练案10 2.1 第1课时 不等式关系与比较大小-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[10] 第二章2.1[第1课时 不等式关系与比较大小] A组·基础巩固 8.一辆汽车原来每天行驶xkm,如果这辆汽车每 1.大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提 天行驶的路程比原来多19km,那么在8天内 示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质 它的行程就超过2200km,写成不等式为 量T满足关系 ( :如果它每天行驶的路程比原来少 A.T<40 B.T>40 12km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天 C.T≤40 D.T≥40 多的时间，用不等式表示为 2.设M=,N=-x-1,则M与N的大小关系9.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种 是 方式运输，每天每轮船和每架飞机运输量如 A.M>N B.M=N 下表： C.M<N D.与x有关 轮船运输量/八 飞机运输量/八 3.已知a>0,b>0,M=√a+√b,N=√a+b,则 粮食 300 150 M与N的大小关系是 ( 石油 250 100 A.M>N B.M=N C.M<N D.不能确定 现在要在一天内至少运输2000t粮食和 4.若某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的 1500t石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所 最大限速为120km/h,行驶过程中，同一车道 满足的所有不等关系的不等式。 上的车间距d不得小于50m,则用不等式表示 为 A.v≤120km/h或d≥50m 「v≤120km/h, ld≥50m C.v≤120km/h D.d≥50m 5.（多选)下列结论正确的是 A.用不等式表示某厂最低月生活费a元不低 于300元为a≥300 B.完成一项装修工程，请木工需付工资每人 500元，请瓦工需付工资每人400元，现有 工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人， 则满足的关系式是5x+4y<200 C.设M=x2+3,N=3x,则M与N的大小关系 为M>N D.若x≠-2且y≠1，则M=x2+y2+4x-2y 的值与-5的大小关系是M>-5 6.当m>1时，m3与m2-m+1的大小关系为 7.一个棱长为2的正方体的上底面有一点A,下 底面有一点B,则A,B两点间的距离d满足的 不等式为 —207 10设eR且4，试比较x+3与的大小 C组·拓展提升 15.(1)已知a,b∈R,a+b>0,试比较a3+b3与 ab2+a2b的大小； (2)已知a≥1，试比较M=√a+1-√a和N= √a-a-1的大小 B组·综合运用 11.已知三角形的任意两边之和大于第三边，设 △ABC的三边长分别为a,b,c,将上述文字语 言用不等式（组）可表示为 () B. fa+b>c A.a+b>c la+c>b 16.甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品， ra+b>c 分别采用两种不同的策略.甲的策略是不考 c8d D.a+c>b 虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数 b+c>a 量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降， 12.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的 每次购买这种物品所花的钱数一定 爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半 (1)若两次购买这种物品的价格分别为6元， 径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们 4元，求甲两次购买这种物品和乙两次购 约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高 买这种物品的平均价格分别为多少； 度从左到右依次为h1,h2,h,h4,则它们的大 (2)设两次购买这种物品的价格分别为α元， 小关系正确的是 b元(a>0,b>0),问甲、乙谁的购物比较 经济合算 A.h2>h1>h4 B.h >h2>h3 C.h3 >h>ha D.h ha xh 13.（多选)设实数a,b,c满足b+c=6-4a+ 32,c-b=4-4a+a2,则下列不等式成立的 是 ( A.c<b B.b≥1 C.b≤a D.a<c 14.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添 上m克糖(m>0),则糖水就变甜了，试根据此 事实提炼一个不等式，当b>a>0且m>0时， 208.-3≤x≤2，∴.-2≤-x≤3 +4>0恒成立，所以命题p为假命题.命题p的否定为Hx∈ ÷-2≤3a-2≤3，即0≤a R.x2+2x+5≥0. 3 9.(1)至少存在一个正方形不是矩形，假命题 故实数a的取值范围是{a0≤a≤】 (2)对任意x∈R,x3+1≠0，假命题. 3 (3)所有的四边形都有外接圆，假命题 11.D因为x+3≥0，所以A={xlx≥-3.又因为对HaeM,10.(1)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 都有a生A,所以a<-3.故选D. 一个非空集合，空集不是该集合的真子集 12.AB易知选项A、B为真命题；C中命题当x<0时，Ixl>x (2)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 所以C为假命题：D中，由于a-b=2n-3n=-n,.neN 一对等圆，其面积不相等或周长不相等 时，-n<0,·.a-b=-n<0,所以对于任意的n∈N*,都有 (3)该命题是存在量词命题，是真命题.因为当x=1时，Ix- a<b,即a≠b,故D为假命题. 2|=1<2.该命题的否定：Hx∈-2，-1,0,1,2}，Ix-21 13.ABD当A={1,2},B={1,2,3}时，满足条件“3x∈B,x ≥2. A”,且有AB,AnB=1,2≠O,则A、B正确；若B军A,则11.AC因为命题P:“VxeR,x2+1≠0”的否定是“了x∈R,x Hx∈B,都有x∈A,与“3x∈B,xA”矛盾，那么B不可能 +1=0”.且p为真命题，则p是假命题.故选AC. 是A的真子集，则C错误；当A=1,2},B=3,4}时满足条12.B对于p而言，取x=-1,则有x+11=0<1,故p是假命 件“]x∈B,xA”且有A∩B=☑，则D正确， 题，7p是真命题，对于q而言，取x=1,则有x=13=1=x, 14.a≥1若p是真命题，则-2×号+a≥0，即0≥1.若g为假 故g是真命题，q是假命题，综上，p和g都是真命题.故 选B. 命题，即△=1-4(2a-1）<0,则a>放a≥1. 13.3a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 15.VneN*且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+ 14.{ala>4}HxeR,x2-4x+a≠0若命题p为假命题，则 p:/x∈R,x2-4x+a≠0为真命题，则△=(-4)2-4a< n)2根据已知等式可得，对于任意neN*且n≥2，总有13 0,解得a>4. +2+3+…+n3=(1+2+3+…+n)2,所以得到如下全 称量词命题：HneN且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2 15.命题“3meR,使得A∩B≠必”为假命题，则其否定“Vm∈ R,A∩B=O”为真命题 +3+…+n). 当a<0时，集合A={xl0≤x≤a}=☑， 16.(1)当m=0时，y=x-a与x轴恒有公共点，所以ae∈R 符合A∩B=☑，当a≥0时，因为m+3>0 (2)当m≠0时，二次函数y=mx2+x-m-a的图象和x轴 所以由Hm∈R,A∩B=⑦， 恒有公共点的充要条件是4=1+4m(m+a)≥0恒成立，即 得a<m2+3对于HmeR恒成立， 4m2+4am+1≥0恒成立. 当meR时，有m2+3≥3，所以a<3,则0≤a<3, 设y1=4m2+4am+1,则可转化为此关于m的二次函数的图 综上，实数a的取值范围为{ala<3. 象恒在m轴上方（或图象顶点在m轴上）的充要条件是△，= 16.命题p的否定为：“H1≤x≤2，使得x2+2ax+2-a≤0”， (4a)2-16≤0，可得-1≤a≤1. 设y=x+2ax+2-a,1≤x≤2 综上所述，当m=0时，aeR; 当m≠0时，ae{al-1≤a≤1}. 由题室，有化和38银特0-3 练案[9] 因为命题p为真命题，所以p的否定为假命题， 所以a>-3,即a的取值范围是a>-3. 1.C原命题是全称量同命题其否定是“3x∈R,Ix!+x<0” 2.B根据全称量词命题的否定是存在量词命题，∴.命题p:所 练案[10] 有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做1.C 第1题故选B. 3.C由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全 2A-N=+1=(+)+>0，故w> 称量词命题，再否定命题结论.故选C. 3.A易知M>0,N>0,因为M2-N2=(a+b)2-(a+b)2 4.ABD由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数， =2ab>0,所以M>N 是假命题.有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱 形，是假命题.Hx∈R,x2-2x>0的否定：3x∈R,x2-2x≤ 4.B考虑实际意义，知v≤120km/h,且d≥50m 5.ACD对于A,可得a≥300，故A正确；对于B可得500x+ 0,是真命题.3x∈R,2x+1为奇数的否定：Hx∈R,2x+1都 400y≤20000，化为5x+4y≤200，故B错误；M-N=x2+3- 不是奇数，是假命题. 5.ABD“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为 3x=(x-子）广+子>0，可得M>N,放C正确：因为x≠-2 全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 且y≠1，所以M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(1y 错误 -1)2>0,即M>-5,故D正确. 6.]a,b∈R,方程ax+b=2无解或至少有两解p:]a,b∈ 6.m3>m2-m+1.m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1= R,方程ax+b=2无解或至少有两解. m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1).又：m>1,故(m- .{mm≥4} 命题“3xe{ ≥-4}x+m<0”是假命 1 1)(m2+1)>0,.m3>m2-m+1. 7.2≤d≤2√3最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角 题，即命题的否定为真命题其否定为：“Vx∈{：≥-} 线长25.故2≤d≤25. x+m≥0”，解得m≥子 88(x+19)>22002>9(:>12)原来每天行驶xkm, 8.存在量词命题假HxeR,x2+2x+5≥0命题p:3x∈ 现在每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内它的行程就 R,x2+2x+5<0是存在量词命题.因为x2+2x+5=(x+1)2 超过2200km”,写成不等式为8(x+19)>2200.若现在每天 -364 行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9： 天多的时间”用不等式表示为，8x。>9(x>12). =a0, 2(a+b) x-12 所以乙的购物比较经济合算 9.设需要安排x艘轮船和y架飞机. r300x+150y≥2000， r6x+3y≥40 练案[11] 则250x+100y≥1500.即5x+2y≥30 1.D对于选项A,由等式的性质3知，若x=y,则x+5=y+5, LxeN,yeN, x∈N,yeN. 正确；对于选项B,由等式的性质4知，若a=b,则ac=bc,正 10.因为x+3-13x+3+3+1 4-x x-4x-4’ 确；对于选项C,由等式的性质4知，若：=名，则a=6,正 1}2+2>0恒成立， 又2-x+1=（x-2) 确；对于选项D,若x=y,则x=Y的前提条件为a≠0，故此 4 所以当x>4时-x+1>0, 选项错误 x-4 2.C方法一：因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,所 13 此时x+3>4 以ab>ac. 方法二：令a=1,b=0,c=-1,则ab=bc,ac<bc,albl=Iblc, 当<4时-+1<0. 故排除A、B、D,故选C. x-4 此时x+3<4- 13 3D当c=-1时，若是<合期a>b,与a<6矛盾，故选项A 错误；当c=0时，若a<b,则ac3=bc3=0,与ac3<bc3矛盾， 11.D由三角形三边关系及题意易知选D. 故选项B错误：当a=5,b=6,c=-1,d=0,满足a<b,c<d, 12.A观察图形可知体积减小一半后剩余酒的高度最高为h2, 但a-c=b-d,这与a-c<b-d矛盾，故选项C错误；因为a 最低为h,·故选A -c<b-d,c<d,所以由不等式性质可得：(a-c)+c<(b- a即岁w0和9 d)+d,即a<b.因为a<b,c<d,由不等式性质可得：a+c<b +d,故选项D正确.故选D. 由①-②得2b=2a2+2,即b=a2+1,所以b≥1.又b-a= 4.C-4<b<2∴.0≤1b<4,.-4<-1bl≤0.又1<a 。+1-。=(e-)°+是>0，所以6>a,面c-6=4-知 <3,∴.-3<a-1b1<3. 5.ABC实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,所以a>0,c<0,b +a2=(a-2)2≥0，所以c≥b.从而c≥b>a. 不确定.①因为a>0,b-c>0,所以ab>ac,故选项A正确. 14名本册>号变甜了，意味者含糖量大了，即浓度高了，所以 ②因为c<0,b-a<0,所以c(b-a)>0,故选项B正确.③因 为ac<0,a-c>0,所以ac(a-c)<0,故选项C正确.④当b 当6>a>0且m>0时：公+册>号 =0时，cb=ab,故选项D错误 6.1,-2(答案不唯一，满足a>0,b<0即可) 15.(1)因为a+b>0,(a-b)2≥0， 所以a3+b3-ab2-a2b {8-1<<2} 2b<a<-b,.2b<-b.b<0. =a-a-b+b-ab2 =a2(a-b)+b2(b-a) <<,即-1<号<2 =(a-b)(a2-b) 8.②③①中取a=-1,b=-2,n=2,不成立：②a>1b1,得a =(a-b)(a-b)(a+b)】 =(a-b)(a+b)≥0， >0a>0成立：③a<6<0,得>成立：国0<6<0， 所以a3+b≥ab2+a2b: (2)因为a≥1，所以M=√a+1-√a>0,N=a-√a-1>0. 得a-6<0,且。-b>a,敢，<亡国不成立 所以出=a+口-E_+a- 9..c<d<0,∴.-c>-d>0.又a>b>0,.a-c>b-d>0, 'Na-√a-I√a+I+a 1 >0.又a>6>062a> 因为，a+T+6>6+a>0,所以兴<1，所以M<N .b-d a-c 10.(1).0<b<1,.-1<-b<0, 3<a+b<4,∴.2<a+b+(-b)<4,即2<a<4. 16.(1)设甲每次购买这种物品的数量为m,乙每次购买这种物 (2).0<b<1,∴.-1<-b<0.又2<a<4,∴.1<a-6 品所花的钱数为n. <4. 所以甲两次购买这种物品的平均价格为6m+4m=5(元)， m+m (3)0<b<1古>1，又2<a<4号>2 乙两次购买这种物品的平均价格为，2”=（元） 11.Da<0,-1<b<0,ab>0,ab2<0,又-1<b<0,0 6+4 <2<1,两边同乘以负数a,可知ab2>a,.ab>0>ab2>a, (2)由(1)知，甲两次购买这种物品的平均价格为 故选D. 0(元 12.BCD由于x,y为正实数，且x>y,两边乘以y得xy>y2,故 m +m A选项错误；由于x,y为正实数，且x>y,所以x2>y2,故B 乙两次购买这种物品的平均价格为，2n。=2b 选项正确；由于x,y为正实数，且x>y,m>0,所以y(x+m) nn a+6(元). a+6 x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以Y 因为9+b_2ab=(a+b)2-4ab 2a+b=2(a+b) <+册成立，放C选项正确；由于，y为正实数，且>y,所 -365-