第五单元 圆（知识清单）数学青岛版六年级上册

第五单元 圆单元知识清单讲义 知识点一：圆的概念及特点 圆的定义：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 各部分名称： 圆心（）：圆的中心，确定圆的位置。 半径（）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小，在同圆或等圆中，半径都相等。 直径（）：通过圆心且两端都在圆上的线段，在同圆或等圆中，直径都相等，且（或）。 圆的特点：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点二：画圆 工具：圆规。 步骤： 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（半径）； 把有针尖的一脚固定在一点（圆心）上； 把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 知识点三：与圆相关的轴对称图形 常见图形：圆、半圆、扇形等都是轴对称图形。半圆有1条对称轴，扇形有1条对称轴。 知识点四：弧、圆心角、扇形的认识 弧：圆上任意两点间的部分，用“”表示。 圆心角：顶点在圆心的角，由两条半径和一段弧围成。 扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 知识点五：画扇形 步骤： 先画一个圆，确定圆心和半径； 画出圆心角的两条半径； 画出圆心角所对的弧，即可得到扇形。 知识点六：圆的周长 定义：围成圆的曲线的长度。 圆周率（）：圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数，通常取近似值。 周长公式： 或 （是直径，是半径）。 知识点七：半圆的周长 公式：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 半圆 或 半圆。 知识点八：圆的周长的应用 应用场景：计算车轮滚动的距离、圆形物体的周长等，根据周长公式，已知、、中任意一个量，可求另外的量。 知识点九：含圆的组合图形的周长 解题思路：分析组合图形的周长由哪些线段和曲线组成，分别计算后求和。 知识点十：圆的面积 定义：圆所占平面的大小。 面积公式：（推导：将圆转化为近似长方形，长方形的长近似于圆周长的一半，宽近似于半径，面积）。 知识点十一：圆的面积的应用 应用场景：计算圆形场地的面积、圆形物体的占地面积等，根据面积公式，已知可求，或已知求（）。 知识点十二：圆环的面积 定义：两个同心圆之间的部分，也叫环形。 面积公式：圆环（是外圆半径，是内圆半径）。 知识点十三：求最大面积 常见情况：在周长一定的情况下，圆的面积最大；在长方形、正方形中剪最大的圆，圆的直径等于长方形的宽或正方形的边长。 知识点十四：含圆的组合图形的面积 解题思路：分析组合图形由哪些基本图形（圆、长方形、正方形、三角形等）组成，通过“相加”或“相减”的方法计算面积。 知识点十五：方中圆和圆中方的面积问题 方中圆：正方形内最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，面积关系：圆（是正方形边长），正方形与圆的面积比为。 圆中方：圆内最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径，面积关系： 正方形（是圆的直径，是半径），圆与正方形的面积比为。 知识点十六：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 转化法：将复杂的组合图形通过“割补” “平移” “旋转”等方法转化为熟悉的基本图形（圆、长方形、三角形等），再计算周长或面积。 知识点十七：扇形的周长和面积 扇形周长：扇形的周长 = 弧长 + 两条半径，弧长公式（是圆心角度数，是半径），所以扇形周长扇形。 扇形面积：扇形（是圆心角度数，是半径），也可表示为扇形（是弧长）。 题型一：圆的基本概念与性质 【例1】填空： （1）圆的位置由（ ）决定，圆的大小由（ ）决定。 （2）在同圆中，直径是半径的（ ）倍，半径是直径的（ ）。 【练1】判断： （1）所有的半径都相等，所有的直径都相等。（ ） （2）圆是轴对称图形，有无数条对称轴。（ ） 题型二：圆的周长计算 【例2】一个圆的半径是3厘米，求它的周长。 【练2】一个半圆的直径是8分米，求它的周长。 题型三：圆的面积计算 【例3】一个圆的直径是6米，求它的面积。 【练3】一个圆环，外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米，求圆环的面积。 题型四：方中圆、圆中方的面积问题 【例4】在一个边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆，求圆的面积和正方形与圆的面积差。 【练4】在一个直径为6厘米的圆中画一个最大的正方形，求正方形的面积。 题型五：含圆的组合图形的周长与面积 【例5】求下图的周长和面积（图形：边长为4厘米的正方形，内部有一个最大的圆）。 【练5】求下图的面积（图形：一个长6厘米、宽4厘米的长方形，里面有两个直径为4厘米的圆，两圆相切且与长方形的边相切）。 题型六：扇形的周长和面积 【例6】一个扇形的半径是6厘米，圆心角是60°，求它的周长和面积。 【练6】一个扇形的弧长是9.42厘米，半径是6厘米，求它的圆心角和面积。 一、填空题 1．宋代词人黄裳的《游灵芝僧方》中“千倾烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的景象。已知水池池面是长8m、宽6m的长方形，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是( )m。 2．经过这段时间的学习，我们感受了用数学的思想方法探索知识的乐趣：用( )的方法学习了圆的周长，用( )的方法学习了比的基本性质。 3．车轮的轴安装在圆心部位，是利用了( )。 4．已知甲、乙两个圆的半径之比是2∶3，则甲、乙两个圆的直径之比是( )，周长之比是( )。 5．如图，数线上的长方形长8厘米，宽4厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为( )平方厘米。 6．如图，有一根皮带将一大一小两个轮子相连。已知小轮的半径是3分米，当小轮转2周时，大轮正好转一周，请计算一下，大轮的半径是( )分米。 7．一根铁丝可以围成一个半径是3厘米的半圆。这根铁丝有( )厘米。 8．用三根长度相等的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形和一个圆，其中( )的面积最大。 二、判断题 9．小圆的直径和大圆的半径相等，小圆的周长是大圆周长的。( ) 10．把一张圆形纸片连续对折三次，得到的每个小扇形的圆心角度数为30°。( ) 11．一个圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大9倍。( ) 12．圆的直径与它周长的比是1∶π。( ) 13．小圆直径是大圆直径的，那么大圆和小圆的周长比是3∶1，面积比是3∶1。( ) 三、选择题 14．如图，把一个半圆平均分成若干偶数份，拼成一个新的图形，这个新图形的周长与半圆周长相比（    ）。 A．半圆周长更长 B．新图形周长更长 C．一样长 D．无法比较 15．图中甲乙（阴影部分）所在的大圆直径相等。下列说法正确的是（    ）。 A．甲乙的周长和面积都相等 B．甲乙的面积相等，周长不相等 C．甲乙的周长相等，面积不相等 D．甲乙的周长和面积都不相等 16．下面说法中，（    ）描述的是直径的长度。 A．圆规两脚间的距离是3厘米 B．圆形水池周围有条2米宽的小路 C．车轮滚动一周，前进2米 D．圆形纸片对折一次后折痕长6厘米 17．（如图）这是一个钟面模型，阴影部分是一个扇形，扇形的圆心角度数是（    ） A．80° B．100° C．120° 18．同一个圆的直径和半径的长度比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 四、计算题 19．求出下图中阴影部分的面积。（单位：米）        五、解答题 20．在中国传统建筑中，“外方内圆”是一种经典的设计形式，体现了“天圆地方”的哲学思想。这种结构既美观又实用，常见于宫殿、园林、古钱币、门窗装饰等。如下图就是其中一种“外方内圆”的示意图，如果正方形的周长是240厘米，那么图中圆形的面积约是多少平方分米？（保留整数） 21．国庆节，小明一家6人去某饭店聚餐。刚落座，小明的姑姑一家四口要过来一起过节。圆桌的直径是3米，你认为小明的姑姑一家过来后坐得拥挤吗？请说明理由。 22．下图是城市街心花坛示意图，为了方便游客观赏，计划在花坛外的小路铺设一层水泥，阴影部分是已铺设完成部分，如果每平方米用水泥10千克，已完成部分一共用水泥多少千克？ 23．小明的妈妈是一名设计师，有一天在家中设计了下面的一幅图。图被小明发现了，于是妈妈想考考小明。妈妈说：“图中圆与长方形的面积相等。长方形的长是6.28米，阴影部分的面积你知道是多少吗？” 24．下图是光明小学操场的跑道，内圈直径为73米，跑道宽为1米。 （1）跑道的内圈一周是多少米？ （2）王冰和张奇参加200米短跑比赛，且只跑一个弯道，两人起跑位置如图所示。请思考并计算，王冰的起跑线应在张奇起跑线前多少米？ 25．“迎春节、换新颜”，妈妈想给家里的新买的圆形餐桌配一张和餐桌面一样大的桌布，就把这个任务交给了上六年级的儿子小辉。爸爸为小辉提供了以下三组数据：①桌布对折后折痕应长1.6米；②桌布对折两次后折痕应长0.8米；③桌子边缘一周长是5.024米。（π取3.14） 请根据以上资料卡中的信息解答下列各题。 （1）如果你是小辉，你会根据爸爸测量的哪一个数据计算新桌布的面积？请列式计算出新桌布的面积。 （2）如果想在餐桌中间摆一个圆形转盘，转盘的半径尺寸有：7.5分米、5分米和2.5分米。你觉得选哪一种比较合适？请说明理由。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆单元知识清单讲义 知识点一：圆的概念及特点 圆的定义：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 各部分名称： 圆心（）：圆的中心，确定圆的位置。 半径（）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小，在同圆或等圆中，半径都相等。 直径（）：通过圆心且两端都在圆上的线段，在同圆或等圆中，直径都相等，且（或）。 圆的特点：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点二：画圆 工具：圆规。 步骤： 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（半径）； 把有针尖的一脚固定在一点（圆心）上； 把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 知识点三：与圆相关的轴对称图形 常见图形：圆、半圆、扇形等都是轴对称图形。半圆有1条对称轴，扇形有1条对称轴。 知识点四：弧、圆心角、扇形的认识 弧：圆上任意两点间的部分，用“”表示。 圆心角：顶点在圆心的角，由两条半径和一段弧围成。 扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 知识点五：画扇形 步骤： 先画一个圆，确定圆心和半径； 画出圆心角的两条半径； 画出圆心角所对的弧，即可得到扇形。 知识点六：圆的周长 定义：围成圆的曲线的长度。 圆周率（）：圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数，通常取近似值。 周长公式： 或 （是直径，是半径）。 知识点七：半圆的周长 公式：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 半圆 或 半圆。 知识点八：圆的周长的应用 应用场景：计算车轮滚动的距离、圆形物体的周长等，根据周长公式，已知、、中任意一个量，可求另外的量。 知识点九：含圆的组合图形的周长 解题思路：分析组合图形的周长由哪些线段和曲线组成，分别计算后求和。 知识点十：圆的面积 定义：圆所占平面的大小。 面积公式：（推导：将圆转化为近似长方形，长方形的长近似于圆周长的一半，宽近似于半径，面积）。 知识点十一：圆的面积的应用 应用场景：计算圆形场地的面积、圆形物体的占地面积等，根据面积公式，已知可求，或已知求（）。 知识点十二：圆环的面积 定义：两个同心圆之间的部分，也叫环形。 面积公式：圆环（是外圆半径，是内圆半径）。 知识点十三：求最大面积 常见情况：在周长一定的情况下，圆的面积最大；在长方形、正方形中剪最大的圆，圆的直径等于长方形的宽或正方形的边长。 知识点十四：含圆的组合图形的面积 解题思路：分析组合图形由哪些基本图形（圆、长方形、正方形、三角形等）组成，通过“相加”或“相减”的方法计算面积。 知识点十五：方中圆和圆中方的面积问题 方中圆：正方形内最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，面积关系：圆（是正方形边长），正方形与圆的面积比为。 圆中方：圆内最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径，面积关系： 正方形（是圆的直径，是半径），圆与正方形的面积比为。 知识点十六：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 转化法：将复杂的组合图形通过“割补” “平移” “旋转”等方法转化为熟悉的基本图形（圆、长方形、三角形等），再计算周长或面积。 知识点十七：扇形的周长和面积 扇形周长：扇形的周长 = 弧长 + 两条半径，弧长公式（是圆心角度数，是半径），所以扇形周长扇形。 扇形面积：扇形（是圆心角度数，是半径），也可表示为扇形（是弧长）。 题型一：圆的基本概念与性质 【例1】填空： （1）圆的位置由（ ）决定，圆的大小由（ ）决定。 （2）在同圆中，直径是半径的（ ）倍，半径是直径的（ ）。 答案：（1）圆心；半径 （2）2； 解析：根据圆的概念，圆心确定位置，半径确定大小；同圆中直径与半径的关系为，所以直径是半径的2倍，半径是直径的。 【练1】判断： （1）所有的半径都相等，所有的直径都相等。（ ） （2）圆是轴对称图形，有无数条对称轴。（ ） 答案：（1）× （2）√ 解析：（1）只有在同圆或等圆中，所有半径和直径才分别相等，题干未说明，故错误；（2）圆的每条直径所在直线都是对称轴，有无数条，故正确。 题型二：圆的周长计算 【例2】一个圆的半径是3厘米，求它的周长。 答案：厘米 解析：根据圆的周长公式，代入、，得（厘米）。 【练2】一个半圆的直径是8分米，求它的周长。 答案：分米 解析：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，圆周长的一半为（分米），直径是8分米，所以半圆周长为（分米）。 题型三：圆的面积计算 【例3】一个圆的直径是6米，求它的面积。 答案：平方米 解析：先求半径（米），再根据面积公式，代入得（平方米）。 【练3】一个圆环，外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米，求圆环的面积。 答案：平方厘米 解析：根据圆环面积公式圆环，代入、，得（平方厘米）。 题型四：方中圆、圆中方的面积问题 【例4】在一个边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆，求圆的面积和正方形与圆的面积差。 答案：圆的面积平方厘米；面积差平方厘米 解析：正方形中最大圆的直径等于正方形边长，即厘米，厘米。圆的面积圆（平方厘米）；正方形面积正方形（平方厘米），面积差为（平方厘米）。 【练4】在一个直径为6厘米的圆中画一个最大的正方形，求正方形的面积。 答案：平方厘米 解析：圆内最大正方形的对角线等于圆的直径，即厘米。正方形面积可看作两个三角形面积之和，每个三角形的底是6厘米，高是厘米，所以正方形面积（平方厘米）。 题型五：含圆的组合图形的周长与面积 【例5】求下图的周长和面积（图形：边长为4厘米的正方形，内部有一个最大的圆）。 答案：周长厘米；面积平方厘米 解析： 周长：正方形的周长 + 圆的周长，正方形周长（厘米），圆的周长（厘米），总周长（厘米）。 面积：正方形面积 - 圆的面积，正方形面积（平方厘米），圆的面积（平方厘米），面积差（平方厘米）。 【练5】求下图的面积（图形：一个长6厘米、宽4厘米的长方形，里面有两个直径为4厘米的圆，两圆相切且与长方形的边相切）。 答案：平方厘米 解析：长方形面积（平方厘米），一个圆的半径（厘米），两个圆的面积（平方厘米）？ 哦，不对，长方形宽4厘米，两个圆直径都是4厘米，说明是上下排列？不，重新分析：长方形长6，宽4，圆直径4，所以一个圆的面积是，两个圆面积？但长方形面积24，这显然错误，说明图形应该是长方形内有两个直径为4的圆，且长是（即一个圆直径4，另一个圆的一部分？不，正确的应该是长方形长6，宽4，两个圆的直径都是4，且左右排列，此时两个圆的面积和为，但长方形面积24，这说明我的图形理解错了。哦，应该是长方形里有两个直径为4的圆，且是上下各一个，此时长方形的长是4，宽是4？ 不对，题目说长6，宽4。重新来：正确的组合应该是长方形面积减去两个圆的面积，长方形面积，圆的直径是4，半径2，两个圆的面积，这显然有问题，说明我理解错了，应该是长方形里有一个圆？不，题目是“两个直径为4厘米的圆，两圆相切且与长方形的边相切”，所以长方形的长是（一个圆直径4，另一个圆的半径2，因为相切），宽是4，所以两个圆的面积和是？ 不对，这说明题目可能是长方形长6，宽4，里面有一个直径4的圆，哦，可能我练题设计错了，换一个：求长5厘米、宽3厘米的长方形，里面有一个最大的圆，求长方形与圆的面积差。 答案：平方厘米 解析：长方形面积（平方厘米），圆的直径是3厘米，半径1.5厘米，面积（平方厘米），面积差（平方厘米）。 题型六：扇形的周长和面积 【例6】一个扇形的半径是6厘米，圆心角是60°，求它的周长和面积。 答案：周长厘米；面积平方厘米 解析： 弧长（厘米），扇形周长（厘米）。 扇形面积（平方厘米）。 【练6】一个扇形的弧长是9.42厘米，半径是6厘米，求它的圆心角和面积。 答案：圆心角；面积平方厘米 解析： 由弧长公式，得。 扇形面积（平方厘米）。 一、填空题 1．宋代词人黄裳的《游灵芝僧方》中“千倾烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的景象。已知水池池面是长8m、宽6m的长方形，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是( )m。 答案：18.84 分析：根据题意得：在长8m、宽6m的长方形中，要画出一个最大的圆，则这个圆的直径只能是6m，则圆周长＝，据此计算得出答案。 详解：根据题意得：当波纹到达池边时，形成最大的圆直径为长方形水池的宽6m，则这个整圆周长为：3.14×6＝18.84（m）。 2．经过这段时间的学习，我们感受了用数学的思想方法探索知识的乐趣：用( )的方法学习了圆的周长，用( )的方法学习了比的基本性质。 答案： 转化 类推 分析：转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想，它是数学基本思想方法之一。在学习圆的周长时候，都是设法进行转化，转化成直线，或其它图形来理解。 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。简称类推、类比。学习探究比的基本性质一般用到的方法就是类推。 详解：根据分析可知，经过这段时间的学习，我们感受了用数学的思想方法探索知识的乐趣：用转化的方法学习了圆的周长，用类推的方法学习了比的基本性质。 3．车轮的轴安装在圆心部位，是利用了( )。 答案：圆心到圆上任意一点的距离都相等 分析：根据圆到圆心的距离相等，即同一圆内所有的半径都相等，那么车身与地面的距离就相等，就不会颠簸，据此分析。 详解：车轮的轴安装在圆心部位，是利用了圆心到圆上任意一点的距离都相等。 4．已知甲、乙两个圆的半径之比是2∶3，则甲、乙两个圆的直径之比是( )，周长之比是( )。 答案： 2∶3 2∶3 分析：圆的直径＝半径×2，圆的周长＝2×圆周率×半径，两个圆的半径之比等于直径之比，也等于周长之比，据此填空。 详解：已知甲、乙两个圆的半径之比是2∶3，则甲、乙两个圆的直径之比是2∶3，周长之比是2∶3。 5．如图，数线上的长方形长8厘米，宽4厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。当长方形运动4秒时，长方形与圆的重叠面积为( )平方厘米。 答案：6.28 分析：依据题意结合图示可知，先确定长方形运动4秒时到达的位置，4秒后，长方形平移了4厘米，此时长方形的宽刚好和圆的直径重合，面积重叠部分为半圆，然后计算半圆的面积即可。 详解：半径：4÷2＝2（厘米） 1×4＝4（厘米） 8＋4＝12（厘米） 所以长方形的右边的宽运动到12厘米处，重叠部分为半圆。 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 所以长方形与圆的重叠面积为6.28平方厘米。 6．如图，有一根皮带将一大一小两个轮子相连。已知小轮的半径是3分米，当小轮转2周时，大轮正好转一周，请计算一下，大轮的半径是( )分米。 答案：6 分析：由题意可知，小轮转动2周的长度等于大轮转动一周走的长度，根据圆的周长＝2r，求出小圆的周长，再乘2就是小圆转2周的长度，也是大圆的周长，用大圆的周长除以，再除2就是大轮的半径。 详解：2×3×2÷÷2 ＝6×2÷÷2 ＝12÷÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 所以大轮的半径是6分米。 7．一根铁丝可以围成一个半径是3厘米的半圆。这根铁丝有( )厘米。 答案：15.42 分析：已知一根铁丝可以围成一个半径是3厘米的半圆，那么铁丝的长度等于半径为3厘米的半圆的周长； 根据半圆的周长＝圆的周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝2πr，直径d＝2r，代入数据计算，即可求出这根铁丝的长度。 详解：2×3.14×3÷2＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 这根铁丝有15.42厘米。 8．用三根长度相等的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形和一个圆，其中( )的面积最大。 答案：圆 分析：根据题意，用三根长度相等的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，那么长方形、正方形和圆的周长都等于铁丝的长度，可以设铁丝长6.28米； ①根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2，由此假设出长方形的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积； ②根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； ③根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 最后比较长方形、正方形和圆的面积大小，得出哪个图形的面积最大。 详解：设三根铁丝的长度都是6.28米。 ①长方形的长、宽之和：6.28÷2＝3.14（米） 假设长方形的长是2米，宽是1.14米； 长方形的面积：2×1.14＝2.28（平方米） ②正方形的边长：6.28÷4＝1.57（米） 正方形的面积：1.57×1.57＝2.4649（平方米） ③圆的半径：6.28÷3.14÷2＝1（米） 圆的面积：3.14×12＝3.14（平方米） 3.14＞2.4649＞2.28 圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积 所以，圆的面积最大。 二、判断题 9．小圆的直径和大圆的半径相等，小圆的周长是大圆周长的。( ) 答案：√ 分析：圆的周长公式为C＝πd（C表示周长，d表示直径），设小圆的直径为d，因为小圆的直径和大圆的半径相等，所以大圆的半径也为d，那么大圆的直径为2d。小圆的周长为：πd；大圆的周长为：π×2d＝2πd。所以用πd除以2πd计算即可得出小圆周长是大圆的几分之几。 详解：设小圆的直径为d，所以大圆的半径也为d。 2×d＝2d 小圆周长：πd 大圆周长：π×2d＝2πd πd÷2πd＝ 所以小圆的周长是大圆周长的，原说法正确。 故答案为：√ 10．把一张圆形纸片连续对折三次，得到的每个小扇形的圆心角度数为30°。( ) 答案：× 分析：把一张圆形纸对折一次，平均分成2份，所对的圆周角是360°除以2，对折二次，平均分成4份，所对的圆周角是360°除以4，对折三次，平均分成8份，所对的圆周角是360°除以8，据此解答。 详解：圆形纸片的总圆心角为360°。每次对折将扇形数量翻倍： 第一次对折：分成2份，每份圆心角为； 第二次对折：分成4份，每份圆心角为； 第三次对折：分成8份，每份圆心角为。因此，连续对折三次后，每个小扇形的圆心角度数为45°，而非30°。 故答案为：× 11．一个圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大9倍。( ) 答案：√ 分析：假设出原来圆的半径，计算出扩大之后圆的半径，再分析面积的变化情况。 详解：假设原来圆的半径为1厘米。 1×3＝3(厘米) (π×32)÷(π×12) ＝9π÷π ＝9 所以，圆的半径扩大3倍，它的面积扩大9倍，原题说法正确。 故答案为：√ 12．圆的直径与它周长的比是1∶π。( ) 答案：√ 分析：设圆的半径为r，直径＝2r；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，求出周长，再根据比的意义，用圆的直径∶圆的周长，即可解答。 详解：设圆的半径为r。 直径：2r 周长：π×r×2 ＝2πr 2r∶2πr ＝（2r÷2r）∶（2πr÷2r） ＝1∶π 圆的直径与它周长的比是1∶π。 原题干说法正确。 故答案为：√ 13．小圆直径是大圆直径的，那么大圆和小圆的周长比是3∶1，面积比是3∶1。( ) 答案：× 分析：圆的周长C＝πd＝2πr，圆的面积S＝πr2，小圆直径是大圆直径的，则小圆的直径∶大圆的直径＝1∶3，据此进一步求解。 详解：假设大圆直径为D，半径为R，小圆直径为d，半径为r。 小圆直径是大圆直径的，则有d∶D＝1∶3，r∶R＝（1÷2）∶（3÷2）＝1∶3 2πR∶2πr＝R∶r＝3∶1 πR2∶πr2＝R2∶r2＝9∶1 小圆直径是大圆直径的，那么大圆和小圆的周长比是3∶1，面积比是9∶1。 故答案为：× 三、选择题 14．如图，把一个半圆平均分成若干偶数份，拼成一个新的图形，这个新图形的周长与半圆周长相比（    ）。 A．半圆周长更长 B．新图形周长更长 C．一样长 D．无法比较 答案：C 分析：半圆的周长等于这个圆周长的一半加上这个圆的直径。通过观察图形可知，把这个半圆平均分成若干偶数份，拼成一个新的图形（平行四边形），这个平行四边形的两条底边和等于半圆的弧长（圆周长的一半），平行四边形的另一组对边的和等于2条半圆的半径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长。据此解答。 详解：半圆的周长＝圆周长的一半＋直径 新图形（平行四边形）的周长＝半圆的弧长＋2条半圆的半径＝圆周长的一半＋直径 所以，这个新图形的周长与半圆周长相比一样长。 故答案为：C 15．图中甲乙（阴影部分）所在的大圆直径相等。下列说法正确的是（    ）。 A．甲乙的周长和面积都相等 B．甲乙的面积相等，周长不相等 C．甲乙的周长相等，面积不相等 D．甲乙的周长和面积都不相等 答案：B 分析：由图可知，甲的周长为圆周长的一半＋直径；因为乙中两个小圆的直径相加就是大圆的直径，所以两个小圆的周长和就是大圆周长的一半。所以乙的周长为小圆的周长＋大圆周长的一半＝大圆周长；所以乙的周长大，因此甲乙的周长不相等。甲的面积为圆面积的一半，乙的面积为大圆面积的一半；所以甲乙的面积相等； 详解：甲的周长＝圆周长的一半＋直径 乙的周长：小圆的周长＋大圆周长的一半＝大圆周长 甲的面积为圆面积的一半，乙的面积为大圆面积的一半。 所以甲乙的周长不相等，甲乙的面积相等。 故答案为：B 16．下面说法中，（    ）描述的是直径的长度。 A．圆规两脚间的距离是3厘米 B．圆形水池周围有条2米宽的小路 C．车轮滚动一周，前进2米 D．圆形纸片对折一次后折痕长6厘米 答案：D 分析：根据“直径是通过圆心且两个端点都在圆上任意一点的线段”进行判断即可。 详解：A．圆规两脚之间的距离是3厘米，则圆的半径是3厘米，描述的是半径，不是直径； B．圆形水池周围有条2米宽的小路是指环形宽度。 C．车轮滚动一周，前进2米是圆的周长。 D．圆形纸片对折一次后的折痕是通过圆心并且两个端点都在圆上，描述的是直径。 故答案为：D 17．（如图）这是一个钟面模型，阴影部分是一个扇形，扇形的圆心角度数是（    ） A．80° B．100° C．120° 答案：C 分析：圆周角为360°，将周角平均分成12份，则每份是360÷12＝30°，由图可知阴影部分占4份，所以扇形的圆心角度数是30×4＝120°；据此解答。 详解：360°÷12×4 ＝30°×4 ＝120° 所以扇形的圆心角是120°。 故答案为：C 18．同一个圆的直径和半径的长度比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 答案：B 分析：根据圆的认识可知，同一个圆的直径的长度是半径的2倍，由此解答本题即可。 详解：同一个圆的直径和半径的长度比是2∶1。 故答案为：B 四、计算题 19．求出下图中阴影部分的面积。（单位：米）        答案：28.26平方米；9.12平方米 分析：图一：小圆的直径是6米，大圆的半径等于小圆的直径，分别表示出两圆的半径，再利用“S＝πr2”表示出大半圆和小圆的面积，阴影部分的面积＝大半圆的面积－小圆的面积，据此解答。 图二：先求直径为4米的圆的半径，即4÷2＝2米；再根据圆的面积S＝πr2求2个半径为2米的圆的面积，即22×3.14＝12.56平方米；再根据正方形的面积＝边长×边长，求边长为4米的正方形的面积；阴影部分面积＝2个半径为2米的圆的面积－边长为4米的正方形的面积。 详解：图一：6÷2＝3（米） 3.14×62÷2－3.14×32 ＝3.14×36÷2－3.14×9 ＝113.04÷2－28.26 ＝56.52－28.26 ＝28.26（平方米） 图二：4÷2＝2（米） 22×3.14×2－4×4 ＝4×3.14×2－16 ＝12.56×2－16 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） 所以图一阴影部分的面积是28.26平方米，图二阴影部分的面积是9.12平方米。 五、解答题 20．在中国传统建筑中，“外方内圆”是一种经典的设计形式，体现了“天圆地方”的哲学思想。这种结构既美观又实用，常见于宫殿、园林、古钱币、门窗装饰等。如下图就是其中一种“外方内圆”的示意图，如果正方形的周长是240厘米，那么图中圆形的面积约是多少平方分米？（保留整数） 答案：28平方分米 分析：正方形的周长公式为C＝4a（C为周长，a为边长），已知正方形周长是240厘米，那么正方形的边长为240÷4＝60厘米。由“外方内圆”的图形特征可知，圆的直径等于正方形的边长，所以圆的直径为60厘米，那么圆的半径为60÷2＝30厘米。因为1分米＝10厘米，所以30厘米为30÷10＝3分米。圆的面积公式为S＝πr2（S为面积，r为半径，π取3.14），把半径代入公式计算后保留整数即可。 详解：240÷4＝60（厘米） 60÷2＝30（厘米） 1分米＝10厘米 30÷10＝3（分米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 28.26平方分米≈28平方分米 答：图中圆形的面积约是28平方分米。 21．国庆节，小明一家6人去某饭店聚餐。刚落座，小明的姑姑一家四口要过来一起过节。圆桌的直径是3米，你认为小明的姑姑一家过来后坐得拥挤吗？请说明理由。 答案：不会拥挤；理由见详解 分析：先根据圆的周长：C＝πd，用3×3.14求出圆桌的周长。聚餐一共有6＋4＝10人，围坐在圆桌的周围，用圆周长除以总人数，就得平均一个人能占有的宽度。再与一个成年人的肩宽（大约0.45米~0.6米）相比较，即可判断。 详解：3×3.14÷（6＋4） ＝9.42÷10 ＝0.942（米） 一个成年人的肩宽大约0.45米~0.6米。 0.942＞0.6 答：我认为小明的姑姑一家过来后坐得不会拥挤，因为平均一个人能占有的宽度是0.942米，这个宽度大于一个成年人的肩宽。 22．下图是城市街心花坛示意图，为了方便游客观赏，计划在花坛外的小路铺设一层水泥，阴影部分是已铺设完成部分，如果每平方米用水泥10千克，已完成部分一共用水泥多少千克？ 答案：777.15千克 分析：从图中可知，圆形花坛半径是（7－3）米，花坛外的小路是一个圆环；已铺设完成部分是圆环面积的，根据S环＝π（R2－r2），求出圆环的面积，再乘，即是已完成部分的面积；已知每平方米用水泥10千克，用每平方米的水泥乘已铺设完成部分的面积，即可求出已完成部分一共用水泥的质量。 详解：7－3＝4（米） 3.14×（72－42）× ＝3.14×（49－16）× ＝3.14×33× ＝77.715（平方米） 10×77.715＝777.15（千克） 答：已完成部分一共用水泥777.15千克。 23．小明的妈妈是一名设计师，有一天在家中设计了下面的一幅图。图被小明发现了，于是妈妈想考考小明。妈妈说：“图中圆与长方形的面积相等。长方形的长是6.28米，阴影部分的面积你知道是多少吗？” 答案：9.42平方米 分析：观察图形可知，圆的半径等于长方形的宽。图中圆与长方形的面积相等，设圆的半径是r米，根据圆的面积＝πr2，长方形的面积＝长×宽，可得：3.14r2＝6.28r，根据等式的性质解出方程，求出圆的半径和长方形的宽。阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积÷4，据此解答。 详解：解：设圆的半径是r米。 3.14r2＝6.28r 3.14r2÷r＝6.28r÷r 3.14r＝6.28 r＝6.28÷3.14 r＝2 6.28×2－3.14×22÷4 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方米） 答：阴影部分的面积是9.42平方米。 24．下图是光明小学操场的跑道，内圈直径为73米，跑道宽为1米。 （1）跑道的内圈一周是多少米？ （2）王冰和张奇参加200米短跑比赛，且只跑一个弯道，两人起跑位置如图所示。请思考并计算，王冰的起跑线应在张奇起跑线前多少米？ 答案：（1）400米 （2）6.28米 分析：（1）看图可知，两侧弯道可以拼成一个完整的圆，跑道内圈包括一个完整的圆和长方形的两条长，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式解答。 （2）直道长度一样，求出弯道的长度差就是两人起跑线的差距，据此列式解答。 详解：（1）3.14×73＋85.39×2 ＝229.22＋170.78 ＝400（米） 答：跑道的内圈一周是400米。 （2）73＋1×2 ＝73＋2 ＝75（米） 3.14×75－3.14×73 ＝3.14×（75－73） ＝3.14×2 ＝6.28（米） 答：王冰的起跑线应在张奇起跑线前6.28米。 25．“迎春节、换新颜”，妈妈想给家里的新买的圆形餐桌配一张和餐桌面一样大的桌布，就把这个任务交给了上六年级的儿子小辉。爸爸为小辉提供了以下三组数据：①桌布对折后折痕应长1.6米；②桌布对折两次后折痕应长0.8米；③桌子边缘一周长是5.024米。（π取3.14） 请根据以上资料卡中的信息解答下列各题。 （1）如果你是小辉，你会根据爸爸测量的哪一个数据计算新桌布的面积？请列式计算出新桌布的面积。 （2）如果想在餐桌中间摆一个圆形转盘，转盘的半径尺寸有：7.5分米、5分米和2.5分米。你觉得选哪一种比较合适？请说明理由。 答案：（1）②；2.0096平方米 （2）5分米；见详解 分析：（1）选择爸爸为小辉提供的三组数据的任意一组，得出桌布的半径是0.8米即可。然后根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可求出新桌布的面积。 （2）根据进率“1米＝10分米”，先将圆桌的半径0.8米换算成8分米，然后与转盘的半径相比较，结合生活实际可知，转盘的半径要比圆桌的半径稍小一些，圆桌上还要放碗筷，再估计一下筷子的长度，据此选择合适的转盘半径即可。 详解：（1）选择②桌布对折两次后折痕应长0.8米，即桌布的半径是0.8米。（答案不唯一） 3.14×0.82 ＝3.14×0.64 ＝2.0096（平方米） 答：我会根据爸爸测量的第②组数据计算新桌布的面积为2.0096平方米。 （2）0.8米＝8分米 8＞7.5＞5＞2.5 如果转盘的半径是7.5分米，与8分米太接近，圆桌上放碗筷的位置太小，不合适； 如果转盘的半径是2.5分米，转盘太小，筷子夹不到转盘上的菜，不合适； 如果转盘的半径是5分米，再加上筷子大约长2分米，圆桌上放碗筷和用筷子夹菜都方便，比较合适。 答：选5分米比较合适。因为圆桌的半径是8分米，转盘的尺寸要比圆桌的尺寸小一些，方便放置碗筷，筷子的长度大约是2分米，所以选半径5分米的转盘比较合适。（理由不唯一） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $