练案11 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[11]第二章2.1[第2课时 等式性质与不等式性质] A组·基础巩固 9.已知u>6>0,c<d<0.比较，”c与)2的 1.下列运用等式的性质，变形不正确的是 大小 A.若x=y,则x+5=y+5 B.若a=b,则ac=bc C.若0=b,则a=b D.若x=y,则=Y aa 2.已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒 成立的是 ( A.ab >bc B.ac >bc C.ab ac D.albl >lblc 3.下列命题为真命题的是 ( A若号<白则a<6 10.已知：3<a+b<4,0<b<1,求下列各式的取 B.若a<b,则ac3<bc3 值范围。 C.若a<b,c<d,则a-c<b-d D.若a-c<b-d,c<d,则a+c<b+d （1)a:(2)a-b:3)号 4.若1<a<3,-4<b<2,那么a-1b1的范围是 A.-3<a-1bl≤3B.-3<a-1bl<5 C.-3<a-Ib1<3D.1<a-1b1<4 5.（多选)已知实数a,b,c满足c<b<a且ac< 0,则下列选项中一定成立的是 A.ab >ac B.c(b-a)>0 C.ac(a-c）<0 D.cb2<ab2 6能说明“若a>6,则。<分"为假命题的一组 a,b的值依次为 7.已知26<a<-6,则号的取值范围为 8.给出以下四个命题： ①a>b→a”>b"(n∈N*);②a>Ibl=a">b" (n∈N):③a<b<0→1>：④a<b<0→ 5>其中真命题的序号是 209 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.若a<0,-1<b<0,则下列各式中正确的是 15.设a,b为正实数，则下列命题中正确的是 ( ·（填序号) A.a ab ab? B.ab >a ab2 ①若a2-b2=1,则a-b<1: C.ab2>ab >a D.ab >ab2>a 12.（多选)若正实数x,y满足x>y,则有下列结 ②若}-日=1.则a-b<1: 论，其中正确的是 ③若l√a-√b1=1,则Ia-b1<1. A.xy<y2 B.x2>y2 16已知三个不等式：①6>0：②片>：③c> a C.Y<X+m(m>0)D.1<1 xx+m xx-y ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，能 13.（多选)下列命题中为真命题的是( 组成哪几个正确的命题？ A若a>b,则号> B.若a>0,则2+a>2 3+a3 c若号<台则a<6 D若c>a>6>0,则6< 14.已知-1≤x+y≤4，且2≤x-y≤3，求z=2x -3y的取值范围. 210行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9： 天多的时间”用不等式表示为，8x。>9(x>12). =a0, 2(a+b) x-12 所以乙的购物比较经济合算 9.设需要安排x艘轮船和y架飞机. r300x+150y≥2000， r6x+3y≥40 练案[11] 则250x+100y≥1500.即5x+2y≥30 1.D对于选项A,由等式的性质3知，若x=y,则x+5=y+5, LxeN,yeN, x∈N,yeN. 正确；对于选项B,由等式的性质4知，若a=b,则ac=bc,正 10.因为x+3-13x+3+3+1 4-x x-4x-4’ 确；对于选项C,由等式的性质4知，若：=名，则a=6,正 1}2+2>0恒成立， 又2-x+1=（x-2) 确；对于选项D,若x=y,则x=Y的前提条件为a≠0，故此 4 所以当x>4时-x+1>0, 选项错误 x-4 2.C方法一：因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,所 13 此时x+3>4 以ab>ac. 方法二：令a=1,b=0,c=-1,则ab=bc,ac<bc,albl=Iblc, 当<4时-+1<0. 故排除A、B、D,故选C. x-4 此时x+3<4- 13 3D当c=-1时，若是<合期a>b,与a<6矛盾，故选项A 错误；当c=0时，若a<b,则ac3=bc3=0,与ac3<bc3矛盾， 11.D由三角形三边关系及题意易知选D. 故选项B错误：当a=5,b=6,c=-1,d=0,满足a<b,c<d, 12.A观察图形可知体积减小一半后剩余酒的高度最高为h2, 但a-c=b-d,这与a-c<b-d矛盾，故选项C错误；因为a 最低为h,·故选A -c<b-d,c<d,所以由不等式性质可得：(a-c)+c<(b- a即岁w0和9 d)+d,即a<b.因为a<b,c<d,由不等式性质可得：a+c<b +d,故选项D正确.故选D. 由①-②得2b=2a2+2,即b=a2+1,所以b≥1.又b-a= 4.C-4<b<2∴.0≤1b<4,.-4<-1bl≤0.又1<a 。+1-。=(e-)°+是>0，所以6>a,面c-6=4-知 <3,∴.-3<a-1b1<3. 5.ABC实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,所以a>0,c<0,b +a2=(a-2)2≥0，所以c≥b.从而c≥b>a. 不确定.①因为a>0,b-c>0,所以ab>ac,故选项A正确. 14名本册>号变甜了，意味者含糖量大了，即浓度高了，所以 ②因为c<0,b-a<0,所以c(b-a)>0,故选项B正确.③因 为ac<0,a-c>0,所以ac(a-c)<0,故选项C正确.④当b 当6>a>0且m>0时：公+册>号 =0时，cb=ab,故选项D错误 6.1,-2(答案不唯一，满足a>0,b<0即可) 15.(1)因为a+b>0,(a-b)2≥0， 所以a3+b3-ab2-a2b {8-1<<2} 2b<a<-b,.2b<-b.b<0. =a-a-b+b-ab2 =a2(a-b)+b2(b-a) <<,即-1<号<2 =(a-b)(a2-b) 8.②③①中取a=-1,b=-2,n=2,不成立：②a>1b1,得a =(a-b)(a-b)(a+b)】 =(a-b)(a+b)≥0， >0a>0成立：③a<6<0,得>成立：国0<6<0， 所以a3+b≥ab2+a2b: (2)因为a≥1，所以M=√a+1-√a>0,N=a-√a-1>0. 得a-6<0,且。-b>a,敢，<亡国不成立 所以出=a+口-E_+a- 9..c<d<0,∴.-c>-d>0.又a>b>0,.a-c>b-d>0, 'Na-√a-I√a+I+a 1 >0.又a>6>062a> 因为，a+T+6>6+a>0,所以兴<1，所以M<N .b-d a-c 10.(1).0<b<1,.-1<-b<0, 3<a+b<4,∴.2<a+b+(-b)<4,即2<a<4. 16.(1)设甲每次购买这种物品的数量为m,乙每次购买这种物 (2).0<b<1,∴.-1<-b<0.又2<a<4,∴.1<a-6 品所花的钱数为n. <4. 所以甲两次购买这种物品的平均价格为6m+4m=5(元)， m+m (3)0<b<1古>1，又2<a<4号>2 乙两次购买这种物品的平均价格为，2”=（元） 11.Da<0,-1<b<0,ab>0,ab2<0,又-1<b<0,0 6+4 <2<1,两边同乘以负数a,可知ab2>a,.ab>0>ab2>a, (2)由(1)知，甲两次购买这种物品的平均价格为 故选D. 0(元 12.BCD由于x,y为正实数，且x>y,两边乘以y得xy>y2,故 m +m A选项错误；由于x,y为正实数，且x>y,所以x2>y2,故B 乙两次购买这种物品的平均价格为，2n。=2b 选项正确；由于x,y为正实数，且x>y,m>0,所以y(x+m) nn a+6(元). a+6 x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以Y 因为9+b_2ab=(a+b)2-4ab 2a+b=2(a+b) <+册成立，放C选项正确；由于，y为正实数，且>y,所 -365- 以x>-y>0,取倒数得0<<y放D选项正确放 2-1)名+2=8当且仅当-12即=4时。 选BCD. t的最小值为8. 1B.比当a=1,6=-1时，满足a>6,但号<1，放A错误：若7.@-b)(b-0<“2因为a>b>c,所以a-b>0,6-c a>0,呢后子3响>0故B正确：因为号-号 >0./a-bw-0≤0-b;h-e-2当且仅当a-b=6 2 <0,所以c>0,a-b<0,则a<b,故C正确；当c3D -c,即a+c=2b时，等号成立.所以/a-)(b-0≤“29 -26=1时6>产。改D错误放选C 832因为x>0,y>0,且1=音+子≥2√倍所以≤3. 4.=2x-3y=-2(x+)+ 1 2(x-y), 当且仅当号=子=分，即x=子y=2时取等号 3 -2g-+功≤分55-功≤总 9.(1)x>0x+4≥4 3≤-(x+)+-y）≤83≤≤8 5 当且仅当x=4(x>0),即x=2时取等号， 15.①对于①，由题意a,b为正实数，则a2-2=1→a-b= +ba-b>0→0>b>0,放a+b>a-b>0.若a-b≥1， 1 y2-(+4)≤2-4=-2 .Yms =-2. 则。十b≥1a+6≤1≤a-b,这与a+b>a-b>0矛盾，放a (2:0<<71-2x>0. -<1成立对于@，取特殊值，a=3,6=子，则a-b>1.对 y=7(1-2)=×2x1-2) 于③，取特殊值，a=9,b=4时，1a-b>1. 2 16.由②可知-4>0bc二a>0,若③式成立，即k>d, a b ab 则c-ad>0,b>0,故由②3-①正确：由①ab>0得沾 当且仅当2x=1-2x,即x=子时取等号， >0,不等式c>d两边同乘， 故y=21-2)的最大值为6 10..x>0, 03→2正确：由2得片-号>0“。>0，若①成 2 .x+2x+1 12 立，则bc>ad,故由①②→③正确.综上可知，①③→②，①② x+2 x+2 →③，②③→①. 练案[12] ≥1 +2】19 1.Da<0,则a+4≥4不成立，故A错：a=1,b=1,a2+B< +上即=时等号 4b,故B错；a=4,b=16,则√a而<a乌，故C错：由基本不等 当且仅当x+2* 2 综上所述，原式得证. 式可知D项正确： 2B>0,>0x+4y≥2=8，当且仅当x=4y且1.Cx>2,x-2>0,9 -2+(x-2)≥ y=4,即x=4,y=1时取等号，∴.x+4y的最小值为8.故 选B. 2√26x-2)=6,当且仅当”2=-2，即x=5时，等 9 3c<0y=-[(-)+] -2≤-2-2=-4，当 号成立，故选C 且仅当-x=1,即x=-1时取等号. 12.B由+3g-1=0可得y=号（位-x小因为>0，所 -x' 4.B因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+ 以+-+2√孟-2-9( 2x.1 3 当且仅当 y+=9+y<9+(生艺)=9+4=25，当且仅当x=y=4 音=京即=号时，等号成立）故：+y的最小值 3 3 时，等号成立，故(1+x)(1+y)的最大值为25. 因为6≤(2) =1,所以A正确：因为(a+D)213.ABC:ab≤ a+b1 a2+ 5.ACD (“2）a≠6，h<1,√2 =a+b+2√ab=2+2√ab≤2+a+b=4,所以B不正确；a a+b a2+b 2 ,a+b=2,. 2 >l,ab<1<+b +≥a生-2.所以c正确÷+古品≥2，所 2 2 14.a>0,b>0,a+2b=4,∴4=a+2b≥2√2ab, 以D正确 ab≤2，当且仅当a=2b时取等号，即a=2,b=1时取 68令1=(x-)+号+2，因为-1>0，所以1≥ 等号. .ab的最大值为2. -366