考案(四)第四章 指数函数与对数函数-【成才之路•考案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

新数学必修·第一普U以 B.0 G.1 D.4 13.已知函数f代x)=e*-2x-5的零点位于区间(m,m+1)内，则整 数m的值为 材 习、究、练、测四位一体 考案（四） Z2023·新高考Ⅱ卷)若x)=(x+a)n2为偶函数，则a园 14.某地野生薇甘菊的面积与时间的函sm 第四章 指数函数与对数函数 数关系的图象如图所示，假设其关 (时间：120分钟满分：150分)》 系为指数函数，并给出下列说法： 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 A.-1 B.0 c D.1 ①此指数函数的底数为2： 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的】 8.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑，白、 ②在第5个月时，野生薇甘菊的面 1.若a<3,则化简2a-1的结果是 空三种情况，因此有3种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的 积就会超过30m: 0 (月) 著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同 ③设野生薇甘菊蔓延到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为41,42， A2a-1 B.-2a-1 的变化大约有“连书万字五十二“种，即100002，下列最接近 3,则有1+2=： C.√1-2a D.--2a 10000的是(g3=0.477) ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2 ( 2.函数y=√x-1·ln(2-x)的定义域为 到第4个月之间蔓延的平均速度. A.10-6 B.10-5 C.106 D.105 A.(1.2) B.[1.2) 其中正确的说法有 (请把正确说法的序号都填在横 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 C.(1,2] D.[1,2] 线上) 出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分， 3.设函数八x)=logx,若八a+1)<2,则实数a的取值范围为 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 部分选对的得部分分，有选错的得0分) 程或演算步骤) ( 9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+0)上单调递增的是 15.(本小题满分13分)计算： A(-1,3) B.(-,3) ( C.(-0,1) D.(-1.1) 区 4.已知函数f八x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+)上是增 Ax)= 图)+4x2-5 B.f八x)=5x4+2021x x 函数，令n=f1),b=2),c=(-23),则 C.fx）=e'-e D.f(x)=In(Ixl+1) (2)(lg5)2+lg2g5+2g4-bg4×1g3 A.b<a<e B.c<b<a 10.若f八x)=g(1x-21+1),则下列命题正确的是 Cb<c<a D.a<b<o Af(x+2)是偶函数 5.函数y=logx(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同- B.八x)在区间(-0,2)上是减函数，在(2，+)上是增函数 坐标系中的图象可能是 C(x)没有最大值 D.f(x)没有最小值 1.已知正实数x,y满足1gx+1gy<()广-（分，则下列结论 正确的是 B.x'<y C.In(y-x+1)>0 D2号 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分】 6.函数八x)与g(x)=d互为反函数，且g(x)过点(-2,4)，则f(1) +f(2)= ( 12函数y=()“的单调递增区间是 421 4224 流（本木请5分设函数）=-5a>0.且1)，者18（本小题清分17分）已知两数 19.(本小题满分17分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上 y=f(x)的图象过点(3,20). 课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间 (1)求a的值及y=f八x)的零点； (1)判断f八x)的奇偶性并证明： 1之间的关系满足如右图所示的曲线.当t∈(0,14]时，曲线是二 (2)求不等式八x)≥-2的解集 (2)当x∈(1，+)时，求函数f(x)的值域 次函数图象的一部分，当te(14,45]时，曲线是函数y=og(1-5) +83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指 数P大于80时听课效果最佳 (1)试求p=f(t)的函数关系式： (2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？ 请说明理由 1214457 17.(本小题满分15分)设函数f(x)=1o%(4x)·logz(2x)的定义域 为[44 (1)若1=logx,求1的取值范围： (2)求y=∫(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x 的值 423 424(2)因为关于x的不等式2？+红-是<0的解集为R,k≠0， :9.BD因为f(2x-1)=(2x-1)2+2(2-1)+1,故fx)=2+2x+1=(x+1》2,放选项 r-1<2<1, C错误，D正确：f(3)■16.f-3)■4故选项A错误，B正确.故选D 则1,1<1，解得0<1<宁 所以3<0.解得-3<<0.故生的取值意明为-3<0 10.ABD奇函数在对称的区间上单调性相同，放C错误，其余都正确. 24<1-t, 18.(门)由题意，可得年利润W关于年产量的函数关系式为平=x(x)-(口6x+400】 11.ABD 放实数1的取值范围为：0<1<行】 =(40.00）-(m+40 0,1山所以B正确：因为0-=6：公0.所以-)=().)为偶隔数。 19设1，是[一1，+)内的任意两个不相等的实数，且-1<，媒有 (）-f(）=(+2》-(+2红1)=(-)+2(-工)=(-)(+3+2). =7400_400600-160x-400 所以C不正确：因为D-D=6:0.所以D-)=D(.所以D正确做 ,-1≤x1<-1>0.x++2>0. .(2-1)(斯1+x2+2)>0.f（)>f(x) =73600-40000-160(x340. 选AD, 函数y=2+2在[-1，+0)内是增函数 (2)由(1)可得W=73600-4000-160 2(-,0)u(0.因为/=+个，所以20，解得e1且0放 餐设作在行合条件的区同a,1,期有8二：即低欢女 数的定义域为(-，0)U(0,1] ≤7360m-2,0000.160, 40=0o.()÷+-号）=（寸+ 解得g880808:士 =73600-16000=57600, 层)=号x2=(）2x号号(-)（片）-号+g4 -1s4<b1, =0 当且仅当000=160x,即=50时收等号，所以当年产址为50万部时，公同在该款手 函数y=2+2x在[-1，+)内是闭函数，符合条件的区间是[-1,0] 机的生产中获得最大利润为57600万元 14.号(0,1]蒂函数x)的图象经过点(9,3)，所以3=9少，所以a=之，所以幂函数 考案（四） 19.(1)证明：a+(y+为)a+y归=0. (a+1)(a+:》=0.得为▣-0或为2■-a )=,放(）-号放10解得0<x≤1 1.C“a<7.2a-1<0于是，原式=(1-2a=个-2a.故选C. (2)任明：当a>0时，二次函数的图像开口向上，因象上的点A或点B的纵坐标为-a,15.(1)由f(1)=2f代2)=-1，得m+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=3, 且-a<0.图象与x轴有两个交点： 故fx)■-3x+5(m+1)-3(m+1)+5■-3m+2 2B要使隔数有意义。期-18：解得1≤<2，所以所求函数的定文域为1,2)放 当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为-：，且-a>0。 (2)x)在R上是减函数 走B. 图象与x轴有两个交点 3A函数八x}=logx在定义域内单测递增，4)=吧4=2.不等式：+1)<2等 二次函数的图象必与轴有两个交点 则)-4j(-35)(-3+5)=3-3,33-6.因为x<. 价于0<：+1<4，解得-1 (3):+:+e>0的解集为xx>m或x<n(H<m<0) 所以f(,)-f名)<0.即f与)<尺￥：)， 4,A因为函数f八x)是定义在R上的偶函数，所以■八-2)■22').又因为y■2是 ,4>0且2+r+e■0的两根为m,4, 所以函数f(x)在R上单洞递减 R上的增函数.所以0<23<1<2，由于两数尺x)在区间[0，◆%)上是增函数.所以 m+n=- 16(1)由题意可设f八x)=红+b(t<0).由于ff八x)]=9x-2,则x+仙+b=9-2. a'm+n=-且e>0, 20 当。2-1开向上，不注点.且对 5.c (2)由(1)知，数y=-3x+1+x2-x=x-4x+1=(x-2)2-3. 。->0,可排除A,B港项：当0<a<1时，y=lg￥单调遂减，y=(a-1)2-2x-1 2-sa0即-名+片>0，即2+兰+>0(+）(+）0 故函数y=x2-4r+1的图象开口向上，对称轴为x=2, 开口向下，可排除D,故选C 当-1<a≤5时y的最大值是f(-1)=6. n<m<0-<- 当>5时.y的最大值是f八4)=a2-4+1 6.A由题意指数函数g()=a的图象过点(-2,4)，放可得4=a.解得a=7,放函数 不等式2-如+a>0的解集为>-或x<-} 棕上-{18. g)=(3）,故其反函数)=lg,放)+2)=g41+g42=0-1=-l 考案（三） )由题意，知当0≤≤8时=0.6c+024-):分+子+片 B方法一：要使两数心)有意义，必须满足经>0，解得<一宁或>分因为函数 1C要独函数有意义.则60，解得-1且0，放选C 当8<≤4时=06+a24---+2， )是锅函数.所以对任意xe（-0,-号）u(殳，+如）都有-)=)，即 2CA中的)=-1与g)= -1定义城不同：B中的f(x)=2x-1与g(x)=2x+ 即y= （-+o)h二=+o)h艺期(-ohc+oh对任意e 1对应关系不同：C中的/()=x2与g(x)=F定义域相同，且F=2.放是同一个雨 【0+2,8<≤14 (-x,-2)U(乞，+)恒成立，所以a=0放选B 数：D中的fx)=1与 3.C 说拔考得的需、在的区上都是婚函数，相不在整 (2)由(1)知当0≤≤8时，=-+子+片=六-4+8 方法二：因为R)=+ah为锅函数-D=a-h3)=a+h号 个定义域上为增所数：对干B,在[0，+∞)上单调递减：对于C.因为y=-3x2-6r= 所以当x=4时，y取得最大值.为3.6 =-(a+I)ln3,所以(a-1)ln3=-(a+1)ln3.解得g=0.放选B. 一3(x+1)尸+3，可求得减风间为[一1，+0)：对于D,增减性与4的取值有关，故选C 当8<x≤14时，=D+2.所以当工=14时，y取得最大值，为3.4 4C已知得”：解得。-1)1-在区间[小小止单调。 8.C所求数字过大，再根据题中g3的提示联想到先取对数，对于000有坚000 因为3.6>3.4，所以当x=4时，y取得最大值.为3.6. 36 故当精加工孩菜41时，总利润最大，为3.6万元 =361g3-52×4=-35.8,则000=10，分析选项中10与其最接近，选C 则g()m=g(）=-3,版选C 18.(1)证明：设V,e(-1,1),且<2 5.A因为函数f(x)为偶函数且在(-，0]上单词递增，f(-1)=2,所以函数f(x)在 9.D雨数x)=上是奇函数，放A不符合题意：x)=5x+2021x是偶函数，且易判 [0.+%)上单调递减f《1)=2.且f(2x+1)=f(12x+11).所以f(12x+11)<(1).所 圳gx)-)=+G 断fx)在风间(0+%)上单调递增，放B符合题意：-x)=e·-e=-(e一e)= 以2x+11>1.解得<-1或x>0.即x的取值范围是(-2 ,-1)U(0,+).放选A +1)-(+-1-5 -x),故尺x)=。-e为奇函致：对于D八x)=(1x1+I)为得函数，且在(0，+) (+1)(+1) (+1)(好+1) 单调递增，放D符合题意.故选BD 6由愿意可得（号）=f(1+号)=f(-号）=-（行）面(3）=f1-3】 0101-0 10 ABC 所以f(x +2) 24 =时（行）=-)放(3)=子放选c )为偶函数，放A正确：同时画出函数的图 (2+1)(2+1) 象，如图所：所以数在( 7.A由题意可知f(x)在(-安，0]上为增函数，又f(x)为偶函数，故f八x)在(0，+上 即gx)-g(2)<0,g五)<g() (2,+*)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，校 数g(x)在(-1,1)上单调递增. A.BC正确.故达ABG. 为减版数，由f0-2)>f(-3)可得-了<1-2x<3解得写<<子放迷人 (2)因为-2-)，期8)为奇函数 1.BC“正实数，y满足e+4y<(分）- 双B南条件可刻学≥1， 解得-3≤a≤-2 由g(-1）+g2)<0,得g(2)<g(1-) a<0. 又因为g(x)在(-1,1)上单测递增， (合）广-（宁）<r-(号）广易知到 -a-6≤a, 435 436 =g-(宁)广为单湖递增函数，放0<<y士>2<了，版人错误B正确 解得14<1<32.综上可得，12-22<1<32 12-1原式=-im30-0s60+0=-支-之=-1 故老师在(12-2巨，32)这一时间段内讲解核心内容，学生所课效果最佳 y-x>0,y-x+1>1,n(y-x+1)>0,放C正确：2-<2”=1，放D不一定正确.故 选C. 考案（五） 1849血(a…号）小ma之血ara后m(ag）m(a+停 2(-三0)6做=（侵）的院义设-+且y=(传）-（仔），LB由5安得6=安2RR所以1eaR=8m 号）-m(号）-×普4 因为=（号）广在(-，+）上是减函数，面y=l在(-，0)上是减两数，在(0.2A原式=m15”+m15”+m15m=15=1+之血0=子 14f)=2im(2x+石）7m根据数我)=An(ar+p)(4>0,w>0,pl<受）在 +)上是增函数，放)=（侵）“的单调递端区阔是(-，0。 .c由已知，m0=一手所求腺式可化为。=山。子 一个周期内的图象，可得A=20)=2si血p=1,即加中=之，又g<号.所以p= 13-2因为f代x)=e-2x-5为减函数.-2)=e2-1≥0-1)=e-3<0.所以 -5存在唯一的零点 -2,-1).所以 4.B把函数y=血x图象上每个点的借坐标缩短到原来的了（纵坐标保持不变），得到 怎再根累五点法可得w·晋+号=，得w=2,故函数)=2如(2+若）因为函 1=5时，S=32 y=加2x,沿y轴向上平移1个单位长度，得到y=m2红+1，周象沿x轴向右平移牙个 数众)=2m(2+看)在区间[0,3知]内与直线八)=m(其中1<m<2)有大个交 图象的变化快慢不同知④不正确，综上可郑①23正确 1四（贤）+42t-e(3)]门 +(22)t×2+-3 单位长度，得到函数y=2(-是)门小+1=咖(2x-受)+1.故选 点，它们分别关于=后-要=号对称则+场+场+场+场+2×晋+2× 玉C由0<a<号<B<,知5<a+B<经，且eoB-子m(a+B)=号得血Bm 装+2xg-7m (2)门+2+-3=(2)+2-3号-1分 2号om(a+刷=4gma=m(a+B)-=m(a+gmB-m(a+) 15(1)设点B坐标为(x,).则y=im0=号 2)(lg5)2+1g2g5+7g4-log4×lg3 因为点B在第二象限=四0一子，所以点B的坐标为（一子号） =g5(g5+g2)+g4-2班2xg3 mB=子放选C lg3“1g2 6.C由图象知，T=4(停+号）=4怎w宁又当号时=1 (2m0-文-÷ =lg5+1g2-2=1-2■-1， 16(1)根据题意，函数x)=m4-5的图象过点(3,20)，期有20=a2-5, m(分×号+e）=1,号+e=2=+受keZ,当=0时e=吾放选C m(m+e)+2m(号-0 46 9 ≠1，则=5fx)=5 5,若f)=5 -5=0. -i0+20.-5- 2m(T-8 -2aa8 (2)x)a-2即5-5a-2.变形可得5'15. 7.By=in(2x-号）-n2=im2w号-m2im号-6m2=-(m2os号+ 解得x≥lg15,甲不等式的解集为[og,15,+x 17.(1≤x≤4d-2≤lgx≤2-2≤1≤2 m2m号）=-加(2x+于），其增区间是函数y=m(2+号）的减试间.即2 16为a-血a号，所以1-2ma=所以2ama= 的取值苞出是[-22] 受≤2+号≤2m+要ka+哥≤km+侣当k=0时e[员引 义ae(,要），放血a+esa=-+2na:42 (2)y=x)=lg(4x）·(2x)=(2+logx)(1+lgx), 8C分别作出函数y=(仔)厂和y=m2 4 由(1)知t=logx,e[-2,2+ in 2at2ina+2sna)cos asin acm a(o a) 1-tan a ex a-sin a =u+2+)=++2=+2)广- 的图象，如右图所示由图可知，这两个函数 当1=一即g一身=时一 图象在[0，上共有5个不同的交点，所以 12 18()数 奇两数，证明如下： 函数)=（仔）广-2[0.的 零点个数为5， 1.()根据题意可知，4=2，子=是-（-)=4 因为对任意x后R,2”>0恒成立， 且--子-名号阳是将瑞敌 9.CD与角-终边相同的角是24m+ T=2红=，解得w=2. d （22.)可化为e0品-1+，品 (一号）ke2令=1，可得与角-号终边 f(号)=0n(是×2+p）=0,1e1c受 因为xe(1,+x),所以1>2，所以t+1>3. 相同的角是华，令=-山，可得与角一号终边相同的角是-号，放选CD p=-若j)=2m(2-晋)】 所以0<名<号所以-1<)<-分 2 10,ABD根据象限角的范偶，-誓为第二象限角，放A正确：因为胸数y=mx的最小正 (2)油f(a+受）=景可得，2m2a=是，e血2a=房 所以)的值或是(-1，-专） 周期是2红，所以函数f八x)=1ix1的最小正周期是可，放B正确：若ana=3,则 19.(1)由题意知，当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12， 温二：温二2，放C错误：者调心角为号的扇形的流长为，则该扇形的半 和为第三象限角之血+ma=-+2a:一√+活=-型 82),且曲线过点(14,81)， 18(1)散点图如右图所示 测可得)=-(-2)2+82te(0,141 径为6，所以响形的面积为5=子·雪·6=3，放D正确枚选ABD (2)由)用选择y=Am(+p)+6较合适。 令A>0,w>0,1el<r, 又当1e[14,45]时，曲线是函数y=g(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.且曲 1.D)=分im21受24：号m(2x-开）分当se(-景景)时：2z 由图知，4=04，b=1,T=12. 线过点(14,81) 期易得a=，测/=log卧t-5)+83,e[14,5] 导e(-受.0小，函数)为啦函数放A中说法正确：令2-晋=受+，乙，得 所以。停 则p=)={--12+2,e(0,41. 一要，号乙，显然直线x要是函数到调象的一条对称轴，放B中说法正确：函 把1=0r=1代人y=04m爱+P）+1,得p=0 0369215182124商 log4(t-5)+83.r∈(14.451. 故所求拟合模型的解析式为y=0.4m号+1(0≤ (2)由题意知，注意力指数单大于80时听课效果最佳。 数y一受m2:的图象向右平移号个单位得到函数y号m(:-受)川小号m(2 t24. 当1e(0,14]时，令R0=-子t-12)2+82>80,解得2-22<1≤14 -号)的图象，放C中说法错误(x)的最小正周期为号=，放D中说法正确，放 (3)油y=0.4如+10.8，得≥-7 当1e(14,45]时，令f0=g4(t-5)+83>80, 选ABn 4374 438