3.1函数的概念及其表示(第1课时)教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数的概念及其表示”，通过气温变化曲线、购物金额计算等生活实例导入，衔接初中变量定义，引导学生从集合视角理解函数，搭建新旧知识支架。 以情境驱动和问题链引导为特色，通过高速列车路程等多情境让学生抽象函数共同特征（数学眼光），分组讨论归纳定义培养逻辑推理（数学思维），表格梳理函数三要素及例题分析强化数学表达（数学语言），助力学生深化概念理解，提升教师教学实效。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 3.1 函数的概念及其表示 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.通过具体实例，理解函数的定义，明确函数的三要素，并能清晰阐述函数概念的内涵。 2.初步掌握判断两个函数是否为同一函数的方法。 3.能正确使用“y = f(x)”的表示方法，理解符号“f(x)” 的含义。 教学内容 教学重点： 1.理解函数的定义，掌握函数的三要素。 2.会用“y = f(x)”表示函数，理解符号“f(x)”的意义。 3.掌握判断两个函数是否为同一函数的方法。 教学难点： 1.理解函数定义中“任意一个”“唯一确定”的含义。 2.判断一个对应关系是否为函数，尤其是集合元素为非数集。 教学过程 1、 情境导入 展示生活中的函数实例： 实例1：展示某城市一天 24 小时的气温变化曲线图 提问：“在这一天中，对于每一个时刻，都有唯一的气温与之对应吗？”引导学生观察图形，得出结论：是的，每一个时刻对应唯一的气温。 实例2：某商店出售一种书写笔，单价为 8 元，提问：“购买的书写笔数量与应付的总金额之间存在怎样的关系？对于每一个购买数量，应付的总金额是唯一确定的吗？”学生思考后回答：总金额= 8×数量，对于每一个购买数量，总金额都是唯一确定的。 “初中所学的函数概念能描述所有的函数关系吗？比如，集合A={1,2,3}，集合B={2,4,6}，对应关系 f：x→2x，这个对应关系是不是函数呢？” 教师引导：我们先一起回顾下初中阶段学习的函数定义，谁能说说，在初中数学里，函数指的是什么？ 学生回应：（预设）初中函数是指在一个变化过程中，有两个变量x和 y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，x是自变量，y是因变量。 教师补充：非常准确。那结合这个定义，大家回忆一下，初中阶段我们已经学过哪些具体的函数呢？ 学生列举：（预设）一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数。 教师总结：没错，这些函数都是通过“变量对应”的关系来定义的，它们也成为了我们刻画现实中变量之间关系的重要数学模型。 在初中已经明确了函数的定义，并且能用它研究一次函数、反比例函数、二次函数的性质和应用后，大家有没有想过一个问题：既然初中已经有了函数的概念，为什么到了高中，我们还要重新学习和定义函数呢？引导学生思考，引出本节课的主题——函数的概念及其表示。 二、自主预习 请同学们结合以下任务，自主阅读课本第 60-65 页内容。 仔细梳理课本中关于函数的新定义，思考：在“集合”这一数学视角下，函数是如何被定义的？请尝试用自己的语言概括定义中的核心内容。​ 阅读时重点关注定义延伸部分，分析并总结：构成一个函数，需要包含哪三个必不可少的要素？请分别说明每个要素的具体含义。​ 三、新知探究 1.函数的概念 情境1：某“复兴号”高速列车到 350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。 t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤0.5}， S 的变化范围是数集 B={S|0≤S≤175}。 对于A中的任一时刻 t，按照对应关系S=350t，在B中都有唯一确定的路程S和它对应。 问题：情境中“对于 A 中的任一时刻t，按照对应关系 S=350t，在B中都有唯一确定的路程S和它对应”，请举例说明：任取A中的一个t值（如 t=0.2h），对应的S值是多少？是否存在A中的一个t值对应B中两个不同的S值？这体现了函数对应关系的什么特点？​ 情境2：如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。你认为这里的空气质量指数I是时刻t的函数吗？ t的变化范围是数集A={t|0≤t≤24}， I的变化范围是数集B={I|0<I<150}。 问题： （1）对于数集A中任意一个时刻t，按照图像曲线给出的对应关系，在数集B中是否都能找到唯一确定的空气质量指数I与它对应呢？ （2）若从数集A里任选一个时刻t，依据曲线呈现的对应规则，在数集B中会不会出现有两个或多个不同的I值与这个t对应的情况？ 情境3：国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔 系数变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ y 的取值范围是数集A={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}， r 的取值范围是数集B={r|0<r≤1}。 问题： （1）对于数集A中的任一年份y，按照表格里给出的对应关系，在数集B中是不是都能找到唯一确定的r和它对应呢？ （2）若从数集A中任选一个年份y，依据表格呈现的对应规则，在数集B中会不会有两个或多个不同的r值与这个y对应？ 教师活动：引导学生回顾情境1到情境3的具体内容，提出核心问题：“我们已经分析了这几个情境中的函数关系，大家不妨讨论一下，这几个情境里的函数，有没有哪些共通的特征？” 在学生初步梳理共同特征后，进一步追问：“基于这些共同特征，大家能不能试着总结一下，函数概念最本质的特点是什么？也就是说，不管函数的对应关系是表达式、图像还是表格，它必须具备的核心属性是什么？” 组织学生分组讨论，过程中巡视指导，提醒学生结合每个情境中的数集、对应关系等关键要素展开分析，避免偏离主题。 学生活动：在教师启发点拨下归纳得出 3 个情境的共同属性： （1）都包含两个非空数集, 用 A,B 来表示； （2）都有一个对应关系（解析式、图像、表格等）； （3）对于数集 A 中的任意一个数x, 按照对应关系, 在数集 B中都有唯一确定的数y 和它对应. 由此得出函数的概念： 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任何一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x. 2.函数的定义域与值域： 函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 拓展延伸： （1） 函数的三要素：定义域、值域、对应关系（要求学生做笔记） 思考总结：用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，分别写出它们的定义域、对应关系、值域。 函数 定义域 对应关系 值域 一次函数 R y=kx+b R 二次函数 R y=ax2+bx+c(a>0) {y|y≥} 二次函数 R y=ax2+bx+c(a<0) {y|y≤} 反比例函数 {x|x≠0} y=(k≠0) {y|y≠0} 设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三个要素. （2）同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 例1 下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是(　　) 答案：D 总结：判断是否为函数（要求学生做笔记） 1.（图形判断）y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象. 2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 设计意图：让学生在完成例1的过程中，进一步加深对函数概念的理解。 例2　试判断以下各组函数是否表示同一函数: (1)f(x)=()2，g(x)=； (2)y=x0与y=1(x≠0); (3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z). 【解析】 (1)因为函数f(x)=()2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数. (2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数. (3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 总结：判断函数相等的方法（要求学生做笔记） 定义域优先原则 1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等. 2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 四、课堂小结 教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题： (1)什么是函数？函数的三要素是什么? (2)如何判断两个函数是否为同一函数? 设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解。 四、课后作业 1.教科书习题3.1第1, 11, 14题。 2.课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $