（总集篇）第五单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型【十大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共21页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第五单元圆总集篇含圆的十种几何模型【十大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第五单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型 知专题内容 本专题以圆的几何模型为主，其中包括十种典型几何模型。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 回考点数量 十大考点 第二篇章 考点导航篇 月【考点-】几何模型其一-：捆圆模型3 只【考点二】几何模型其二：滚圆模型..5 只【考点三】几何模型其三：弓形模型7 冥【考点四】几何模型其四：弯角模型… .9 冥【考点五】几何模型其五：谷子模型（柳叶模型或花模型） .10 只【考点六】几何模型其六：金鱼模型。 ..12 只【考点七】几何模型其七：圆方模型（方中圆与圆中方） .14 只【考点八】几何模型其八：圆环模型…。 .…16 冥【考点九】几何模型其九：补丁模型… 17 只【考点十】几何模型其十：海螺模型20 第2页共21页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 早【考点一】几何模型其一：捆圆模型 职方法点拨 1.捆圆模型。 如图所示，在把几个同样的圆紧捆一圈，求最短绳长时，绳长=每条线段长度 (一个圆的直径)×线段数量+一个圆的周长 2.解题步骤。 (1)计算线段总长度。 每条线段的长度与一个圆的直接相等，再乘线段数量。 (2)计算总弧长。 总弧长等于一个圆的周长。 (3)相加。 将线段总长度与总弧长相加。 目考察形式 应用 ③动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4 分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 第3页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 如图，将两根直径是15c的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 肥【对应练习2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长 的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 肥【对应练习3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为 3厘米。 第①组 第②组 第③组 (1)像这样继续捆下去，第④组至少需要( )厘米的绳子。请说明理由。 (2)按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要( )厘米的绳子。 第4页共21页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点二】几何模型其二：滚圆模型 冥方法点拨 1.滚圆棋型。 如图所示，圆紧贴着多边形滚动时，滚动的圆扫过的面积=多边形的周长×滚 动圆的直径十Π×滚动圆的直径×滚动圆的直径。 2.注意。 滚动模型较为抽象，圆围绕不同多边形滚动时，计算方式有所不同，因此， 在解题过程中可尝试画出滚动后的示意图，以便于理解和计算。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，一枚直径是1厘米的小圆片沿着一个正方形外边缘滚动一周。已知正方形的边长是3 厘米，那么小圆片扫过的面积是多少平方厘米？（π取3.14) 第5页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 下面图中的长方形ABCD的长BC为30厘米、宽CD为10厘米，圆O的直径为10厘米。 D 图(1) 图(2) (1)如上图(1)所示，圆不动，长方形以每秒2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆 完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ (2)如上图(2)所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆O滚到长方形的 顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点C)后继续滚动。那么圆O扫过的面积是多 少平方厘米？ 0【对应练习2】 社团制作木质三角形轨道：一个半径1cm的圆从B点出发，沿着边长6厘米的等边三角形的 外壁滚动（无滑动），最后回到原来的位置。圆心经过的路程是多少厘米？（π取3） 第6页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 下面图中的长方形ABCD的长BC为30厘米、宽CD为10厘米，圆O的直径为10厘米。 D A 图(1) 图(2) (1)如上图(1)所示，圆不动，长方形以每秒2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆 完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ (2)如上图(2)所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆O滚到长方形的 顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点C)后继续滚动。那么圆O扫过的面积是多 少平方厘米？ 原【考点三】几何模型其三：弓形模型 职方法点拨 1.弓形棋型。 如图，涂色部分像一张弓，所以我们把这个模型叫做“弓形模型”。 2.解题方法。 弓形一般不要求周长，主要求面积，弓形面积=扇形面积一等腰三角形面积（除 了半圆)，这里只给出圆心角是90°的弓形面积，即S号S扇一S三角形。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 侣【典型例题】 第7页共21页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 计算如图形的阴影部分面积。 肥【对应练习1】 求下图中阴影部分的面积。 4cm 4cm 肥【对应练习2】 求阴影部分的面积。 第8页共21页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点四】几何模型其四：弯角模型 冥方法点拨 1.弯角棋型。 如图所示，涂色部分形状像一个弯角，因此，我们把这个模型叫做“弯角模 型”。 2.解题方法。 弯角的面积等于正方形的面积减去扇形的面积。 目考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，正方形的面积是8cm2,求出阴影部分的面积。 职【对应练习1】 如图，正方形的边长为12厘米，求阴影部分的面积。 第9页共21页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 求出下面图案中阴影部分的面积。 2cm -2cm→ 原【考点五】几何模型其五：谷子模型（柳叶模型或花瓣模型） 职方法点拨 1.谷子模型。 如图所示，涂色图形形似一粒谷子，因此，我们把这个模型叫做“谷子模型”。 2.解题方法。 谷形的面积就是两个完全相同的弓形面积的和，谷子的面积=弓形面积×2=2$ 扇一S正0 目考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，己知正方形边长是4dm,求阴影部分的面积。 第10页共21页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共37页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 第五单元圆总集篇含圆的十种几何模型【十大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第五单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型 知专题内容 本专题以圆的几何模型为主，其中包括十种典型几何模型。 ⊙评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 回考点数量 十大考点 第二篇章 考点导航篇 月【考点-】几何模型其一-：捆圆模型3 只【考点二】几何模型其二：滚圆模型.7 只【考点三】几何模型其三：弓形模型.13 冥【考点四】几何模型其四：弯角模型… ..15 冥【考点五】几何模型其五：谷子模型（柳叶模型或花模型） .17 只【考点六】几何模型其六：金鱼模型。 .20 只【考点七】几何模型其七：圆方模型（方中圆与圆中方） .23 只【考点八】几何模型其八：圆环模型…。 ..27 冥【考点九】几何模型其九：补丁模型…。 .30 只【考点十】几何模型其十：海螺模型34 第2页共37页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 早【考点一】几何模型其一：捆圆模型 职方法点拨 1.捆圆模型。 如图所示，在把几个同样的圆紧捆一圈，求最短绳长时，绳长=每条线段长度 (一个圆的直径)×线段数量十一个圆的周长 2.解题步骤。 (1)计算线段总长度。 每条线段的长度与一个圆的直接相等，再乘线段数量。 (2)计算总弧长。 总弧长等于一个圆的周长。 (3)相加。 将线段总长度与总弧长相加。 目考察形式 应用 ③动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4 分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 解析： 第3页共37页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (4×3+3.14×4)×2 =(12+12.56)×2 =24.56×2 =49.12(分米) 答：至少需要49.12分米的铁丝。 0【对应练习1】 如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 解析： 3.14×15+15×2 =47.1+30 =77.1(cm) 答：每周需要绳子771厘米。 0【对应练习2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长 的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 00 解析： 6×4+3.14×6+15 =24+18.84+15 =57.84(厘米) 第4页共37页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 答：这根绳子长57.84厘米。 肥【对应练习3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为 3厘米。 第①组 第②组 第③组 (1)像这样继续捆下去，第④组至少需要( )厘米的绳子。请说明理由。 (2)按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要( )厘米的绳子。 【答案】(1)57.42，理由见详解 (2)(9.42+12n) 【分析】如下图所示，第1组中，四个角落为4个子的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算 出一个圆的周长，其次在两个圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为 个直径，图中有4条边，那么共有4条直径，则周长为：一个圆的周长+4条直径的长度： 第2组与第1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了4 条直径，则周长为：一个圆的周长十8条直径的长度 第3组与第2组比较，每条边又多了1个圆，则周长比第2组又多了4条直径，则周长为： 个圆的周长+12条直径的长度： 由以上分析可得，每增加一组都会增加4条直径，第1组为4条直径，第2组为2×4条直径， 第3组为3×4条直径，由此规律可得第n组为n×4条直径，则可以推算出第n组的周长为： 一个圆的周长+4条直径的长度，己知一个圆的直径为3厘米，则可以推算出第n组的周长 为：一个圆的周长+3×4n,即一个圆的周长+12，据此即可解答。 【详解】(1)理由： 第5页共37页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第①组：3×3.14+12×1 =9.42+12 =21.42(厘米) 第②组 3×3.14+12×2 =9.42+24 =33.42(厘米) 第③组 3×3.14+12×3 =9.42+36 =45.42(厘米) 第④组 3×3.14+12×4 =9.42+48 =57.42(厘米) (2)3×3.14+3×4×n =(9.42+12m)厘米 【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。 第6页共37页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点二】几何模型其二：滚圆模型 冥方法点拨 1.滚圆棋型。 如图所示，圆紧贴着多边形滚动时，滚动的圆扫过的面积=多边形的周长×滚 动圆的直径十Π×滚动圆的直径×滚动圆的直径。 2.注意。 滚动模型较为抽象，圆围绕不同多边形滚动时，计算方式有所不同，因此， 在解题过程中可尝试画出滚动后的示意图，以便于理解和计算。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，一枚直径是1厘米的小圆片沿着一个正方形外边缘滚动一周。已知正方形的边长是3 厘米，那么小圆片扫过的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】15.14平方厘米 【分析】 如图： 小圆扫过的面积有这样4个面积的和，这样的一个面积等于 第7页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 半径是1厘米圆的面积的，再加上长是3厘米，宽是1厘米长方形的面积的和；根据圆的面 积公式：面积=π×半径2，长方形面积公式：面积=长×宽，代入数据，求出一个这样的面积， 再乘4，即可解答。 【详解】(3.14×12×号+3×1)×4 (3.14×1+3)×4 =(314x号+3)×4 1 =3.14××4+3×4 4 =3.14+12 =15.14(平方厘米) 答：小圆片扫过的面积是15.14平方厘米。 肥【对应练习1】 下面图中的长方形ABCD的长BC为30厘米、宽CD为10厘米，圆O的直径为10厘米。 A D 图(1) 图(2) (1)如上图（1)所示，圆不动，长方形以每秒2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆 完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ (2)如上图(2)所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆O滚到长方形的 顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点C)后继续滚动。那么圆O扫过的面积是多 少平方厘米？ 【答案】(1)10秒 (2)1114平方厘米 【分析】(1)当长方形ABCD平移到长方形ABCD'的位置时，圆完全被长方形包围在内。 此时，长方形需要平移的距离是原来长方形左边到完全包含圆时左边的距离，即30一10=20 (厘米)。已知长方形以每秒2厘米的速度平移，用平移的距离除以平移的速度，即可求出平 第8页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 移所需的时间。 A A D D 10cm B B 20cm 30cm (2)圆O沿长方形滚过一周扫过的面积可以分成三部分，如下图所示： A D 30 10 B 第一部分：圆O在长方形的上下两条长滚动时，圆O扫过的面积是两个长为30厘米，宽为 10厘米的长方形的面积，根据长方形的面积=长×宽，代入数据计算即可： 第二部分：圆O在长方形的左右两条宽滚动时，圆O扫过的面积是两个边长为10厘米的正方 形的面积，根据正方形的面积=边长×边长，代入数据计算即可： 第三部分：圆0在绕四个顶点旋转一定角度后，圆O扫过的面积是四个半径为10厘米的圆 的面积，可以看作一个半径为10厘米整圆的面积，根据圆的面积公式：S=π，代入数据计 算即可； 最后把这三部分的面积加在一起，即可求出O扫过的面积。 【详解】(1)(30-10)÷2 =20÷2 =10(秒) 答：圆完全被长方形包含在内的时间一共有10秒。 (2)30×10×2=600(平方厘米) 10×10×2=200(平方厘米) 3.14×102-4×4 =3.14×100÷4×4 =314÷4×4 =314(平方厘米) 第9页共37页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 600+200+314=1114(平方厘米) 答：0扫过的面积是1114平方厘米。 【点睛】这道题主要是分析长方形的平移和圆的滚动过程，通过作图的方法体现出长方形平移 的距离以及圆的运动轨迹所形成的图形。 即【对应练习2】 社团制作木质三角形轨道：一个半径1cm的圆从B点出发，沿着边长6厘米的等边三角形的 外壁滚动（无滑动），最后回到原来的位置。圆心经过的路程是多少厘米？（兀取3） 【答案】24厘米 【分析】 0 90 圆心经过的路线如图 60° 改路线由3条6厘米的线段与3条半径是1厘米，圆 心角是(360°-90°×2-60°)的扇形的弧组成，这3条扇形的弧长总和恰好是1个半径1厘米 的圆的周长，圆的周长=2×圆周率×半径，据此列式解答。 【详解】6×3+2×3×1 =18+6 =24(厘米) 答：圆心经过的路程是24厘米。 【点睛】关键是弄清楚圆心经过的路线，掌握并灵活运用圆的周长公式。 肥【对应练习3】 下面图中的长方形ABCD的长BC为30厘米、宽CD为10厘米，圆O的直径为10厘米。 第10页共37页