练案8 1.5.1 全称量词与存在量词-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[8] 第-章1.5[1.5.1 全称量词与存在量词] A组·基础巩固 7.给出下列四个命题：①Hx∈R,x2+3>0; 1.下列存在量词的命题中，是假命题的是 ②Hx∈N,x≥1；③]x∈Z,x3<1;④]x∈Q, ( x2=3. A.]x∈Z,x2-2x-3=0 其中是真命题的是 (把所有真命题的 B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3 序号都填上). 整除 8.下列存在量词命题是真命题的是 C.有的三角形没有外接圆 (填序号)》 ①有些不相似的三角形面积相等； D.3xER,Vx=x ②存在一实数x0,使x+x0+1<0: 2.下列四个命题： ③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增 ①一切实数均有相反数；②3a∈N,使得方程 大而增大； ax+1=0无实数根；③梯形的对角线相等； ④有一个实数的倒数是它本身。 ④有些三角形不是等腰三角形. 9.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词 其中，真命题的个数为 命题，并判断它们的真假， A.1 B.2 C.3 D.4 (1)存在两个正实数x,y,使x2+y2=0 3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题 (2)有两个角是45°的三角形是等腰直角三 的是 ( 角形. A.直角三角形的内角有一个是90° (3)能被5整除的整数末位数是0. B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使>2 4.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命 题是 A.a,bER,a2+62+2ab=(a+b)2 B.3a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 C.Ha>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 D.Ya,bER,a2+b2+2ab=(a+b)2 5.下列存在量词命题是假命题的是 A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0 C.有的整数是偶数 D.有的有理数没有倒数 6.能够说明“存在两个不相等的正数α，b,使得 a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为 ·(答案不唯一) 203 10.已知命题“了-3≤x≤2,3a+x-2=0”为真 14.已知命题p:Vx∈x≤分}，-2x+a≥0，命 命题，求实数a的取值范围. 题g:x2+x+2a-1=0有实数根，若p为真命 题，g为假命题，则实数a的取值范围是 C组·拓展提升 15.根据下述事实，得到含有量词的全称量词命 题或存在量词命题为 13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+4=(1+2+3+4)2, 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2, 16.若Hx∈R,函数y=mx2+x-m-a的图象和 x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. B组·综合运用 11.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使命题 “Va∈M,aA”为真命题的集合M是 ( A.{ala≥-3} B.{ala>-3} C.{ala≤-3 D.{ala<-3} 12.（多选)给出下列命题，其中真命题有（) A.存在x<0,使|x|>x B.对于一切x∈Z,都有lx|∈N C.存在x<0,使1x|≤x D.已知a=2n,b=3n,则存在n∈N*,使得 a=b 13.（多选)若集合A,B满足：]x∈B,xA,则下 列关系可能成立的是 A.A手B B.A∩B≠☑ C.B年A D.A∩B=☑ —2048-2或5p:+x-6=0,即x=2或x=-3q:w+1=0,0 综上：a的取值范围是{aa<-4或-1≤a≤} 0,即x=-。由题意知p为g,9p,所以有-。=2或 16.若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集 a 合A是集合B的真子集， =-3，解得a=-分或a=子综上可知，a=- - rm>0, a 2 则有1-m≤-2，且1-m≤-2与1+m≥6不同时取等号；解 或子 1+m≥6， 得m≥5，所以，实数m的取值范围是m≥5. 9.集合A=xlx>-2},B={xlx≤b,b∈R}, 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集 (1)若AUB=R,则b≥-2， 合B是集合A的真子集， 故AUB=R的一个充要条件是b≥-2. rm>0. (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 则有1-m≥-2，解得0<m≤3， 所以AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3， l1+m≤6， (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 所以，实数m的取值范围是0<m≤3 所以AUB=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1. 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于 10.①当a=0时，解得x=-1,满足条件； 集合B, ②当α≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则 a<0: 若方程有两个负的实根， 如有什：62方春组无欲。 所以，不存在满足条件的实数m. 10, 练案[8] 则必须满足 -1 <0. 即0<a≤4 1.C任意三角形都存在外接圆. a l4=1-4a≥0 2.C对于③，梯形的对角线不一定相等.如直角梯形的对角线 显然不相等，故为假命题，其余均为真命题 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤ 4 3.BA是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题：C 反之，若a≤4，则方程至少有一个负的实根。 中因为3+(-√3)=0，所以C是假命题：D中对于任意一个 因此，关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充 负数x,都有<0，所以D是假命题故选B. 要条件是a≤4 4.D全称量词命题含有量词“V”,故排除A,B,又等式a2+b2 +2ab=(a+b)2对于全体实数都成立.故选D. 11.C因为1al≥a,所以若a>b+1,则1al>b+1,充分性成 立，故A错误；因为xI1<x<2}{xl2x>1},所以p是g成 5.B对于任意的xeR,+x+1=(x+) 年>0恒成 立的充分不必要条件，故B错误；因为{ala>0}{ala+1 立，所以存在x∈R,使x2+x+1=0是假命题 >0},所以“a>0”是“a+1>0”的充分不必要条件，故C正 确；若“x=-1”是“x<a”的必要不充分条件，则{xlx<a} 6(分，号)当a=7,b=了时，存在两个不相等的正数， {-1},则不存在这样的a,故D错误. 12.AB由不等式1≤1x≤4，解得-4≤x≤-1或1≤x≤4， 6,使得a-b=b是真命题，故所求有序数对(a,)为（分 ∴.不等式1≤lx|≤4成立的充分不必要条件为A,B.故选AB. 13.C命题“Vxe{xl1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题，可化为 子）又如(1，)等，答案不唯一 x∈xl1≤x≤2}，a≥x恒成立，即只需a≥(x)m=4,即7.①③①由于VxeR,都有x2≥0，因而有x2+3≥3>0，即x2 “Hx∈{xl1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥ +3>0,所以命题“HxeR,x2+3>0”是真命题；②由于0e 4,而要找的一个充分不必要条件即为集合{aIa≥4}的真子 N,当x=0时，x≥1不成立，是假命题：③由于-1∈Z,当x= 集，由选择项可知C符合题意」 -1时，x3<1成立，是真命题；④由于使x2=3成立的数只有 14.3或4易得方程x-4x+m=0的根为x=4±6=4m ±√3，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平 2 方等于3，是假命题. 2±√4-m,因为x是整数，即2±√4-m为整数，所以8.①③④①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积 √4-m为整数，且m≤4.又meN*,所以m的值可取1,2， 就相等，但不一定相似；②中，对任意x∈R,x2+x+1=x+ 3,4,验证可得m=3或m=4符合题意，反之，当m=3或m =4时，可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根. 15.(1)当a=2时，A=xl1≤x≤7}，则AnB={x11≤x≤4}； 子）°+子>0，所以不存在实数6，使后++1<0，放②为 112 CmA={xlx<1或x>7},CB={xlx<-2或x>4}, 假命题；③中，当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中， (CA)∩(CB)={x|x<-2或x>7}. 如1的倒数是它本身，为真命题，故填①③④. (2)·x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，.AB. 9.(1)是存在量词命题，因为当x+y=0时，x=y=0,所以不 ①若A=⑦，则a-1>2a+3,解得a<-4; 存在x,y为正实数，使x2+y2=0,故此命题是假命题. ra-1≤2a+3. (2)是全称量词命题，有两个角是45°的三角形，第三个角必 ②若A≠0，由A军B,得{a-1≥-2， 是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真 L2a+3≤4， 命题 且a-1≥-2与2a+3≤4不同时取等号； (3)是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0， .1 解得-1≤a≤2 因此该命题是假命题 :10.由3a+x-2=0,得3a-2=-x, -363— .-3≤x≤2，∴.-2≤-x≤3 +4>0恒成立，所以命题p为假命题.命题p的否定为Hx∈ ÷-2≤3a-2≤3，即0≤a R.x2+2x+5≥0. 3 9.(1)至少存在一个正方形不是矩形，假命题 故实数a的取值范围是{a0≤a≤】 (2)对任意x∈R,x3+1≠0，假命题. 3 (3)所有的四边形都有外接圆，假命题 11.D因为x+3≥0，所以A={xlx≥-3.又因为对HaeM,10.(1)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 都有a生A,所以a<-3.故选D. 一个非空集合，空集不是该集合的真子集 12.AB易知选项A、B为真命题；C中命题当x<0时，Ixl>x (2)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 所以C为假命题：D中，由于a-b=2n-3n=-n,.neN 一对等圆，其面积不相等或周长不相等 时，-n<0,·.a-b=-n<0,所以对于任意的n∈N*,都有 (3)该命题是存在量词命题，是真命题.因为当x=1时，Ix- a<b,即a≠b,故D为假命题. 2|=1<2.该命题的否定：Hx∈-2，-1,0,1,2}，Ix-21 13.ABD当A={1,2},B={1,2,3}时，满足条件“3x∈B,x ≥2. A”,且有AB,AnB=1,2≠O,则A、B正确；若B军A,则11.AC因为命题P:“VxeR,x2+1≠0”的否定是“了x∈R,x Hx∈B,都有x∈A,与“3x∈B,xA”矛盾，那么B不可能 +1=0”.且p为真命题，则p是假命题.故选AC. 是A的真子集，则C错误；当A=1,2},B=3,4}时满足条12.B对于p而言，取x=-1,则有x+11=0<1,故p是假命 件“]x∈B,xA”且有A∩B=☑，则D正确， 题，7p是真命题，对于q而言，取x=1,则有x=13=1=x, 14.a≥1若p是真命题，则-2×号+a≥0，即0≥1.若g为假 故g是真命题，q是假命题，综上，p和g都是真命题.故 选B. 命题，即△=1-4(2a-1）<0,则a>放a≥1. 13.3a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 15.VneN*且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+ 14.{ala>4}HxeR,x2-4x+a≠0若命题p为假命题，则 p:/x∈R,x2-4x+a≠0为真命题，则△=(-4)2-4a< n)2根据已知等式可得，对于任意neN*且n≥2，总有13 0,解得a>4. +2+3+…+n3=(1+2+3+…+n)2,所以得到如下全 称量词命题：HneN且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2 15.命题“3meR,使得A∩B≠必”为假命题，则其否定“Vm∈ R,A∩B=O”为真命题 +3+…+n). 当a<0时，集合A={xl0≤x≤a}=☑， 16.(1)当m=0时，y=x-a与x轴恒有公共点，所以ae∈R 符合A∩B=☑，当a≥0时，因为m+3>0 (2)当m≠0时，二次函数y=mx2+x-m-a的图象和x轴 所以由Hm∈R,A∩B=⑦， 恒有公共点的充要条件是4=1+4m(m+a)≥0恒成立，即 得a<m2+3对于HmeR恒成立， 4m2+4am+1≥0恒成立. 当meR时，有m2+3≥3，所以a<3,则0≤a<3, 设y1=4m2+4am+1,则可转化为此关于m的二次函数的图 综上，实数a的取值范围为{ala<3. 象恒在m轴上方（或图象顶点在m轴上）的充要条件是△，= 16.命题p的否定为：“H1≤x≤2，使得x2+2ax+2-a≤0”， (4a)2-16≤0，可得-1≤a≤1. 设y=x+2ax+2-a,1≤x≤2 综上所述，当m=0时，aeR; 当m≠0时，ae{al-1≤a≤1}. 由题室，有化和38银特0-3 练案[9] 因为命题p为真命题，所以p的否定为假命题， 所以a>-3,即a的取值范围是a>-3. 1.C原命题是全称量同命题其否定是“3x∈R,Ix!+x<0” 2.B根据全称量词命题的否定是存在量词命题，∴.命题p:所 练案[10] 有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做1.C 第1题故选B. 3.C由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全 2A-N=+1=(+)+>0，故w> 称量词命题，再否定命题结论.故选C. 3.A易知M>0,N>0,因为M2-N2=(a+b)2-(a+b)2 4.ABD由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数， =2ab>0,所以M>N 是假命题.有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱 形，是假命题.Hx∈R,x2-2x>0的否定：3x∈R,x2-2x≤ 4.B考虑实际意义，知v≤120km/h,且d≥50m 5.ACD对于A,可得a≥300，故A正确；对于B可得500x+ 0,是真命题.3x∈R,2x+1为奇数的否定：Hx∈R,2x+1都 400y≤20000，化为5x+4y≤200，故B错误；M-N=x2+3- 不是奇数，是假命题. 5.ABD“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为 3x=(x-子）广+子>0，可得M>N,放C正确：因为x≠-2 全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 且y≠1，所以M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(1y 错误 -1)2>0,即M>-5,故D正确. 6.]a,b∈R,方程ax+b=2无解或至少有两解p:]a,b∈ 6.m3>m2-m+1.m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1= R,方程ax+b=2无解或至少有两解. m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1).又：m>1,故(m- .{mm≥4} 命题“3xe{ ≥-4}x+m<0”是假命 1 1)(m2+1)>0,.m3>m2-m+1. 7.2≤d≤2√3最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角 题，即命题的否定为真命题其否定为：“Vx∈{：≥-} 线长25.故2≤d≤25. x+m≥0”，解得m≥子 88(x+19)>22002>9(:>12)原来每天行驶xkm, 8.存在量词命题假HxeR,x2+2x+5≥0命题p:3x∈ 现在每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内它的行程就 R,x2+2x+5<0是存在量词命题.因为x2+2x+5=(x+1)2 超过2200km”,写成不等式为8(x+19)>2200.若现在每天 -364