练案13 2.2 第2课时 基本不等式的应用-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[13] 第二章2.2[第2课时基本不等式的应用] A组·基础巩固 5.已知x>0,y>0,x+8y=xy,求x+2y的最 小值 1.已知实数x,y>0,且1+y=1,则2x+1的最 小值是 A.6 B.3+22 C.2+32 D.1+2 2.设a>0,b>0,a+4b=1,则使不等式1≤0+b ab 恒成立的实数t的取值范围是 A.t≤8 B.t≥8 C.t≤9 D.t≥9 3.（多选)有下列4个关于不等式的结论，其中正 确的是 A.若x<0,则x+1≤-2 B.若xER,则+2≥2 e+1 B组·综合运用 C若xeR且x≠0，则x+≥2 6.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长 D.若a>1,则(1+a)(1+号)≥4 400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得 4已知号则y-"的最小位是 小 8O0km(车长忽略不计)，那么这批物资全 部到达灾区，最少需要 h. 213 7.某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测 C组·拓展提升 算，某产品的年销售量（也即该产品的年产8.已知正实数x,y满足x+y=4. 量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足 (1)是否存在正实数x,y,使得xy=5?若存 x=3-k(k为常数)，如果不搞促销活动， 在，求出x,y的值；若不存在，请说明理由； m+1 则该产品的年销售量只能是1万件.已知2023 2)求证+，产产号并说明等号立的 年生产该产品的固定投入为8万元，每生产 条件 1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件 产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（产品成本包括固定投入和再投人两部 分资金). (1)将2023年该产品的利润y万元表示为年 促销费用m万元的函数； (2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元 时，厂家的利润最大？ 214-15.x>0,a>0,且2x+是≥2V2x·g=22a, 41学2410=2学+2 当且仅当2=兰，即=时，2+只取得小值。 24+24≥224241.当豆仅当24 -3,解得a=18 2x-4,即x=3时取“=” 1 16.x,y为正实数，3x+2y=10, 5因为>0>0，+8=，所以受+=1， .W=3x+2y+2√3x·2y≤10+(3x+2y）=20, 子y=时，等号 当且仅当3x=2y,3x+2y=10,即x=,y 所以x+2=(受+）x+2 成立 =0++g10+2√-18 .W≤25，即W的最大值为2√5. ,8+1=1 练案[13] 当且仅当 x y =16 即=2时等号成立 y=3 1.B方法一：由+y=1得y=1-士=因为x>0,y>0, 所以x+2y的最小值为18 所以x-1>0,所以2x+=2x+.x +=2x+=2+1 2 0. x-1 6.10当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了 +-2-0+*3≥2-)高 0-6小 -1+3=22+ 时，最后一辆车走完全程共需要40小时，所以一共需要 3,当且收当2(-）即=1+号时，等号成立所以2 (四+后小时，结合基本不等式，计算最位可得0+6≥ +的最小值是3+22 2√吧0·后=0，当且仅当把-名，即=80A时等号 方法二：因为x0,>0,所以2x+-(2:+）( 成立，故最少需要10小时. 7.(1)由题意知，当m=0时，x=1, ）=2+2+女+13+2√2可=3+22，当且仅当 1=3-kk=2x=3-2 +1, 7-宁即=1+号时.砂号皮立所以+士的装小 2xy 每件产品的销售价格为子，8+6气元)， 2+=1,ly=万-i ∴.2023年该产品的利润 值是3+22. =3x.8+16x-8-16x-m 2C因为a>0,6>0,所以≤等价于≤日+方只需1≤ m++(m+1)]+29(m≥0). (仕+古)而站+方（仕+公）o+4物=兽号 a (2m≥0时6+(m+1)≥2/6=8 4b a +5≥2·号+5=9.当且仅当 ab’即a=2b= :y≤-8+29=21，当且仅当m十L=m+1, a+4b=1 即m=3时，ya=21. 号时等号成立.所以≤9. 故该厂家2023年的促销费用投人3万元时，厂家的利润最 大，最大利润为21万元 8.(1)不存在. 3.ABC 若x<0,则x+ 因为正实数x,y满足x+y=4,所以4=x+y≥2xy,所以y -2√-·()=-2，当且仅当x=-1时取等号A ≤4. 当且仅当x=y=2时，等号成立， 正确；若xR,则+2+1+：F+1+】一≥ 故不存在正实数x,y,使得y=5. √x+1√+1 √x2+1 (2)由x+y=4得(x+1)+(y+2)=7, 2,√层+云=2，当且仅当x=0时取等号，B正 又因为x,y都是正实数， +1 所以1 4 以x++y+2 确当>0时+产2√于=2，当且仅当1时取 =[(x+0+(+2]·(++,42) 等号，结合选项Ax后R且x≠0时，则+≥2，C正确： =5别 若a>0,则1+@(+日）-2+a+日2+2V, +2罗号 4,当且仅当a=1时取等号，但a>1,所以等号取不到，D 错误. 当且仅当2-4x+时，等号成立 x+1y+2 -367- 又因为x+y=4,所以x= 号y=学时等号成立 11.B根据给出的定义得，x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) =x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x 练案[14] -1)<0,故不等式的解集是{xl-2<x<1}.故选B. 12.B当a<1时，B=xIa<x<1},显然不满足A∩B=2, 1.D不等式变形为2x2+x-6>0,又方程2x2+x-6=0的两 3};当a=1时，B=☑，不满足AnB=2,3};当a>1时，B 根为三，2三2，所以不等式的解集为 =xl1<x<a},因为AnB={2,3},所以3<a≤4. {<-2或x>}做选D 1B.立因为不等式a2+c-1>0的解集为3<x<4, 所以x=3,x=4是方程ax2+bx-1=0的两个实根，则3×4 2.D不等式x2-ax-6a2<0可化为(x-3a)(x+2a)<0.a 1 <0,∴不等式的解集为xl3a<x<-2a,故选D. =-=12,解得a=-2 3.C由已知得a(x+2)(x-3)>0,a<0,.(x+2)(x-3)14.{mlm<1}集合A={xlx2-2x-3≤0={xl-1≤x≤3}， <0,.-2<x<3.所求不等式的解集为xl-2<x<3}. 因为B={xlx<4-m或x>2m+4},所以0RB={xI4-m≤ 4.A由不等式x2+x+1<0的解集为空集，得对应的二次函 x≤2m+4}.因为A∩(CRB)=☑，①当4-m>2m+4,即m 数y=x2+kx+1的图象与x轴有一个交点或全部在x轴上 <0时，CRB=⑦，符合题意；②当4-m≤2m+4,即m≥0 方，则4=2-4×1×1≤0，解得-2≤k≤2. 时，则4-m>3,所以0≤m<1.综上，实数m的取值范围是 5.B不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0, {mlm<1}. 由不等式a-(a+1)x+1<0的解集为：日<<1以得a 15.ABC由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的 解集是{xx1<x<x2}(x1<x2),所以a<0,且x1,x2是一元 >0,方程(ax-1)(x-1)=0的两根为=1，=。，且 二次方程.ax2-2ax+1-3a=0的两根；所以x1+x2=2,选 <1,则a的取值范围为a>1,故选B. 项A正确：=1一30=-3<-3，选项B正确：所以 a 6.{x-3<x<4}由-x2+x+12>0,得x2-x-12<0,解得 -3<x<4,所以x的取值范围为{x1-3<x<4}. -√+)-4为=√4-4×西=24 7.1将原不等式化为22+(m-2)x<0,即x(x+2m-4)<0, >4,选项C正确；由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误 的，即选项D错误 故0,2是对应方程x(x+2m-4)=0的两个根，代入得m=1. 16.(1)当a=0时，原不等式可化为：x-2<0,即x<2. 8.{x1x<-2,或x>3}根据表格可以画出 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草 (2)当a<0时，2<0<2，所以2<x<2 图，如右图 (3)当a=1时，原不等式化为(x-2)2>0,x≠2. 由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0 的解集是{xx<-2,或x>3}. (4)当0<a<1时，2<2，所以x>2或x<2. 9.(1)方程x2-5x+6=0有两个不等实数根 1=2,x2=3,又因为函数y=x2-5x+6的 （5a>1时，2>名所以02或<2 图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 综上可知，不等式的解集为：a=0时，{xlx<2}; 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1).根据 图象可得不等式的解集为{xlx>3,或x<2} <0时{2<2 (2)原不等式可化为x2-6x+10<0,对于方程x2-6x+10= a=1时，{xlx≠2}； 0,因为△=(-6)2-40<0，所以方程无解，又因为函数y=x2 -6x+10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点， 0<a<1时，{<2或>2】 a了 其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为②. a>1时，{<名或>2} 练案[15] 1.A由4=a2-4×4≤0可得-4≤a≤4 2.B易求A={xl-1≤x≤1}，集合B={xlx(x-2)≤0且x≠ o1为o123 0}={xI0<x≤2}，所以A∩B={x10<x≤1}. (1) 3B不等式号-1，移项得：-130即0，可化 2-x 10.(1)当a=0时，不等式为-x>0,所以x<0, (2)当a≠0时，方程a2-x=0的两根为0与。： 为3≥0或4,30 1x-2<0或1x-2>0, 解得3 ≤：<2，则原不等式的解 ①当a>0时，>0，所以x>。或x<0: 4.D令y=x2+(m-1)x+m2-2,当x=1时函数值为y1,当x ②当a<0时，<0，所以片<x<0, =-1时，函数值为2，则=m+m-2<0, 解得0<m<1, 综上，当a>0时，不等式的解集为x>或x<0} ly2=m2-m<0, 故选D. 当a=0时，不等式的解集为{xlx<0}: 5.D当a-2=0,即a=2时，原不等式变为-4<0，恒成立；当 当a<0时，不等式的解集为{。<x<0】 。-2≠0时，{4022+6g-2》<0.解得-2<a<2,. -368-