: 当a=0时x>行，成立： 当x≥60且xeN*时， 当a<0时，函数y=a2+(a-3)x+1图象开口向下，成立； L=40x-50x-900+1980-200=1780-10-4900 当a>0时，4=(a-3)2-4a>0,即a2-10a+9>0, x-2 x-2 解得a>9或a<1,此时，a>9或0<a<1, 4x+20x-200,0<x<60,xeN*, 综上，实数a的取值范围为ala>9或a<1, 故L= 10.由题意知，对于甲车， 有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0, 170-10r-49090≥60.eN 解得x>30或x<-40(不符合实际意义，舍去)， (2)当0<<60且xeN”时，L=-(x-40)2+20, 这表明甲车的车速超过30km/h. 当x=40时，Lnm=200; 但根据题意知刹车距离略超过12m, 当x≥60且xeN*时， 由此估计甲车的车速不会超过限速40km/h. 对于乙车，有0.05x+0.005x2>10, L=1760- 0[6x-2)+4991s170m-10× 即x+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意义， 舍去)， 2√/(x-2).49 x-2 =360, 这表明乙车的车速超过40km/h,即超过规定限速. 11.A.·x2+x+1>0恒成立，.原不等式台x2-2x-2<2x2+2x 当组仅当-2=40四即=2时，等号成立山=360， +2=x2+4x+4>0(x+2)2>0,.x≠-2，.不等式的解集为 又因为360>200. {xx≠-2}. 故该厂年产量为2千件时，该厂在这一商品的生产中所获 12.ABD当a<0时，ax2+bx+c>0的解集为☑，故A错；当a 利润最大 =0,b≠0时，不等式bx+c≤0在R上不能恒成立，舍去.当 练案[16] a=b=0且c≤0时也恒成立，故B错；当a=0时，不等式为 x-1≤0，此时解集不是R,舍去；当a≠0时，要使解集为R,1.ACD结合函数的定义可知，A、C、D均可能，只有B是有的 一个x对应两个y,不满足函数的定义，故选ACD. 金{a0.解得a≤放C对：不等式可化为兴2.B由=-2得a+b2,由D0得-a+h0 0,即*-1<0，即x(x-1)<0,解得{x0<x<1.故D错. .∴.a=-1,b=-1,故选B. 3.D根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x 13.BD关于x的不等式x-2ax+a>0,对xeR恒成立，则△ 都有唯一的函数值与之对应，当α是定义域内的值时，有一个 =4a2-4a<0,解得0<a<1.A选项“0<a<1”是“关于x 交点，当a不是定义域内的值时，直线x=a与函数图象没有 的不等式x2-2ax+a>0对xeR恒成立”的充要条件；B选 1 交点，故选D. 项“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒 4.A由对应关系y=-x2+2x得：当x=-1时，y=-(-1)2 成立”的必要不充分条件：C选项0<a<分"是“关于x的 +2×(-1)=-3;当x=0时，y=0;当x=1时，y=-12+2 ×1=1;当x=2时，y=-22+2×2=0;当x=3时，y=-32+ 不等式x2-2ax+a>0对xeR恒成立"的充分不必要条件； 2×3=-3.所以值域为{-3,0,1}. D选项“a≥0”是“关于x的不等式x2-2ax+a>0对xeR rx-3≠0， rx≠3， 恒成立”必要不充分条件 5.C由题意可知x-2≥0，.x≥2，.x>2,且x≠3，故 14.{t3≤t≤5}设按销售收入的t%征收木材税时，税金收人 √x-2≠0，【x≠2， 为y万元 选C. -369