第五单元圆·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共24页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第五单元圆•单元复习篇【五大篇章】 》 问 题 导向篇 问题层级 快速自检☑图 目基础层 口1.圆和扇形的基本概念认识以及画圆作图。 口2.圆的周长基本计算。 口3.圆的面积基本计算。 @进阶层 口1.与圆的周长和面积有关实际应用问题。 口2.圆环的面积问题。 口3.外圆内方和外方内圆。 ⊙拓展层 ☐1.多种方法求含圆的阴影图形面积。 可哦的疑难问题 1. 2 第2页共24页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 田 维导图篇 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周 (1)含义 它的另一端就会出现一条封闭的曲线，这条曲线叫做圆 a.定好两脚间的距离 b把带有针尖的脚固定在一点上 (2)圆规画圆 1.认识 C把装有铅笔的脚旋转一周 a.圆心确定圆的位置 b.半径确定圆的大小 (3)各部分名称 c直径是半径的2倍（同一个圆） (4)设计图案 a.圆周率的意义：周长与直径的化值 一(1)周长公式推导 b.周长公式： a长方形面积与圆面积关系 b.面积公式 第五单元圆 2.圆的周长 (2)面积公式 a.半径不等的同心圆组成圆环 (3)圆环的面积 b.圆环面积 正方形面积圆的面积 (1)外方内圆 3.解决问题 圆的面积正方形的面积 (2)外圆内方 (1)画扇形 4扇形 (2)扇形弧长以及周长 (3)扇形面积 了知 识清单篇 【知识点一】圆的概念认识 1.圆的定义。 (1)一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条（ 的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 (2)早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这样描述道： ( ) 2.圆的各部分名称。 第3页共24页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 :圆心：用圆规画圆时，针尖所在的，点叫作圆心，一般用 :字母0表示 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，一 O d 般用字母d表示。. 半径：连接圆心和圆上任意二点的线段叫作半径，一般 用字母r表示。半径的长度就是圆规两脚之间的距离。 3.判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 4.等圆和同心圆。 (1)等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图1。 (2)同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图2。 1 cm 图1 图2 5.圆的特征。 (1)圆是( )图形，( )所在的直线是圆的对称轴。 (2)一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。 (3)在同一个圆内，直径的长度是半径的( )，半径的长度是直径的( 用字母表示为：d=2r或r=d÷2。 (4)( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 6.寻找圆心的方法。 (1)同一圆内，两条直径的交点是圆心。 (2)同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 7.画圆与图案设计。 (1)实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 (2)圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 第4页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 (3)画最圆。 ①在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长： ②在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 (4)用圆规和直尺画图的步骤和方法。 ①分析图案的特点： ②用圆规和直尺一步一步画图： ③擦掉多余的辅助线并涂上颜色。 【知识点二】圆的周长 1.圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2.圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点A,作为起点（终点）。将标记点A对准直尺的0刻度线， 滚动一周后标记点A所对的刻度就是圆形物体的周长。 nnunmummmnjinjimujimmmjijinji 4 5 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标记，再拉直绳子， 两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 3.圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母（π）表示，是一个在数学及物理学中普遍 存在的数学常数（约等于3.14），它是一个无限不循环小数，元=3.1415926535...，但在日常生 第5页共24页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 活中，通常都用(3.14)代表圆周率去进行近似计算。 4.古代数学文化。 (1)刘徽（三国时期，约公元250年），首创“割圆术”，通过圆内接正多边形逼近圆周， 首次给出π的科学算法。 (2)( )（南北朝，429-500年)，将π值精确至小数点后第七位(3.1415926-3.1415927) (3)阿基米德（古希腊，公元前287-212年)，最早系统计算π值，采用内外切正多边形双逼 近法。 (4)阿尔·卡西（波斯，1380-1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π算至小数点后第 16位。 (5)《周髀算经》（西汉，约公元前1世纪），首次记载“周三径一”(3)的圆周率近似 值，奠定中国古代几何学基础。 (A') A nimminmnnnmmjimijrAm 0 3 4 5 6 5.圆的周长计算公式。 (1)圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用1表示 圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是( )。 (2)根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 ①已知圆的周长，反求圆的半径：1=C=π÷2。 ②已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 6.半圆的周长和圆周长的一半。 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C 号d+d或Cur+2 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的一半=圆的周长 ÷2=0。 【知识点三】圆的面积 1.圆的面积的意义。 第6页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2.圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于( ),用字母表示， 宽相当于( ),用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积S=2。 长方形的宽近 宽 似于圆的半径 长方形 长 长方形的长近似于圆的周长的一半 3.两种数学思想。 (I)把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式，体现 了( )的思想。 (2)将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了极限思想。 4.古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积的方法：“周径相 乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。 5.圆的面积计算公式。 圆的面积( )。 6.半圆的面积计算公式。 半圆的面积：S半圆π2÷2。 7.周长相等时，面积大小的比较。 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，( )的面积最大。 8.半径、直径和周长、面积的三种关系。 (1)倍数关系。 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数 的( )倍。 （2)比例关系。 两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方：圆周长和直径的比是π：1， 比值是π；圆周长和半径的比是2：1，比值是2π。 (3)增减变化关系。 第7页共24页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ①周长的变化。 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米： 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 ②面积的变化。 算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。 【知识点四】9圆环的认识和面积。 1.认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2.圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3.圆环各部分的名称。 内圆：圆环中较小的圆。 外圆：圆环中较大的圆。 :内圆半径 环宽：两个圆之间的宽度。环宽 外圆半径-内圆半径，即R-T。 外圆半径 4.圆环的面积计算公式。 S园环=( 5.古代数学文化。 我国古代数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的方法：“并中外周 而半之，以径乘之为积步。”意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘环的宽度可以得到圆环的 面积。 【知识点五】外方内圆（方中圆）和外圆内方（圆中方） 1.外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2.外方内圆的解题方法。 正方形的边长a=圆的直径d,圆的面积与正方形面积比为元：4，若圆的半径为r,则方圆之间 的面积为0.86r2。 第8页共24页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 3.外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 4.外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两个底是圆的直径、 高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面积比为元：2，若圆的半径为，则方 圆之间的面积为1.14r2。 【知识点六】扇形 1.认识弧、扇形、圆心角。 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”,一条弧和经过这条弧两端的两条半径所 围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越 大。 3.扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 圆上任意两点之间的部分叫做弧 读作“弧AB” 半径 写作“AB” 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 4.两种特殊的扇形。 类别 示意图 观察 圆心角的度数 以半圆为弧的 以半圆为 圆心角∠AOB是一个 弧的扇形 平角。 扇形对应的圆 心角是180°。 以好圆为弧 圆心角∠AOB是 以}圆为孤的 扇形对应的圆 的扇形 个直角。 心角是90°。 5.扇形的弧长。 第9页共24页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 扇形弧长=n ×2r(其中n表示圆心角的度数)。 00 6.扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 7.扇形的面积。 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面 积的几分之几。 扇形面积( 8.扇环的面积。 扇环面积=大扇形的面积一小扇形的面积。 9.画扇形。 (1)先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径： (2)以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另一条边与圆相 交于一点： (3)擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 考点预测篇 第一部分 基础层命题 吕【预测考点01】圆的概念和特征★ 1.车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距 离都( )。生活中的圆还有( )和( )等。 肥【对应练习】 1.圆内所有的线段中，( )最长，有( )条。 2.( )确定圆的中心位置，( )决定圆的大小。 吕【预测考点02】扇形的概念和特征★ 如图所示，图上A,B两点之间的部分叫作( ),读作( ),像∠AOB这样顶点 在圆心的角叫作( ),由弧AB和经过这条弧两端的两条( )所围成的图形叫作 第10页共24页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共45页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第五单元圆•单元复习篇【五大篇章】 》 问 题 导向篇 问题层级 快速自检☑图 目基础层 口1.圆和扇形的基本概念认识以及画圆作图。 口2.圆的周长基本计算。 口3.圆的面积基本计算。 @进阶层 口1.与圆的周长和面积有关实际应用问题。 口2.圆环的面积问题。 口3.外圆内方和外方内圆。 ⊙拓展层 ☐1.多种方法求含圆的阴影图形面积。 可哦的疑难问题 1. 2 第2页共45页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 田 维导图篇 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周 (1)含义 它的另一端就会出现一条封闭的曲线，这条曲线叫做圆 a.定好两脚间的距离 b把带有针尖的脚固定在一点上 (2)圆规画圆 1.认识 C把装有铅笔的脚旋转一周 a.圆心确定圆的位置 b.半径确定圆的大小 (3)各部分名称 c直径是半径的2倍（同一个圆） (4)设计图案 a.圆周率的意义：周长与直径的化值 一(1)周长公式推导 b.周长公式： a长方形面积与圆面积关系 b.面积公式 第五单元圆 2.圆的周长 (2)面积公式 a.半径不等的同心圆组成圆环 (3)圆环的面积 b.圆环面积 正方形面积圆的面积 (1)外方内圆 3.解决问题 圆的面积正方形的面积 (2)外圆内方 (1)画扇形 4扇形 (2)扇形弧长以及周长 (3)扇形面积 了知 识清单篇 【知识点一】圆的概念认识 1.圆的定义。 (1)一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条（封闭)的曲 线，这条封闭的曲线叫做圆。 (2)早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这样描述道： (“圆，一中同长也。) 2.圆的各部分名称。 第3页共45页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 :圆心：用圆规画圆时，针尖所在的，点叫作圆心，一般用 :字母0表示。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，一 O d 般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意二点的线段叫作半径，一般 用字母表示。半径的长度就是圆规两脚之间的距离。 3.判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 4.等圆和同心圆。 (1)等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图1。 (2)同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图2。 1 cm cn 图1 图2 5.圆的特征。 (1)圆是（轴对称）图形，（直径）所在的直线是圆的对称轴。 (2)一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。 (3)在同一个圆内，直径的长度是半径的(2倍)，半径的长度是直径的（一半），用字母 表示为：d=2r或r=d÷2。 (4)(圆心)决定圆的位置，（半径)决定圆的大小。 6.寻找圆心的方法。 (1)同一圆内，两条直径的交点是圆心。 (2)同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 7.画圆与图案设计。 (1)实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 (2)圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 第4页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 (3)画最圆。 ①在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长： ②在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 (4)用圆规和直尺画图的步骤和方法。 ①分析图案的特点： ②用圆规和直尺一步一步画图： ③擦掉多余的辅助线并涂上颜色。 【知识点二】圆的周长 1.圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2.圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点A,作为起点（终点）。将标记点A对准直尺的0刻度线， 滚动一周后标记点A所对的刻度就是圆形物体的周长。 nnunmummmnjinjimujimmmjijinji 4 5 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标记，再拉直绳子， 两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 3.圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母（π）表示，是一个在数学及物理学中普遍 存在的数学常数（约等于3.14），它是一个无限不循环小数，元=3.1415926535...，但在日常生 第5页共45页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 活中，通常都用(3.14)代表圆周率去进行近似计算。 4.古代数学文化。 (1)刘徽（三国时期，约公元250年），首创“割圆术”，通过圆内接正多边形逼近圆周， 首次给出π的科学算法 (2)(祖冲之)（南北朝，429-500年），将π值精确至小数点后第七位(3.1415926-3.1415927) (3)阿基米德（古希腊，公元前287-212年），最早系统计算π值，采用内外切正多边形双逼 近法。 (4)阿尔·卡西（波斯，1380-1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π算至小数点后第 16位。 (5)《周髀算经》（西汉，约公元前1世纪），首次记载“周三径一”(3)的圆周率近似 值，奠定中国古代几何学基础。 (A') A nimminmnnnmmjimijrAm 0 3 4 5 6 5.圆的周长计算公式。 (1)圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用1表示 圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是(C=πd或C=2m)。 (2)根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 ①已知圆的周长，反求圆的半径：1=C=π÷2。 ②已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 6.半圆的周长和圆周长的一半。 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C 号d+d或Ca+2 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的一半=圆的周长 ÷2=0。 【知识点三】圆的面积 1.圆的面积的意义。 第6页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2.圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于（圆周长的一半），用字母 表示，宽相当于（圆的半径），用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积S=2。 长方形的宽近 宽 似于圆的半径 长方形 长 长方形的长近似于圆的周长的一半 3.两种数学思想。 (I)把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式，体现 了（转化）的思想。 (2)将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了极限思想。 4.古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积的方法：“周径相 乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。 5.圆的面积计算公式。 圆的面积（S=m)。 6.半圆的面积计算公式。 半圆的面积：S半圆π2÷2。 7.周长相等时，面积大小的比较。 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，（圆）的面积最大。 8.半径、直径和周长、面积的三种关系。 (1)倍数关系。 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数 的（平方）倍。 (2)比例关系。 两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方：圆周长和直径的比是π：1， 比值是π；圆周长和半径的比是2：1，比值是2π。 (3)增减变化关系。 第7页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ①周长的变化。 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米： 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 ②面积的变化。 算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。 【知识点四】9圆环的认识和面积。 1.认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2.圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3.圆环各部分的名称。 内圆圆环中较小的圆。 外圆：圆环中较大的圆。 :内圆半径 环宽：两个圆之间的宽度。环宽 外圆半径-内圆半径，即R-T。 外圆半径 4.圆环的面积计算公式。 S圆环=（πR2一πI-=π(R一1）) 5.古代数学文化。 我国古代数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的方法：“并中外周 而半之，以径乘之为积步。”意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘环的宽度可以得到圆环的 面积。 【知识点五】外方内圆（方中圆）和外圆内方（圆中方） 1.外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2.外方内圆的解题方法。 正方形的边长a=圆的直径d,圆的面积与正方形面积比为元：4，若圆的半径为r,则方圆之间 的面积为0.86r2。 第8页共45页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 3.外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 4.外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两个底是圆的直径、 高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面积比为元：2，若圆的半径为，则方 圆之间的面积为1.14r2。 【知识点六】扇形 1.认识弧、扇形、圆心角。 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”,一条弧和经过这条弧两端的两条半径所 围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越 大。 3.扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 圆上任意两点之间的部分叫做弧 读作“弧AB” 半径 写作“AB” 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 4.两种特殊的扇形。 类别 示意图 观察 圆心角的度数 以半圆为弧的 以半圆为 圆心角∠AOB是一个 弧的扇形 平角。 扇形对应的圆 心角是180°。 以好圆为弧 圆心角∠AOB是 以}圆为孤的 扇形对应的圆 的扇形 个直角。 心角是90°。 5.扇形的弧长。 第9页共45页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 扇形孤长=n 00 ×2r(其中n表示圆心角的度数)。 6.扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 7.扇形的面积。 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面 积的几分之几。 扇形面积(S n° ×Πr2(其中n表示圆心角的度数))。 360° 8.扇环的面积。 扇环面积=大扇形的面积一小扇形的面积。 9.画扇形。 (1)先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径： (2)以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另一条边与圆相 交于一点： (3)擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 考点预测篇 第一部分 基础层命题 吕【预测考点01】圆的概念和特征★ 1.车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距 离都( )。生活中的圆还有( )和( )等。 【答案】 相等 井盖 足球 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数 条半径，同一个圆内所有的半径都相等。把车轴安装在车轮的圆心处，车开起来更平稳，是利 用了同一个圆的半径都相等的特性。再列举出生活中的圆。 【详解】车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点 的距离都（相等）。生活中的圆还有（井盖）和（足球）等。（举例不唯一） 第10页共45页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第五单元圆·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.圆和扇形的基本概念认识以及画圆作图。 £2.圆的周长基本计算。 £3.圆的面积基本计算。 进阶层 £1.与圆的周长和面积有关实际应用问题。 £2.圆环的面积问题。 £3.外圆内方和外方内圆。 拓展层 £1.多种方法求含圆的阴影图形面积。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】圆的概念认识 1. 圆的定义。 （1）一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条（ ）的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 （2）早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这样描述道：（ ） 2. 圆的各部分名称。 3. 判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 4. 等圆和同心圆。 （1）等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图1。 （2）同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图2。 5. 圆的特征。 （1）圆是（ ）图形，（ ）所在的直线是圆的对称轴。 （2）一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。 （3）在同一个圆内，直径的长度是半径的（ ），半径的长度是直径的（ ），用字母表示为：d＝2r或r＝d÷2。 （4）（ ）决定圆的位置，（ ）决定圆的大小。 6. 寻找圆心的方法。 （1）同一圆内，两条直径的交点是圆心。 （2）同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 7. 画圆与图案设计。 （1）实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 （2）圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 （3）画最圆。 ①在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； ②在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 （4）用圆规和直尺画图的步骤和方法。 ①分析图案的特点； ②用圆规和直尺一步一步画图； ③擦掉多余的辅助线并涂上颜色。 【知识点二】圆的周长 1. 圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2. 圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点A，作为起点(终点)。将标记点A对准直尺的0刻度线，滚动一周后标记点A所对的刻度就是圆形物体的周长。 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标记，再拉直绳子，两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 3. 圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母（π）表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数(约等于3.14)，它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……，但在日常生活中，通常都用（3.14）代表圆周率去进行近似计算。 4. 古代数学文化。 （1）刘徽（三国时期，约公元250年），首创 “割圆术” ，通过圆内接正多边形逼近圆周，首次给出π的科学算法。 （2）（ ）（南北朝，429–500年），将π值精确至小数点后第七位（3.1415926–3.1415927） （3）阿基米德（古希腊，公元前287–212年），最早系统计算π值，采用内外切正多边形双逼近法。 （4）阿尔·卡西（波斯，1380–1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π算至小数点后第16位。 （5）《周髀算经》（西汉，约公元前1世纪），首次记载“周三径一”（π≈3）的圆周率近似值，奠定中国古代几何学基础。 5. 圆的周长计算公式。 （1）圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是（ ）。 （2）根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 ①已知圆的周长，反求圆的半径：r=C÷π÷2。 ②已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 6. 半圆的周长和圆周长的一半。 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的一半=圆的周长÷2=πr。 【知识点三】圆的面积 1. 圆的面积的意义。 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2. 圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于（ ），用字母πr表示，宽相当于（ ），用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积S=πr2。 3. 两种数学思想。 （1）把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式，体现了（ ）的思想。 （2）将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了极限思想。 4. 古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。 5. 圆的面积计算公式。 圆的面积（ ）。 6. 半圆的面积计算公式。 半圆的面积：S半圆=πr2÷2。 7. 周长相等时，面积大小的比较。 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，（ ）的面积最大。 8. 半径、直径和周长、面积的三种关系。 （1）倍数关系。 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的（ ）倍。 （2）比例关系。 两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方；圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。 （3）增减变化关系。 ①周长的变化。 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 ②面积的变化。 算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。 【知识点四】9圆环的认识和面积。 1. 认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2. 圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3. 圆环各部分的名称。 4. 圆环的面积计算公式。 S圆环=（ ） 5. 古代数学文化。 我国古代数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘环的宽度可以得到圆环的面积。 【知识点五】外方内圆（方中圆）和外圆内方（圆中方） 1. 外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2. 外方内圆的解题方法。 正方形的边长a=圆的直径d，圆的面积与正方形面积比为π:4，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为0.86r²。 3. 外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 4. 外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面积比为π:2，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为1.14r²。 【知识点六】扇形 1. 认识弧、扇形、圆心角。 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。 3. 扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 4. 两种特殊的扇形。 5. 扇形的弧长。 扇形弧长=（其中n表示圆心角的度数）。 6. 扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 7. 扇形的面积。 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面积的几分之几。 扇形面积（ ）。 8. 扇环的面积。 扇环面积=大扇形的面积－小扇形的面积。 9. 画扇形。 （1）先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径； （2）以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另一条边与圆相交于一点； （3）擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 【预测考点01】圆的概念和特征 1．车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距离都( )。生活中的圆还有( )和( )等。 【对应练习】 1．圆内所有的线段中，( )最长，有( )条。 2．( )确定圆的中心位置，( )决定圆的大小。 【预测考点02】扇形的概念和特征 如图所示，图上A，B两点之间的部分叫作( )，读作( )，像∠AOB这样顶点在圆心的角叫作( )，由弧AB和经过这条弧两端的两条( )所围成的图形叫作扇形。 【对应练习】 1．半圆也是( )形，它的圆心角是( )度。 2．一个扇形的圆心角是45°，扇形的面积占所在圆面积的( )；圆心角是( )的扇形正好是个半圆。 【预测考点03】半径和直径的关系 如图，长方形的周长是40cm，图中每个圆的直径是( )cm。 【对应练习】 1．在同一个圆内可以画( )条直径；如果用圆规画一个直径是14厘米的圆，圆规的两脚尖间的距离应该是( )厘米。 2．看图填空。（图中单位：厘米） (1)圆的半径是( )厘米。 (2)长方形的宽是( )厘米。 (3)长方形的长是( )厘米。 (4)长方形的面积是( )平方厘米。 【预测考点04】画圆和画扇形 1．用圆规和尺子在下面的长方形中画一个最大的半圆，并画出这个组合图形的对称轴。 2．先画一个半径是3cm的圆，再在圆中画一个圆心角是145°的扇形。 【对应练习】 1．请画一个半径为2厘米的圆，并在圆内画一个最大的正方形。（保留作图痕迹） 2．画一个半径1.5cm的圆，再在圆中画一个圆心角是90°的扇形，并把扇形涂上颜色或线条。 【预测考点05】圆的周长计算 如下图，在长方形里有两个大小不同的圆，大圆的直径是( )cm，小圆的周长是( )cm。 【对应练习】 1．一捆铁丝500圈，每圈直径40厘米。这捆铁丝长( )米。 2．披萨店老板制作了一个周长为125.6cm的圆形披萨，若将披萨按如图方式均分为4份，则披萨的周长增加了( )cm。 【预测考点06】圆的面积计算 一个圆形花坛的直径是10米，它的半径是( )米，周长是( )米，占地面积是( )平方米。 【对应练习】 1．广场的圆形花园的周长是314m，它的面积是( )m2。 2．把一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形，已知长方形的长比宽多8.56cm，这个圆的面积是( )cm2。 【预测考点01】圆的周长与生活实际问题 10月30日11时，神舟十九号载人飞船与空间站天和核心舱前向端口成功对接，整个对接过程历时约小时。欢欢家的钟表分针长5厘米，神舟十九号载人飞船与空间站天和核心舱前向端口从开始对接到对接成功，钟表上分针针尖走过的路程约是多少厘米？ 【对应练习】 1．一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 2．小明家离学校有1256米，他每天骑自行车回家，自行车的轮胎直径是50厘米，如果自行车每分转80圈，小明多长时间可以到家？ 【预测考点02】圆的面积与生活实际问题 为美化校园，学校计划在一块长20米、宽18米的长方形空地上建一个半圆形水池（水池面积尽可能大），并在剩余区域种植草坪。 （1）这个半圆形水池的面积是多少平方米？ （2）种植草坪的面积是多少平方米？ 【对应练习】 1．张明和李芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张明每分钟走85米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 2．有一个圆形的草坪，它的周长是6280厘米，它的占地面积是多少？如果每平方米草坪的价格是8元，铺满这个草坪需要多少钱？ 【预测考点03】圆环的面积问题 一个儿童游乐场是圆形的，它的周长是628米，现将这个游乐场进行扩建，扩建后的半径增加了4米。这个游乐场的面积增加了多少平方米？ 【对应练习】 1．济宁博物馆的藏品之龙纹玉璜，其平面形状似半圆环，外圆直径约10厘米，环宽约2厘米，这个龙纹玉璜的面积约是多少平方厘米？（两个小圆孔的面积忽略不计）（如图） 2．一个占地为圆形的花坛，直径是2米，扩建后直径为4米，如图。花坛的面积增加了多少平方米？ 【预测考点04】外圆内方与外方内圆 春节帖“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是多少？ 【对应练习】 1．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 2．中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 【预测考点04】扇形的面积 三角形的三个顶点刚好在三个圆的圆心处，其半径都是3厘米。小智同学认为：三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。请你尝试说明其中的理由。 【对应练习】 1．如图，等边三角形中空白部分是三个相同的扇形，三角形的边长是8厘米。 （1）求图中空白部分的面积。 （2）求图中阴影部分图形的周长。 2．求如图图形中阴影部分的面积，π≈3.14。（单位：厘米） 【预测考点】多种方法求含圆的阴影图形的周长和面积 1．计算出下面图形涂色部分的面积。 2．如图，已知圆的周长是31.4米，求阴影部分的面积。（单位：米） 3．图中长方形ABCD，长8cm，宽4cm，巧求阴影部分面积。（π取3.14） 4．求图形中阴影部分的面积（单位：厘米）          【对应练习】 1．已知图中正方形的面积是20平方厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？ 2．图中阴影部分的周长和面积分别是多少？算一算。 3．求下面图形中涂色部分的面积（结果用含π的式子表示）。（单位：厘米） （1）     （2） 4．计算下列图中阴影部分的面积。（单位：cm） 一、填空题。 1．（2024·河北承德·小升初真题）将一个圆形纸片至少对折( )次，才能找到它的圆心。 2．（2024·山西长治·期末）圆的位置是由( )决定的。 3．（2024·甘肃临夏·期末）如图所示，我们探究圆的面积时将圆形转化为近似的长方形。若图中长方形的周长比圆的周长多4厘米，则圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 4．（2023·河北石家庄·小升初真题）用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚之间的距离是( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 5．（2024·江西南昌·期末）一张长5厘米，宽2厘米的长方形纸上剪出一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 6．（2024·重庆渝中·期末）一个羊圈依墙而建，呈半圆形（如图所示），半径4m。修这个羊圈需要栅栏( )m，这个羊圈的面积是( )m2。 二、选择题。 7．（2024·全国·课后作业）在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不一样的说法，下面( )种说法是描述圆心到圆上的距离一样长。 A．圆，一中同长也 B．圆出于方，方出于矩 C．圆，径一而周三 D．没有规矩，不成方圆 8．（2024·北京房山·期末）下列图形中，对称轴条数最多的是( )。 A． B． C． D． 9．（2024·河南洛阳·期末）同一个圆中，扇形的大小与( )有关。 A．半径的大小 B．圆心角的大小 C．圆心的位置 D．直径的大小 10．（2024·江西吉安·期末）“画曲为直”，是我们推导圆面积过程时所用的方法。以下( )图，不能推导出圆的面积公式。 A． B． C． D． 11．（2024·海南海口·期末）一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的面积就扩大到原来的( )。 A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍 12．（2024·云南昭通·期末）下图中两个阴影部分的周长和面积大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长相等，面积不相等 三、计算题。 13．（2024·湖南长沙·期末）求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 14．（2024·河南南阳·期末）求出下图阴影部分的面积。 15．（2024·浙江温州·期末）根据下图中的信息，求涂色部分的面积。（单位：cm） 16．（2024·湖北黄冈·期末）求下图中阴影部分的面积。 四、作图题。 17．（2024·河南洛阳·期末）如图所示，大圆半径2厘米，小圆半径1厘米。小圆从点出发，顺时针绕着大圆滚动一周，回到点。 （1）请把小圆圆心的运动轨迹在图中画出来。 （2）小圆的圆心运动了( )厘米。 （3）请画出这个图形的对称轴。 五、解答题。 18．（2024·湖南邵阳·期末）小方骑自行车到学校用10分钟，( )，从小方家到学校大约有多少米？（先选择合适的条件，再解答） ①小方步行速度70米/分        ②车轮外直径0.7米 ③小方已行6分钟            ④车轮转速100圈/分 我选择的条件是( )和( )。（填序号） 我的解答： 19．（2024·重庆渝北·期末）国家大力发展中医药事业，李大爷在周长为360米的长方形地里开辟出一块半圆形土地（如图），用来栽中草药。栽中草药的土地的面积是多少平方米？ 20．（2024·内蒙古赤峰·期末）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 21．（2024·湖南怀化·期末）为提升城市品质，打造宜居环境，某市政府用一块面积约为3公顷的地建造了一个公园，并在公园中心挖了一个直径为100米的圆形人工湖。 （1）为了保证安全，要在人工湖的外围安装防护栏，至少需要安装多长的防护栏？ （2）若沿湖边铺设一条宽为2米的圆环形鹅卵石小路，每平方米小路大约需要鹅卵石50千克，铺设这条小路大约需要多少千克鹅卵石？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第五单元圆·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.圆和扇形的基本概念认识以及画圆作图。 £2.圆的周长基本计算。 £3.圆的面积基本计算。 进阶层 £1.与圆的周长和面积有关实际应用问题。 £2.圆环的面积问题。 £3.外圆内方和外方内圆。 拓展层 £1.多种方法求含圆的阴影图形面积。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】圆的概念认识 1. 圆的定义。 （1）一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条（封闭）的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 （2）早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这样描述道：（“圆，一中同长也。”） 2. 圆的各部分名称。 3. 判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 4. 等圆和同心圆。 （1）等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图1。 （2）同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图2。 5. 圆的特征。 （1）圆是（轴对称）图形，（直径）所在的直线是圆的对称轴。 （2）一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。 （3）在同一个圆内，直径的长度是半径的（2倍），半径的长度是直径的（一半），用字母表示为：d＝2r或r＝d÷2。 （4）（圆心）决定圆的位置，（半径）决定圆的大小。 6. 寻找圆心的方法。 （1）同一圆内，两条直径的交点是圆心。 （2）同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 7. 画圆与图案设计。 （1）实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 （2）圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 （3）画最圆。 ①在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； ②在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 （4）用圆规和直尺画图的步骤和方法。 ①分析图案的特点； ②用圆规和直尺一步一步画图； ③擦掉多余的辅助线并涂上颜色。 【知识点二】圆的周长 1. 圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2. 圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点A，作为起点(终点)。将标记点A对准直尺的0刻度线，滚动一周后标记点A所对的刻度就是圆形物体的周长。 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标记，再拉直绳子，两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 3. 圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母（π）表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数(约等于3.14)，它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……，但在日常生活中，通常都用（3.14）代表圆周率去进行近似计算。 4. 古代数学文化。 （1）刘徽（三国时期，约公元250年），首创 “割圆术” ，通过圆内接正多边形逼近圆周，首次给出π的科学算法。 （2）（祖冲之）（南北朝，429–500年），将π值精确至小数点后第七位（3.1415926–3.1415927） （3）阿基米德（古希腊，公元前287–212年），最早系统计算π值，采用内外切正多边形双逼近法。 （4）阿尔·卡西（波斯，1380–1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π算至小数点后第16位。 （5）《周髀算经》（西汉，约公元前1世纪），首次记载“周三径一”（π≈3）的圆周率近似值，奠定中国古代几何学基础。 5. 圆的周长计算公式。 （1）圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是（C=πd或C=2πr）。 （2）根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 ①已知圆的周长，反求圆的半径：r=C÷π÷2。 ②已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 6. 半圆的周长和圆周长的一半。 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的一半=圆的周长÷2=πr。 【知识点三】圆的面积 1. 圆的面积的意义。 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2. 圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于（圆周长的一半），用字母πr表示，宽相当于（圆的半径），用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积S=πr2。 3. 两种数学思想。 （1）把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式，体现了（转化）的思想。 （2）将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了极限思想。 4. 古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。 5. 圆的面积计算公式。 圆的面积（S=πr2）。 6. 半圆的面积计算公式。 半圆的面积：S半圆=πr2÷2。 7. 周长相等时，面积大小的比较。 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，（圆）的面积最大。 8. 半径、直径和周长、面积的三种关系。 （1）倍数关系。 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的（平方）倍。 （2）比例关系。 两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方；圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。 （3）增减变化关系。 ①周长的变化。 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 ②面积的变化。 算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。 【知识点四】9圆环的认识和面积。 1. 认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2. 圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3. 圆环各部分的名称。 4. 圆环的面积计算公式。 S圆环=（πR²－πr²=π(R²－r²)） 5. 古代数学文化。 我国古代数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘环的宽度可以得到圆环的面积。 【知识点五】外方内圆（方中圆）和外圆内方（圆中方） 1. 外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2. 外方内圆的解题方法。 正方形的边长a=圆的直径d，圆的面积与正方形面积比为π:4，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为0.86r²。 3. 外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 4. 外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面积比为π:2，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为1.14r²。 【知识点六】扇形 1. 认识弧、扇形、圆心角。 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。 3. 扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 4. 两种特殊的扇形。 5. 扇形的弧长。 扇形弧长=（其中n表示圆心角的度数）。 6. 扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 7. 扇形的面积。 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面积的几分之几。 扇形面积（S扇形=（其中n表示圆心角的度数））。 8. 扇环的面积。 扇环面积=大扇形的面积－小扇形的面积。 9. 画扇形。 （1）先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径； （2）以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另一条边与圆相交于一点； （3）擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 【预测考点01】圆的概念和特征 1．车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距离都( )。生活中的圆还有( )和( )等。 【答案】 相等 井盖 足球 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数条半径，同一个圆内所有的半径都相等。把车轴安装在车轮的圆心处，车开起来更平稳，是利用了同一个圆的半径都相等的特性。再列举出生活中的圆。 【详解】车轮做成圆形，车轴安在圆心上，车行驶起来才平稳，这是因为圆心到圆上任意一点的距离都（相等）。生活中的圆还有（井盖）和（足球）等。（举例不唯一） 2．圆有( )条对称轴，将一张圆形纸片至少对折( )次可以得到圆心。 【答案】 无数 两/2/二 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆是平面上的一种轴对称图形，圆的所有直径都相交于圆心，即圆中心的那个点。据此解答。 【详解】根据分析得到圆有无数条对称轴，沿着圆纸片的直径至少对折两次能得到圆心。 【对应练习】 1．圆内所有的线段中，( )最长，有( )条。 【答案】 直径 无数 【分析】根据直径的含义：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，叫做直径，直径有无数条；可知：在同一圆中的所有线段，直径最长，有无数条；据此判断即可。 【详解】圆内所有的线段中，直径最长，有无数条。 2．( )确定圆的中心位置，( )决定圆的大小。 【答案】 圆心 半径 【详解】如图： 圆心确定圆的中心位置，半径决定圆的大小。 【预测考点02】扇形的概念和特征 如图所示，图上A，B两点之间的部分叫作( )，读作( )，像∠AOB这样顶点在圆心的角叫作( )，由弧AB和经过这条弧两端的两条( )所围成的图形叫作扇形。 【答案】 弧 弧AB 圆心角 半径 【分析】圆上任意两点之间的部分叫弧，加上两点上的字母读弧××。顶点在圆心的角叫做圆心角。由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。据此填空。 【详解】图上A，B两点之间的部分叫作弧，读作弧AB，像∠AOB这样顶点在圆心的角叫作圆心角，由弧AB和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 【对应练习】 1．半圆也是( )形，它的圆心角是( )度。 【答案】 扇 180 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心上，且角的两边是圆的半径，这样的角叫做圆心角。圆心角是360度，而半圆的圆心角是180度。 【详解】 如图： 半圆也是扇形，它的圆心角是180度。 2．一个扇形的圆心角是45°，扇形的面积占所在圆面积的( )；圆心角是( )的扇形正好是个半圆。 【答案】 180° 【分析】一个圆的圆心角是360°，圆的半径和扇形的半径相等，只要求出扇形的圆心角是360°的几分之几，则扇形的面积就是所在圆面积的几分之几；扇形正好是个半圆，说明其面积是所在圆面积的，所以其圆心角就是360°的。 【详解】＝，则扇形的面积占所在圆面积的； 360°×＝180°，则扇形正好是个半圆的圆心角是180°。 所以，一个扇形的圆心角是45°，扇形的面积占所在圆面积的；圆心角是180°的扇形正好是个半圆。 【预测考点03】半径和直径的关系 如图，长方形的周长是40cm，图中每个圆的直径是( )cm。 【答案】5 【分析】看图可知，长方形的长＝圆的直径×3，长方形的宽＝圆的直径，长方形的周长＝（长＋宽）×2，因此长方形的周长包含（3＋1）×2条直径，长方形的周长÷直径的数量＝圆的直径。 【详解】40÷[（3＋1）×2] ＝40÷[4×2] ＝40÷8 ＝5（cm） 每个圆的直径是5cm。 【对应练习】 1．在同一个圆内可以画( )条直径；如果用圆规画一个直径是14厘米的圆，圆规的两脚尖间的距离应该是( )厘米。 【答案】 无数 7 【分析】过圆心，并且两端都在圆上的线段，叫做直径，在圆中这样的线段有无数条，所以同一个圆内可以画无数条直径；用圆规画圆，圆规的两脚尖间的距离是圆的半径，所以用直径除以2就是圆规的两脚尖间的距离。 【详解】在同一个圆内可以画无数条直径； 14÷2＝7（厘米） 所以圆规的两脚尖间的距离应该是7厘米。 2．看图填空。（图中单位：厘米） (1)圆的半径是( )厘米。 (2)长方形的宽是( )厘米。 (3)长方形的长是( )厘米。 (4)长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】(1)5 (2)10 (3)25 (4)250 【分析】（1）从图片中得出圆的直径是10厘米，根据圆的半径＝圆的直径÷2得出圆的半径； （2）长方形的宽是圆的直径，则为10厘米； （3）长方形的长＝两个直径＋一个半径，代入数据计算即可； （4）长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】（1）10÷2＝5（厘米） 圆的半径是5厘米。 （2）长方形的宽是10厘米。 （3）10×2＋5 ＝20＋5 ＝25（厘米） 长方形的长是25厘米。 （4）25×10＝250（平方厘米） 长方形的面积是250平方厘米。 【预测考点04】画圆和画扇形 1．用圆规和尺子在下面的长方形中画一个最大的半圆，并画出这个组合图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】观察可知，在这个长方形中画一个最大的半圆，以长方形的长为半圆的直径，用直尺量出4cm的中点，作为圆心，以（cm）为圆规两脚间的距离，在长方形里画一个半圆即可。 用尺子量出长方形的两条长边的中点，再把两个中点连起来就是这个组合图形的对称轴。 【详解】（cm） 据分析作图如下： 2．先画一个半径是3cm的圆，再在圆中画一个圆心角是145°的扇形。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 画出圆的一条半径，再以半径为角的一条边，画出一个145°的角，角的另一边所在的半径和这条半径以及对应的弧围起来的部分就是要画的扇形。 【详解】 【对应练习】 1．请画一个半径为2厘米的圆，并在圆内画一个最大的正方形。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于2厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可得到半径为2厘米的圆。 先通过圆心画两条互相垂直的直径，这两条直径也是正方形的两条对角线，依次连接对角线在圆上的4个交点，即可得到这个圆内面积最大的正方形。 【详解】如图： 2．画一个半径1.5cm的圆，再在圆中画一个圆心角是90°的扇形，并把扇形涂上颜色或线条。 【答案】见详解 【分析】根据圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。先确定圆心O的位置，再画一个半径1.5cm的圆。最后在圆内画出一个圆心角是90°的扇形并涂色即可。 【详解】根据分析，作图如下： 【预测考点05】圆的周长计算 如下图，在长方形里有两个大小不同的圆，大圆的直径是( )cm，小圆的周长是( )cm。 【答案】 6 9.42 【分析】观察图形可知，大圆的直径等于长方形的宽，是6cm；用长方形的长减去6cm可以求出小圆的直径，再根据圆的周长＝πd，代入数据计算即可求出小圆的周长。 【详解】通过分析可得： 大圆的直径是6cm； 3.14×（9－6） ＝3.14×3 ＝9.42（cm） 则小圆的周长是9.42cm。 【对应练习】 1．一捆铁丝500圈，每圈直径40厘米。这捆铁丝长( )米。 【答案】628 【分析】由题意可知，每圈铁丝的长是以40厘米为直径的圆的周长，根据圆的周长公式，代入数据计算一圈的长度再乘500，把单位转化为米即可得解。 【详解】 （厘米） （米） 一捆铁丝500圈，每圈直径40厘米。这捆铁丝长628米。 2．披萨店老板制作了一个周长为125.6cm的圆形披萨，若将披萨按如图方式均分为4份，则披萨的周长增加了( )cm。 【答案】160 【分析】根据题意，将披萨按如图方式均分为4份，那么披萨的周长增加了8条半径； 已知圆形披萨的周长为125.6cm，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，求出披萨的半径，再乘8，即是披萨增加的周长。 【详解】披萨的半径： 125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（cm） 周长增加： 20×8＝160（cm） 则披萨的周长增加了160cm。 【预测考点06】圆的面积计算 一个圆形花坛的直径是10米，它的半径是( )米，周长是( )米，占地面积是( )平方米。 【答案】 5 31.4 78.5 【分析】半径＝直径÷2，根据圆的周长公式、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】10÷2＝5（米） 3.14×10＝31.4（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 一个圆形花坛的直径是10米，它的半径是5米，周长是31.4米，占地面积是78.5平方米。 【对应练习】 1．广场的圆形花园的周长是314m，它的面积是( )m2。 【答案】7850 【分析】已知圆形花园的周长是314m，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出它的面积。 【详解】314÷3.14÷2 ＝100÷2 ＝50（m） 3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（m2） 它的面积是7850m2。 2．把一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形，已知长方形的长比宽多8.56cm，这个圆的面积是( )cm2。 【答案】50.24 【分析】把一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形，长方形的长相当于圆的周长除以2，宽相当于圆的半径，设圆的半径为rcm，根据圆的周长＝2π×半径，求出长方形的长，再根据长方形的长比宽多8.56cm，可知等量关系式是：长宽＝8.56，据此列出方程，求出圆的半径，再根据圆的面积＝π×半径×半径，即可解答。 【详解】解：设圆的半径为rcm。 2×3.14×r÷2－r＝8.56 2.14r＝8.56 r＝4 3.14×4×4 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 把一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形，已知长方形的长比宽多8.56cm，这个圆的面积是50.24cm2。 【预测考点01】圆的周长与生活实际问题 10月30日11时，神舟十九号载人飞船与空间站天和核心舱前向端口成功对接，整个对接过程历时约小时。欢欢家的钟表分针长5厘米，神舟十九号载人飞船与空间站天和核心舱前向端口从开始对接到对接成功，钟表上分针针尖走过的路程约是多少厘米？ 【答案】204.1厘米 【分析】分针60分钟转一圈，30分钟转半圈，小时是6小时30分，即分针针尖转6.5圈。先根据圆的周长公式C＝2πr，求出分针针尖转一圈走过的路程，再乘6.5，即是小时分针针尖走过的路程。注意单位的换算：1小时＝60分。 【详解】小时＝6小时30分，钟表上分针针尖走6.5圈。 2×3.14×5＝31.4（厘米） 31.4×6.5＝204.1（厘米） 答：钟表上分针针尖走过的路程约是204.1厘米。 【对应练习】 1．一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【答案】1256米 【分析】已知自行车车轮的外直径是0.8米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长； 如果车轮每分钟转50圈，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，即是自行车的速度； 李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，根据“路程＝速度×时间”求出李老师家到图书馆的路程。 【详解】3.14×0.8×50×10 ＝2.512×50×10 ＝125.6×10 ＝1256（米） 答：李老师家到图书馆的路程是1256米。 2．小明家离学校有1256米，他每天骑自行车回家，自行车的轮胎直径是50厘米，如果自行车每分转80圈，小明多长时间可以到家？ 【答案】10分钟 【分析】先根据1米＝100厘米把50厘米换算成米，再根据圆的周长公式：C＝πd，代入数据，求出自行车轮胎的周长，再乘80，求出自行车轮胎1分钟行驶的路程，再根据时间＝路程÷速度，用小明家与学校的路程除以自行车轮胎1分钟行驶的路程即可得到小明多长时间可以到家。 【详解】50厘米＝0.5米 1256÷（3.14×0.5×80） ＝1256÷（1.57×80） ＝1256÷125.6 ＝10（分钟） 答：小明10分钟可以到家。 【预测考点02】圆的面积与生活实际问题 为美化校园，学校计划在一块长20米、宽18米的长方形空地上建一个半圆形水池（水池面积尽可能大），并在剩余区域种植草坪。 （1）这个半圆形水池的面积是多少平方米？ （2）种植草坪的面积是多少平方米？ 【答案】（1）157平方米；（2）203平方米 【分析】（1）在长方形中建一个半圆形水池，因为长的一半小于宽，所以这个半圆就以长方形的长为直径，根据求圆的面积的公式，用圆的面积除以2，即可得解。 （2）根据长方形的面积＝长宽，算出长方形的面积减半圆的面积即可得解。 【详解】（1） （平方米） 答：这个半圆形水池的面积是157平方米。 （2） （平方米） 答种植草坪的面积是203平方米。 【对应练习】 1．张明和李芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张明每分钟走85米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米 （2）31400平方米 【分析】（1）根据速度和×相遇时间＝总路程，求出圆形场地的周长，再根据圆的直径＝周长÷圆周率，列式解答即可； （2）根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】（1）（72＋85）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 2．有一个圆形的草坪，它的周长是6280厘米，它的占地面积是多少？如果每平方米草坪的价格是8元，铺满这个草坪需要多少钱？ 【答案】314平方米；2512元 【分析】已知圆形草坪的周长是6280厘米，根据圆的周长公式“C＝2πr”得“r＝C÷π÷2”，即用圆的周长除以π计算出直径长度，再除以2计算出半径长度，再根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆的面积；已知每平方米草坪价格是8元，根据“总价＝单价×数量”，这里数量就是草坪的面积，计算出铺满草坪需要的费用。 【详解】6280÷3.14÷2 ＝2000÷2 ＝1000（厘米） 1000厘米＝10米 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：它的占地面积是314平方米。 314×8＝2512（元） 答：铺满这个草坪需要2512元。 【预测考点03】圆环的面积问题 一个儿童游乐场是圆形的，它的周长是628米，现将这个游乐场进行扩建，扩建后的半径增加了4米。这个游乐场的面积增加了多少平方米？ 【答案】2562.24平方米 【分析】已知游乐场是圆形的，它的周长是628米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出原来游乐场的半径； 已知扩建后的半径增加了4米，用原来游乐场的半径加上4，求出扩建后游乐场的半径； 增加的形状是个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出游乐场增加的面积。 【详解】原来游乐场的半径：628÷3.14÷2＝100（米） 现在游乐场的半径：100＋4＝104（米） 增加的面积： 3.14×（1042－1002） ＝3.14×（10816－10000） ＝3.14×816 ＝2562.24（平方米） 答：这个游乐场的面积增加了2562.24平方米。 【对应练习】 1．济宁博物馆的藏品之龙纹玉璜，其平面形状似半圆环，外圆直径约10厘米，环宽约2厘米，这个龙纹玉璜的面积约是多少平方厘米？（两个小圆孔的面积忽略不计）（如图） 【答案】25.12平方厘米 【分析】由题意可知，这个龙纹玉璜的面积＝外半圆面积－空白内半圆面积，根据半径＝直径÷2，可得外圆半径，再用外圆半径减环宽可得空白内圆半径，再根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （厘米） （平方厘米） 答：这个龙纹玉璜的面积约是25.12平方厘米。 2．一个占地为圆形的花坛，直径是2米，扩建后直径为4米，如图。花坛的面积增加了多少平方米？ 【答案】9.42平方米 【分析】已知外圆直径4米，内圆直径2米。扩建（增加）面积＝圆环面积＝外圆面积－内圆面积，即S＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【详解】3.14×[（4÷2）2－（2÷2）2] ＝3.14×[22－12] ＝3.14×[4－1] ＝3.14×3 ＝9.42（平方米） 答：花坛的面积增加了9.42平方米。 【预测考点04】外圆内方与外方内圆 春节帖“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是多少？ 【答案】193.5平方厘米 【分析】看图可知，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形的边长＝圆的直径，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答。 【详解】30×30－3.14×（30÷2）2 ＝900－3.14×152 ＝900－3.14×225 ＝900－706.5 ＝193.5（平方厘米） 答：“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是193.5平方厘米。 【对应练习】 1．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 【答案】28.5平方厘米 【分析】已知圆的半径是5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 把圆内的正方形用一条对角线平均分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积； 那么阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。 【详解】3.14×52－5×2×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：它的面积是28.5平方厘米。 2．中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】2.28平方米 【分析】根据圆的面积S＝πr2 可知，r2 ＝S÷π。从图中可知，圆的直径就是大正方形的边长，而大正方形的面积＝边长×边长＝r×r＝r2  ；小正方形的面积可以看出两个等腰直角三角形组成，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个三角形的面积，再乘2即可求出小正方形的面积；最后用圆形的面积减去小正方形的面积即可。 【详解】解：设圆半径为r。 r2＝6.28÷3.14＝2（平方米） 2r×r÷2＝r2＝2（平方米） 2×2＝4（平方米） 6.28－4＝2.28（平方米） 答：整个图形中所有空白部分的面积是2.28平方米。 【预测考点04】扇形的面积 三角形的三个顶点刚好在三个圆的圆心处，其半径都是3厘米。小智同学认为：三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。请你尝试说明其中的理由。 【答案】三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积；理由见详解 【分析】已知三角形的内角和是180°，据此可知阴影部分的面积可以拼成一个半径是3厘米的半圆面积，根据圆的面积＝πr2，代入数值计算出圆的面积，再用圆的面积除以2求出半圆的面积，也就是阴影部分的面积。 【详解】三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。理由如下： 因为三角形的三个顶点刚好在三个圆的圆心处，已知三角形的内角和是180°，也就是这三个扇形的圆心角之和是180°，即这三个扇形拼在一起正好是一个半圆，所以三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 【对应练习】 1．如图，等边三角形中空白部分是三个相同的扇形，三角形的边长是8厘米。 （1）求图中空白部分的面积。 （2）求图中阴影部分图形的周长。 【答案】（1）25.12平方厘米； （2）12.56厘米 【分析】等边三角形的三个角均为60度，所以，三个相同的扇形可以组成一个半圆。圆的半径是三角形边长的一半，圆的直径等于三角形的边长； （1）根据公式：圆的面积＝圆周率×半径的平方，计算出圆的面积再除以2，就是空白部分的面积； （2）根据公式：圆的周长＝圆周率×直径，计算出圆的周长再除以2，就是阴影部分图形的周长。 【详解】（1）8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：图中空白部分的面积25.12平方厘米。 （2）3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（厘米） 答：图中阴影部分图形的周长12.56厘米。 2．求如图图形中阴影部分的面积，π≈3.14。（单位：厘米） 【答案】7.44平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积的－三角形的面积，依据图中数据以及梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝，三角形的面积＝底×高÷2，进行计算即可。 【详解】（6＋7）×4÷2－3.14×42×－（7－4）×4÷2 ＝13×4÷2－3.14×16×－3×4÷2 ＝13×2－3.14×4－12÷2 ＝26－12.56－6 ＝7.44（平方厘米） 答：阴影部分的面积是7.44平方厘米。 【预测考点】多种方法求含圆的阴影图形的周长和面积 1．计算出下面图形涂色部分的面积。 【答案】7.44平方分米 【分析】涂色部分的面积等于上底为4分米、下底为6分米、高为4分米的梯形的面积减去半径为4分米的圆面积的，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝，代入数据计算即可。 【详解】（4＋6）×4÷2－3.14×× ＝10×4÷2－3.14×16× ＝40÷2－3.14×4 ＝20－12.56 ＝7.44（平方分米） 2．如图，已知圆的周长是31.4米，求阴影部分的面积。（单位：米） 【答案】32.5平方米 【分析】根据圆的周长＝2×半径，用圆的周长除以3.14，再除以2求出半径，阴影部分是一个梯形，梯形的上底和高都等于圆的半径，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） （5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（平方米） 3．图中长方形ABCD，长8cm，宽4cm，巧求阴影部分面积。（π取3.14） 【答案】6.88平方厘米 【分析】根据图可知，阴影部分面积＝长方形面积－半径等于长方形宽的圆的面积的一半，根据长方形面积＝长×宽；圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】8×4－3.14×42÷2 ＝32－3.14×16÷2 ＝32－50.24÷2 ＝32－25.12 ＝6.88（平方厘米） 即阴影部分面积是6.88平方厘米。 4．求图形中阴影部分的面积（单位：厘米）          【答案】50.24平方厘米 【分析】通过割补的方法，将最右边的三角形旋转到正方形上面的三角形中，则阴影部分就组合成一个半径是8厘米的的圆，根据扇形的面积＝，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 则图形中阴影部分的面积是50.24平方厘米。 【对应练习】 1．已知图中正方形的面积是20平方厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】62.8平方厘米 【分析】通过观察图可知，圆的半径r等于正方形的边长，根据正方形的面积＝边长×边长可得：r×r＝20（平方厘米），即r2＝20平方厘米，根据圆的面积S＝πr2，把r2＝20平方厘米代入公式计算，即可求出这个圆的面积，据此解答。 【详解】20×3.14＝62.8（平方厘米） 答：这个圆的面积是62.8平方厘米。 2．图中阴影部分的周长和面积分别是多少？算一算。 【答案】49.12厘米；96平方厘米 【分析】周长：阴影部分周长＝长方形两条长＋圆的周长（直径8cm ）。圆周长公式C＝πd，长方形长12cm，据此计算。面积：阴影部分面积＝长方形面积（长12cm、宽8cm），利用图形割补（左右半圆可合成完整长方形），据此计算。 【详解】周长：3.14×8＋12×2 ＝25.12＋24 ＝49.12（cm）    面积：12×8＝96（cm2） 阴影部分的周长是49.12cm，面积是96cm2。 3．求下面图形中涂色部分的面积（结果用含π的式子表示）。（单位：厘米） （1）     （2） 【答案】（1）（16－4π）平方厘米 （2）（50π－50）平方厘米 【分析】（1）该图形是一个边长为4厘米的正方形，其中空白部分是两个直径为4厘米的半圆，这两个半圆可以组成一个完整的圆，所以涂色部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积。已知正方形边长是4厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出正方形面积；已知圆的直径是4厘米，用直径长度除以2计算出半径长度，根据圆的面积公式计算出圆的面积；最后用正方形面积将去圆的面积即可。 （2）该图形是一个半圆，其中空白部分是一个等腰直角三角形，所以涂色部分的面积等于半圆的面积减去等腰直角三角形的面积。已知半圆的直径为20厘米，所以半径为20÷2＝10厘米，等腰直角三角形的直角边等于半圆的半径，根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以2计算出半圆的面积；根据“三角形面积＝底×高÷2”计算出三角形面积，最后用半圆面积减去三角形面积即可。 【详解】（1）4×4－π×（4÷2）2 ＝16－π×22 ＝16－π×4 ＝（16－4π）平方厘米 所以该图形中涂色部分的面积是（16－4π）平方厘米。 （2）20÷2＝10（厘米） π×102÷2－10×10÷2 ＝π×100÷2－100÷2 ＝π×（100÷2）－50 ＝（50π－50）平方厘米 所以该图形中涂色部分的面积是（50π－50）平方厘米。 4．计算下列图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】（1）14.13cm2；（2）9.12 cm2 【分析】（1）观察图形，阴影部分面积＝以正方形边长为半径的扇形面积－以正方形边长为直径的半圆面积。扇形的面积公式为S＝πr2（n为扇形的圆心角，π取3.14，r为半径），已知扇形的圆心角是90°，r为6cm，代入公式得：×3.14×62＝×3.14×36＝28.26cm2。半圆（直径为6cm，半径6÷2＝3cm）面积：3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝14.13cm2。那么把计算出的面积代入“阴影部分面积＝以正方形边长为半径的扇形面积－以正方形边长为直径的半”即可得到阴影部分的面积。 （2）观察图形，阴影部分是2个整圆面积－正方形的面积。先算2个整圆面积，正方形的边长为4cm，那么半径为4÷2＝2cm。根据圆的面积公式πr2，计算一个圆的面积得3.14×22＝3.14×4＝12.56cm2，那么2个圆的面积为12.56×2＝25.12cm2，正方形的面积为4×4＝16cm2，因为在计算2个圆的面积时，阴影部分面积是重复计算的并且还包含了正方形的面积，所以用2个圆的面积减去正方形的面积即可得到阴影部分的面积。 【详解】（1）×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝9×3.14 ＝28.26（cm2） 6÷2＝3（cm） 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 28.26－14.13＝14.13（cm2） 阴影部分的面积是14.13cm2。 （2）4÷2＝2（cm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12.56×2＝25.12（cm2） 4×4＝16（cm2） 25.12－16＝9.12（cm2） 阴影部分的面积是9.12cm2。 一、填空题。 1．（2024·河北承德·小升初真题）将一个圆形纸片至少对折( )次，才能找到它的圆心。 【答案】2 【分析】用折叠法将圆形纸片对折两次，两次折痕的交点就是圆心的位置，据此解答。 【详解】如图： 将一个圆形纸片至少对折2次，才能找到它的圆心。 2．（2024·山西长治·期末）圆的位置是由( )决定的。 【答案】圆心 【分析】圆的位置是由圆心决定，圆的大小是由半径决定，据此解答。 【详解】根据分析可知，圆的位置是由圆心决定的。 3．（2024·甘肃临夏·期末）如图所示，我们探究圆的面积时将圆形转化为近似的长方形。若图中长方形的周长比圆的周长多4厘米，则圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 12.56 12.56 【分析】把圆转化为近似长方形时，长方形的长近似于圆周长的一半（πr），长方形的宽近似于圆的半径（r）。圆的周长公式为C＝2πr，长方形的周长为2×（πr＋r）＝2πr＋2r。已知长方形的周长比圆的周长多4厘米，即（2πr＋2r）－2πr＝4，化简后可得2r＝4，解得r＝2厘米。 根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，r＝2厘米，把数据代入公式可得2×3.14×2＝12.56（厘米），根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，r＝2厘米，把数据代入公式可得3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 【详解】2×（πr＋r）＝2πr＋2r （2πr＋2r）－2πr＝4 2r＝4 r＝2 2×3.14×2＝12.56（厘米） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。 4．（2023·河北石家庄·小升初真题）用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚之间的距离是( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 3 28.26 【分析】圆规两脚之间的距离是半径，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据即可求出圆的半径；然后根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出圆面积。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 圆规两脚尖之间的距离应是3厘米，画出的这个圆的面积是28.26平方厘米。 5．（2024·江西南昌·期末）一张长5厘米，宽2厘米的长方形纸上剪出一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 10.28 6.28 【分析】在长5厘米、宽2厘米的长方形中剪最大半圆时，需确定半圆的半径。若以宽2厘米为半径，则半圆直径4厘米，长边5厘米足够容纳；若以长边5厘米为直径，则半径2.5厘米超过宽2厘米，无法剪裁。因此最大半圆半径为2厘米。半圆的周长公式为πr＋2r，半圆的面积公式为πr2。π取3.14，把半径＝2厘米，代入公式计算即可解答。 【详解】周长： 3.14×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 面积： ×3.14×22 ＝×3.14×4 ＝3.14×2 ＝6.28（平方厘米） 因此，半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。 6．（2024·重庆渝中·期末）一个羊圈依墙而建，呈半圆形（如图所示），半径4m。修这个羊圈需要栅栏( )m，这个羊圈的面积是( )m2。 【答案】 12.56 25.12 【分析】已知半径为4m的半圆形羊圈依墙而建，求修这个羊圈需要栅栏的长度，就是求圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 求这个羊圈的面积，就是求半圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（m） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（m2） 填空如下： 修这个羊圈需要栅栏（12.56）m，这个羊圈的面积是（25.12）m2。 二、选择题。 7．（2024·全国·课后作业）在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不一样的说法，下面( )种说法是描述圆心到圆上的距离一样长。 A．圆，一中同长也 B．圆出于方，方出于矩 C．圆，径一而周三 D．没有规矩，不成方圆 【答案】A 【分析】需要理解每个选项的含义，判断哪个选项描述了圆心到圆上的距离一样长。 【详解】A．“一中”指圆心，“同长”指圆心到圆上各点的距离相等，即描述了圆心到圆上的距离一样长。 B．此说法主要是阐述圆与方的生成关系，并非描述圆心到圆上的距离； C．这是说圆的周长大约是直径的三倍，没有涉及圆心到圆上的距离； D．这里的“规”和“矩”是指画图工具，不是直接描述圆心到圆上的距离； 描述圆心到圆上的距离一样长的是圆，一中同长也。 故答案为：A 8．（2024·北京房山·期末）下列图形中，对称轴条数最多的是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这条直线就是这个图形的对称轴。据此分析各选项中的图形，进而得出正确答案。 【详解】 A．：有8条对称轴，分别是过对边中点的直线和过对角顶点的直线。 B．：圆的对称轴是过圆心的直线，圆内接正方形的对称轴是过对边中点和对角线的直线，共4条对称轴（因为正方形有4条对称轴，而圆的对称轴包含这4条）。 C．：该图形有3条对称轴，分别是过每个圆的圆心与另外两个圆的间隙的直线。 D．：等腰梯形只有1条对称轴，是过两底中点的直线。 选项A中的图形有8条对称轴，选项B中的图形有4条对称轴，选项C中的图形有3条对称轴，选项D中的图形有1条对称轴。所以对称轴的数量最多的是选项A中的图形。 故答案为：A 9．（2024·河南洛阳·期末）同一个圆中，扇形的大小与( )有关。 A．半径的大小 B．圆心角的大小 C．圆心的位置 D．直径的大小 【答案】B 【分析】扇形的面积＝圆周率×半径的平方×，圆周率是个定值，因此扇形的大小与半径和圆心角的大小有关，据此分析。 【详解】在同一个圆中，半径和直径的大小固定，扇形的圆心角越大，扇形的面积越大，因此扇形的大小与圆心角的大小有关。 故答案为：B 10．（2024·江西吉安·期末）“画曲为直”，是我们推导圆面积过程时所用的方法。以下( )图，不能推导出圆的面积公式。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．平行四边形的底＝圆的周长的一半，平行四边形的高＝圆的半径。因为平行四边形的面积＝圆的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，即可推导出圆的面积公式。 B．三角形的底＝圆的周长，三角形的高＝圆的半径，因为三角形面积＝圆的面积，根据三角形面积＝底×高÷2，即可推导出圆的面积公式。 C．用数格子的方法，只能估算出圆的面积大约是多少，不能推导出圆的面积公式。 D．平行四边形的底＝圆的周长的一半，平行四边形的高＝圆的半径。因为平行四边形的面积＝圆的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，即可推导出圆的面积公式。 【详解】 根据分析可得：不能推导出圆的面积公式。 故答案为：Ｃ 11．（2024·海南海口·期末）一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的面积就扩大到原来的( )。 A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍 【答案】C 【分析】假设圆的半径是1，半径扩大到原来的3倍，则半径变为1×3＝3，根据圆的面积公式分别计算出扩大之前和扩大之后圆的面积，最后用扩大后的面积除以扩大前的面积即可。 【详解】3.14×12＝3.14×1＝3.14 1×3＝3 3.14×32＝3.14×9＝28.26 28.26÷3.14＝9 所以它的面积就扩大到原来的9倍。 故答案为：C 12．（2024·云南昭通·期末）下图中两个阴影部分的周长和面积大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长相等，面积不相等 【答案】C 【分析】面积：对于左边图形：阴影部分的面积等于正方形的面积减去四个扇形的面积，四个扇形可拼成一个完整的圆（因为四个扇形的圆心角之和是360°，且半径相等），圆的直径等于正方形的边长4cm。对于右边图形：阴影部分的面积等于正方形的面积减去两个半圆的面积，两个半圆可拼成一个完整的圆（两个半圆的直径相等，都等于正方形的边长4cm），也就是减去一个圆的面积。因为两个图形中正方形的面积相等，减去的圆的面积也相等。所以两个阴影部分的面积相等。 周长：对于左边图形：阴影部分的周长就是四个扇形的弧长之和，四个扇形弧长之和刚好是一个圆的周长（四个扇形拼成一个圆），根据圆的周长公式C＝πd（d＝4cm），周长为4πcm。对于右边图形：阴影部分的周长是两个半圆的弧长之和加上正方形的两条边长，两个半圆的弧长之和是一个圆的周长，再加上正方形的两条边长（每条边长4cm，共4×2＝8cm），所以周长为（4π＋8）cm。因为4π不等于4π＋8，所以两个阴影部分的周长不相等。 【详解】由分析可知，两个阴影部分周长不相等，面积相等。只有选项C符合。 故答案为：C 三、计算题。 13．（2024·湖南长沙·期末）求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 【答案】21.87平方厘米 【分析】由图可知，整个图形是一个正方形，正方形的边长为6厘米，利用“”表示出整个图形的面积，空白部分是一个半圆，半圆的半径是3厘米，利用“”表示出空白部分的面积，阴影部分的面积＝整个图形的面积－空白部分的面积，据此解答。 【详解】6×6－3.14×32÷2 ＝36－3.14×9÷2 ＝36－28.26÷2 ＝36－14.13 ＝21.87（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是21.87平方厘米。 14．（2024·河南南阳·期末）求出下图阴影部分的面积。 【答案】23.22平方厘米 【分析】通过观察可得，圆的3条直径之和是18厘米，先用除法，求出圆的直径，再根据半径＝直径÷2，求出圆的半径；长方形的长是18厘米，长方形的宽等于圆的直径。 阴影部分的面积等于一个长方形的面积减去三个相同大小圆的面积，根据公式：长方形的面积＝长×宽，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积。 【详解】圆的直径：18÷3＝6（厘米） 圆的半径：6÷2＝3（厘米） 阴影部分的面积： 18×6－3.14×32×3 ＝18×6－3.14×9×3 ＝108－84.78 ＝23.22（平方厘米） 阴影部分的面积是23.22平方厘米。 15．（2024·浙江温州·期末）根据下图中的信息，求涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】22cm2 【分析】如图所示，将图形拼接成一个上底是4cm，下底是7cm，高是4cm的梯形，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】 ＝11×4÷2 ＝44÷2 ＝22（cm2） 则涂色部分的面积是22cm2。 16．（2024·湖北黄冈·期末）求下图中阴影部分的面积。 【答案】1.57cm2 【分析】三角形内角和180°，将3个阴影部分拼起来刚好是个半圆，根据半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。 【详解】3.14×12÷2 ＝3.14×1÷2 ＝1.57（cm2） 阴影部分的面积是1.57cm2。 四、作图题。 17．（2024·河南洛阳·期末）如图所示，大圆半径2厘米，小圆半径1厘米。小圆从点出发，顺时针绕着大圆滚动一周，回到点。 （1）请把小圆圆心的运动轨迹在图中画出来。 （2）小圆的圆心运动了( )厘米。 （3）请画出这个图形的对称轴。 【答案】（1）见详解 （2）18.84 （3）见详解 【分析】（1）小圆圆心的运动轨迹是以大圆的圆心为圆心，以1＋2＝3厘米为半径的圆。据此画圆即可。 （2）小圆的圆心运动的路程就是以3厘米为半径的圆的周长，根据圆的面积公式：C＝2，代入数据计算即可解答； （3）这个图形的对称轴是经过小圆和大圆圆心的一条直线。据此画出对称轴即可。 【详解】（1）（3） 如图所示： （2）1＋2＝3（厘米） 2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（厘米） 所以小圆的圆心运动了18.84厘米。 五、解答题。 18．（2024·湖南邵阳·期末）小方骑自行车到学校用10分钟，( )，从小方家到学校大约有多少米？（先选择合适的条件，再解答） ①小方步行速度70米/分        ②车轮外直径0.7米 ③小方已行6分钟            ④车轮转速100圈/分 我选择的条件是( )和( )。（填序号） 我的解答： 【答案】②；④ 2198米 【分析】速度×时间＝路程，已知小方骑自行车的时间，骑自行车的速度未知，①是小方步行的速度，③是小方已用时间，对解答本题都没有用。通过车轮的周长和转速，可以求出骑自行车的速度，即根据圆的周长＝圆周率×直径，求出车轮周长，车轮周长×转速＝自行车的速度，再用自行车的速度×时间，即可求出小方家到学校的距离。 【详解】选择的条件是②和④。 3.14×0.7×100×10 ＝2.198×100×10 ＝2198（米） 答：小方家到学校大约有2198米。 19．（2024·重庆渝北·期末）国家大力发展中医药事业，李大爷在周长为360米的长方形地里开辟出一块半圆形土地（如图），用来栽中草药。栽中草药的土地的面积是多少平方米？ 【答案】5652平方米 【分析】由图可知，半圆的直径等于长方形的长，半圆的半径等于长方形的宽。因为直径是半径的2倍，则长方形的长是宽的2倍，设长方形的宽为a米，则长方形的长是2a米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列出方程：（2a＋a）×2＝360，解出方程，求出长方形的宽，即半圆的半径；再根据圆的面积S＝πr2，代入数据计算，求出整个圆的面积，再除以2，求出半圆的面积，即可求出栽中草药的土地的面积是多少平方米。 【详解】解：设长方形的宽为a米。 （2a＋a）×2＝360 3a×2＝360 6a＝360 6a÷6＝360÷6 a＝60 即半圆的半径60米。 3.14×602÷2 ＝3.14×3600÷2 ＝5652（平方米） 答：栽中草药的土地的面积是5652平方米。 20．（2024·内蒙古赤峰·期末）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 【答案】76.82分米 【分析】通过观察图形可知扫地机器人的底面圆心走过的路线等于半径是（5＋1.5）分米的圆的周长加上2个18分米，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【详解】2×3.14×（5＋1.5）＋18×2 ＝6.28×6.5＋36 ＝40.82＋36 ＝76.82（分米） 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长是76.82分米。 21．（2024·湖南怀化·期末）为提升城市品质，打造宜居环境，某市政府用一块面积约为3公顷的地建造了一个公园，并在公园中心挖了一个直径为100米的圆形人工湖。 （1）为了保证安全，要在人工湖的外围安装防护栏，至少需要安装多长的防护栏？ （2）若沿湖边铺设一条宽为2米的圆环形鹅卵石小路，每平方米小路大约需要鹅卵石50千克，铺设这条小路大约需要多少千克鹅卵石？ 【答案】（1）米 （2）千克 【分析】（1）求防护栏的长度就是求这个圆形人工湖的周长，根据圆的周长＝，代入数据计算即可。 （2）先根据圆环的面积＝，小圆的半径r是人工湖的半径，大圆的半径R＝小圆的半径＋鹅卵石路的宽度，代入数据计算，再乘50即可。 【详解】（1）（米） 答： 至少需要安装314米长的防护栏。 （2）r：（米） R：（米） （平方米） （千克） 答：铺设这条小路大约需要32028千克。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周 它的另一端就会出现一条封闭的曲线，这条曲线叫做圆 (1)含义 a.定好两脚间的距离 b把带有针尖的脚固定在一点上 (2)圆规画圆 1,认识 c把装有铅笔的脚旋转一周 a.圆心确定圆的位置 b.半径确定圆的大小 c直径是半径的2倍（同一个圆） (3)各部分名称 (4)设计图案 a.圆周率的意义：周长与直径的此值0 半径r b.周长公式： (1)周长公式推导 直径d a.长方形面积与圆面积关系 b.面积公式 第五单元圆 2.圆的周长 (2)面积公式 a.半径不等的同心圆组成圆环 b.圆环面积： (3)圆环的面积 正方形面积-圆的面积 (1)外方内圆 3.解决问题 圆的面积-正方形的面积 (2)外圆内方 (1)画扇形 4.扇形 (2)扇形弧长以及周长 (3)扇形积