2.2有理数的加减运算(基础篇）2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

有理数的加减运算 2.2有理数的加减运算 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 正数与负数 2 课前复习 有理数的概念 有理数的分类 数轴 相反数 绝对值 新课探索 有理数的加法 5 新课探索 有理数的减法 题型练习 有理数的加法运算 7 题型练习 加法中的符号问题 加法在生活中的应用 加法运算律 有理数的减法运算 减法在生活中的应用 加减混合运算 简便运算 加减混合运算的应用 省略加法和括号的形式 易错点 18 易错点 总结 19 总结 课前复习 正数与负数 ①正数：大于0的数叫正数.(根据需要，有时在正数前面也加上“+” ②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫负数，与正数具有相反意义. ③0既不是正数也不是负数.0是正数和负数的分界，是唯一的中性数. 注意：弄清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等 1.一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号。 “一”号读作“负”,如：“—5”读作“负5”; “+”号读作“正”,如：“+3”读作“正3”。“+”号可以省略。 0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界或基准。 2.用正数和负数表示一些意义相反的量! 有理数的概念 有理数为整数(正整数、零、负整数)和分数的统称。 正整数和正分数统称为正有理数，负整数和负分数统称为负有理数。 有理数的分类 数轴 数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。(数轴的三个要素缺一不可，其中正方向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点。标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方) (1)定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴； (2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度； (3)原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； (4)数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数. 相反数 相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数. (1)数a的相反数是-a(a是任意一个有理数); (2)0的相反数是0 (3) 若a、b互为相反数，则a+b=0. 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 绝对值 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 绝对值的表示：用符号|a|表示数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。 如：4的绝对值是4,记作，|4|=4 3的绝对值是3,记作，|-3|=3 0的绝对值是0,记作，|0|=0 新课探索 1、 有理数的加法 首先确定和的符号，再把各加数的绝对值相加. ①同号两数相加，取相同的 符号,并把它们的绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数 有理数的加法运算律： ①两个有理数相加，交换位置，和不变； 加法交换律：a+b=b+a ②三个有理数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数 相加，和不变。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 【练习】计算：(-8)+(+5). 答案：-3 分析：原式=-3. 总结技巧： 对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： 1.其中的相反数相加； 2.再将正数、负数分别相加； 3.最后求出异号加数的和。遇到小数、分数时，可把相加得整数的先加起来。 2、 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 【练习】(+16)-(+5)-(-4). 答案：15 分析：(+16)-(+5)-(-4)=16+(-5)+4=15. 题型练习 有理数的加法运算 1．若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，有理数的加法，注意绝对值方程的解有两个． 根据相反数的定义求出x的值，根据绝对值的定义求出y的可能值，再分别计算． 【详解】∵ x的相反数是2， ∴． ∵， ∴或． 当 时，； 当 时，． ∴ 的值为 1 或 -5． 故选C． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则计算即可，掌握“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 加法中的符号问题 3．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 4．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 加法在生活中的应用 5．下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．水位先下降，再上升后的水位变化情况 B．某日最低气温为，温差为，该日最高气温 C．用12元钱购买3元文具后找回的零钱 D．数轴上表示3与12的两个点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用，注意距离需用绝对值计算，而非直接相加；根据有理数加法的实际意义，逐一判断各情境是否能用算式 表示，数轴上两点之间的距离需用绝对值计算，不能用加法算式直接表示． 【详解】解：A、水位下降记为，上升记为，变化量为，故本选项不符合题意； B、最高气温 = 最低气温 + 温差 = ，故本选项不符合题意； C、找回零钱 = 支付金额 - 消费金额 = ，可用表示（支出为负），故本选项不符合题意； D、数轴上点与的距离为，不能用表示，故本选项符合题意； 故选：D． 6．五峰毛尖，是中国名茶之一，最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法，解题的关键是掌握正数和负数的意义．求出五峰毛尖保存的温度的范围，即可得解． 【详解】解：，， 五峰毛尖最佳保存的温度为到， 只有不在范围内，A选项符合题意． 故选：A． 加法运算律 7．应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，解题的关键在于掌握加法的交换律和结合律． 先根据加法的交换律，加法的结合律等知识点进行判断，即可得出答案． 【详解】解：应用了加法交换律和加法结合律． 故选：C 8．与结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减．根据有理数的加减运算法则分别计算即可得到答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 有理数的减法运算 9．有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，那么关于的变形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的减法法则，根据减法法则变形即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C 10．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则是解题的关键． 根据有理数加减法的运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 减法在生活中的应用 11．如下是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（    ）． 【冷藏室】 【冷冻室】 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，温差等于冷藏室温度减去冷冻室温度． 【详解】解：∵温差 = 冷藏室温度冷冻室温度 ， ∴温差为， 故选D． 12．某日，曾母暗沙气温为 ，漠河气温为 ，则曾母暗沙比漠河高（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，求两地气温差，用较高温度减去较低温度，即可求解． 【详解】解：∵曾母暗沙气温为，漠河气温为， ∴曾母暗沙比漠河高：． 故选：C． 加减混合运算 13．把写成省略加号和括号的形式后的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，通过去括号和省略加号将式子简化即可． 【详解】解：∵ 减去一个数等于加上它的相反数，且正号可以省略， ∴ ， ， ， ， ∴ 原式 ， 故选：A ． 14．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算法则，先对每个选项中的算式去括号，省略括号和加号，再将结果与进行比较，选出正确选项． 【详解】解：A项：写成省略括号和加号的形式为，不符合题意； B项：写成省略括号和加号的形式为，符合题意； C项：写成省略括号和加号的形式为，不符合题意； D项：写成省略括号和加号的形式为，不符合题意． 故选：B． 简便运算 15．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 16．计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】根据加法交换律和结合律凑整计算即可求解． 【详解】解：计算最好的方法是运用加法交换律和结合律变形为 计算． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化是解题的关键． 加减混合运算的应用 17．某地一天早晨气温为，中午上升了，晚上又下降了，则晚上的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的应用，根据题意，利用有理数的加减法列式，计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：A． 18．手机支付给生活带来便捷，如图是小王周日微信账单的收支明细（其中，正数表示收入，负数表示支出，单位：元），他当天微信收支的最终结果是（   ） 微信红包——来自小明 某平台商户 扫二维码付给水果店 A．收入15元 B．支出2元 C．支出17元 D．支出9元 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减应用，根据有理数的加减运算法则进行计算，最后根据结果的正负，即可求解． 【详解】解：依题意得， 即支出2元， 故选：B． 省略加法和括号的形式 19．把算式中的各个加数及前面的运算符号“+”省略不写，可写成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键；利用有理数的加减法法则，省略运算符号“”． 【详解】解： 故选：B． 20．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 易错点 1. 符号处理错误 · 在加减运算中，容易忽略数字符号的变化。例如，在计算 时，误以为结果是 ，而正确答案是 。 2. 绝对值混淆 · 对于涉及绝对值的运算，学生常将绝对值与数值本身混淆。例如， 被误算为 ，而实际应为 。 3. 括号展开错误 · 去掉括号时未正确处理符号变化。例如， 被错误展开为 ，而应为 。 4. 运算顺序混乱 · 当多个有理数混合运算时，不按照从左到右的顺序进行计算。例如， 被错误地先计算 ，再加 ，导致结果出错。 5. 零的特殊性忽视 · 忽略零在加减法中的作用。例如， 被误认为仍是 $0$，而正确答案是 $3$。 6. 分数或小数形式转换失误 · 将分数和小数互相转换时出现错误。例如， 被误算为非零值，而实际上两者相等，结果应为 $0$。 7. 负数比较误解 · 在涉及大小比较的题目中，误判两个负数的大小关系。例如，认为 ，而实际应为 。 8. 漏写单位或答案格式错误 · 在应用题中，计算完成后忘记添加单位或者未按要求书写最终答案的形式（如用分数而非小数表示）。 总结 有理数的加法 首先确定和的符号，再把各加数的绝对值相加. ①同号两数相加，取相同的 符号,并把它们的绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数 有理数的加法运算律： ①两个有理数相加，交换位置，和不变； 加法交换律：a+b=b+a ②三个有理数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数 相加，和不变。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 总结技巧： 对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： 1.其中的相反数相加； 2.再将正数、负数分别相加； 3.最后求出异号加数的和。遇到小数、分数时，可把相加得整数的先加起来。 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的加减运算 2.2有理数的加减运算 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 正数与负数 课前复习 有理数的概念 有理数的分类 数轴 相反数 绝对值 新课探索 有理数的加法 新课探索 有理数的减法 题型练习 有理数的加法运算 题型练习 加法中的符号问题 加法在生活中的应用 加法运算律 有理数的减法运算 减法在生活中的应用 加减混合运算 简便运算 加减混合运算的应用 省略加法和括号的形式 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 正数与负数 ①正数：大于0的数叫正数.(根据需要，有时在正数前面也加上“+” ②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫负数，与正数具有相反意义. ③0既不是正数也不是负数.0是正数和负数的分界，是唯一的中性数. 注意：弄清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等 1.一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号。 “一”号读作“负”,如：“—5”读作“负5”; “+”号读作“正”,如：“+3”读作“正3”。“+”号可以省略。 0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界或基准。 2.用正数和负数表示一些意义相反的量! 有理数的概念 有理数为整数(正整数、零、负整数)和分数的统称。 正整数和正分数统称为正有理数，负整数和负分数统称为负有理数。 有理数的分类 数轴 数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。(数轴的三个要素缺一不可，其中正方向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点。标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方) (1)定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴； (2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度； (3)原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； (4)数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数. 相反数 相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数. (1)数a的相反数是-a(a是任意一个有理数); (2)0的相反数是0 (3) 若a、b互为相反数，则a+b=0. 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 绝对值 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 绝对值的表示：用符号|a|表示数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。 如：4的绝对值是4,记作，|4|=4 3的绝对值是3,记作，|-3|=3 0的绝对值是0,记作，|0|=0 新课探索 1、 有理数的加法 首先确定和的符号，再把各加数的绝对值相加. ①同号两数相加，取相同的 符号,并把它们的绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数 有理数的加法运算律： ①两个有理数相加，交换位置，和不变； 加法交换律：a+b=b+a ②三个有理数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数 相加，和不变。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 【练习】计算：(-8)+(+5). 总结技巧： 对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： 1.其中的相反数相加； 2.再将正数、负数分别相加； 3.最后求出异号加数的和。遇到小数、分数时，可把相加得整数的先加起来。 2、 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 【练习】(+16)-(+5)-(-4). 题型练习 有理数的加法运算 1．若x的相反数是2，，则的值为（  ） A． B．1 C．1或 D．或5 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 加法中的符号问题 3．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 加法在生活中的应用 5．下列问题情境，不能用加法算式表示的是（   ） A．水位先下降，再上升后的水位变化情况 B．某日最低气温为，温差为，该日最高气温 C．用12元钱购买3元文具后找回的零钱 D．数轴上表示3与12的两个点之间的距离 6．五峰毛尖，是中国名茶之一，最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存的是（    ） A． B． C． D． 加法运算律 7．应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上都不对 8．与结果相同的是（   ） A． B． C． D． 有理数的减法运算 9．有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，那么关于的变形是（   ） A． B． C． D． 10．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 减法在生活中的应用 11．如下是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（    ）． 【冷藏室】 【冷冻室】 A． B． C． D． 12．某日，曾母暗沙气温为 ，漠河气温为 ，则曾母暗沙比漠河高（  ） A． B． C． D． 加减混合运算 13．把写成省略加号和括号的形式后的式子是（   ） A． B． C． D． 14．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 简便运算 15．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 16．计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 加减混合运算的应用 17．某地一天早晨气温为，中午上升了，晚上又下降了，则晚上的气温是（   ） A． B． C． D． 18．手机支付给生活带来便捷，如图是小王周日微信账单的收支明细（其中，正数表示收入，负数表示支出，单位：元），他当天微信收支的最终结果是（   ） 微信红包——来自小明 某平台商户 扫二维码付给水果店 A．收入15元 B．支出2元 C．支出17元 D．支出9元 省略加法和括号的形式 19．把算式中的各个加数及前面的运算符号“+”省略不写，可写成（   ） A． B． C． D． 20．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 易错点 1. 符号处理错误 · 在加减运算中，容易忽略数字符号的变化。例如，在计算 时，误以为结果是 ，而正确答案是 。 2. 绝对值混淆 · 对于涉及绝对值的运算，学生常将绝对值与数值本身混淆。例如， 被误算为 ，而实际应为 。 3. 括号展开错误 · 去掉括号时未正确处理符号变化。例如， 被错误展开为 ，而应为 。 4. 运算顺序混乱 · 当多个有理数混合运算时，不按照从左到右的顺序进行计算。例如， 被错误地先计算 ，再加 ，导致结果出错。 5. 零的特殊性忽视 · 忽略零在加减法中的作用。例如， 被误认为仍是 $0$，而正确答案是 $3$。 6. 分数或小数形式转换失误 · 将分数和小数互相转换时出现错误。例如， 被误算为非零值，而实际上两者相等，结果应为 $0$。 7. 负数比较误解 · 在涉及大小比较的题目中，误判两个负数的大小关系。例如，认为 ，而实际应为 。 8. 漏写单位或答案格式错误 · 在应用题中，计算完成后忘记添加单位或者未按要求书写最终答案的形式（如用分数而非小数表示）。 总结 有理数的加法 首先确定和的符号，再把各加数的绝对值相加. ①同号两数相加，取相同的 符号,并把它们的绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数 有理数的加法运算律： ①两个有理数相加，交换位置，和不变； 加法交换律：a+b=b+a ②三个有理数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数 相加，和不变。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 总结技巧： 对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： 1.其中的相反数相加； 2.再将正数、负数分别相加； 3.最后求出异号加数的和。遇到小数、分数时，可把相加得整数的先加起来。 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 1 学科网（北京）股份有限公司 $