专题09 点、直线、圆的位置关系（数学竞赛真题汇编）九年级全国通用

专题09 点、直线、圆的位置关系 1．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，已知锐角的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·湖南湘西·竞赛）一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是 ． 3．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）已知四边形内接于一圆．若，，，则该圆半径的长为 ． 4．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点作的垂线交的延长线于点．连结交于点，若的半径为，则的周长为 ． 5．（2024九年级上·江苏南京·竞赛）如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为，点 A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是 ． 6．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至P，使，垂直于弦，垂足为点B，点D在上． (1)当与相切时，求的度数； (2)当D在上运动时，的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由． (3)设，求与之间的函数关系式． 7．（2023九年级·江西赣州·竞赛）如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 8．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）如图，为的直径，四边形内接于，交于点，的切线交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 9．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． (1)证明：的形状不变； (2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 10．（2023九年级·浙江宁波·竞赛）如图所示，为半圆的直径，在延长线上，是半圆上的一个动点，以为底边作等腰直角三角形（、、逆时针排列），已知，； (1)若为正三角形，求的长； (2)求四边形面积的最大值． 11．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，的边长为，为的外接圆，点为的中点，点为上一点，连接，且，连接交于点，过点作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)如果平分； ①用含的式子表示的值； ②求证：． 12．（2023九年级上·河北邯郸·竞赛）已知的两边分别与圆相切于点A，B，圆的半径为． (1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； (2)如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由． 1．（2024九年级·全国·竞赛）等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）下列结论正确的是（    ） A．同一个平面内的三点确定一个圆 B．三角形三条角平分线的交点是三角形的外心 C．一个圆有无数个内接三角形，一个三角形有无数个外接圆 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外切三角形，点分别是与的切点，如果，那么（    ）． A． B． C． D． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，有一个圆桶，里面装有两个不变形的球体，其中大球的半径为，小球的半径为，两球顶部到桶的顶部的距离分别为，那么桶的内部直径为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为矩形的中心，的半径为2，点是上一个动点，则面积的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D．7 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为半圆的直径，点为圆心，点为半圆上一点，点为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)过点A作的切线交的延长线于点，若的半径为，求的长度． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形为正方形，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：与的外接圆相切； (2)当时，判断和有怎样的数量关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，求与的比值． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知． (1)求的长； (2)求证：； (3)求由、和所围成的图形（阴影部分）的面积． 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知为的直径，将绕点旋转一定的角度后得到，交于点，连接，交于点，过点作，垂足为点． (1)求证：为的切线； (2)连接、，若 ， ，求的面积． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度． 14．（2025八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 点、直线、圆的位置关系 1．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，已知锐角的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设外接圆的半径为R，连接并延长交于点D，连接．先证明，根据垂线定义证明，，进而证明四边形是平行四边形，，进而证明是等边三角形，结合圆周角定理即可求出． 【详解】解：如图，设外接圆的半径为R，连接并延长交于点D，连接． ∵点O是的外心， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵H是的垂心， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C 2．（2024九年级下·湖南湘西·竞赛）一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式和切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用切线的性质和弧长公式解题即可． 【详解】解：由题意得：和分别与相切于点和点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴劣弧的长为：． 故答案为： ． 3．（2023九年级·北京朝阳·竞赛）已知四边形内接于一圆．若，，，则该圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，分别取、的中点、，连接，过作于，过作于，设圆心为，连接，，，，由圆内接四边形和得到，则，再根据垂径定理得到，，，，即可得到和是同一条直线，即在上，再由四边形、、都是矩形，得到，，， 设，半径，则，在和中，由勾股定理得到，解方程计算即可． 【详解】解：分别取、的中点、，连接，过作于，过作于，设圆心为，连接，，，， ∵四边形内接于一圆． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、的中点、， ∴，，，， ∵， ∴， ∴和是同一条直线，即在上， ∵，，，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，半径，则， 中，，则， 中，，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点作的垂线交的延长线于点．连结交于点，若的半径为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ， ， 设，则，． 由勾股定理得，即， 解得， ，， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ． 即的周长为． 故答案为：． 5．（2024九年级上·江苏南京·竞赛）如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为，点 A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是 ． 【答案】4 【详解】解：如图，取中点，连接，，，，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最大， ∵，中点， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，此时最大， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：4． 6．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至P，使，垂直于弦，垂足为点B，点D在上． (1)当与相切时，求的度数； (2)当D在上运动时，的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由． (3)设，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、圆周角定理的推论、相似三角形的性质、正切的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）当是的切线时，则，再利用直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出结论； （2）连接，是的直径，，证明，∽，进而即可求解； （3）连接，根据题意得出，证明∽，因为，代入即可求解． 【详解】（1）解：当是的切线时，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：为定值，理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∵， 则， 即， ∴； （3）解： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2023九年级·江西赣州·竞赛）如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)时间为秒和秒 (3)秒 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，点到圆的距离，一次函数的性质，切线的性质，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法． （1）分别令；，即可求出、的坐标； （2）可设动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，连接，则，，得到，利用相似三角形对应边的比等于相似比，可得，即，求出的值，即可得到此时的值，利用的长度结合速度即可求出时间；根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切，此时，； （3）可设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接，当时，点在动圆上，当时，点在动圆内，而当时，由对称性可知，有两种情况：①当点在轴下方时，，解之可得的值，②当点在轴上方时，，解之得的另一个值，进而可得到当时，，并且此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 【详解】（1）解：在中，令，得； 令，得， 故得、两的坐标为，； （2）解：若动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，如图所示，连接，则． ，， ， ，即， 则． 此时， （秒． 根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切， 此时． （秒． 综上，秒时或秒时该圆与直线相切； （3）解：设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接， ，， ， ， ， 点的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为， 可见：当时，点在动圆上，当时，点在动圆内． 当时，由对称性可知，有两种情况： ①当点在轴下方时，，解之得：； ②当点在轴上方时，，解之得：． 当时时，，此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 8．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）如图，为的直径，四边形内接于，交于点，的切线交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得，由得，根据等角对等边可得结论； （2）先证明，，由证明，得，；再求，，再证明得，利用可得结论. 【详解】（1）解：在中，∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵是的切线，是的直径， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵ ∴， ∴，． 在中，∵，， ∴，即． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵，且， ∴， ∴，即． ∵与都是所对的圆周角， ∴． 在中，， ∴，即． 9．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． (1)证明：的形状不变； (2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 【答案】(1)证明过程详见解答 (2) 【分析】（1）连接，作于，可求得和长，进而得出的正切值，可得出共圆，从而得出，进一步得出结论； （2）以所在的直线为轴，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于，可得出，从而得出，可设，从而得出，进而得出坐标，从而求得点坐标，进而得出点在一条线段上运动，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，连接，作于， ， ， ， ， ， 点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的形状不变； （2）解：如图2，以所在的直线为轴，以点为两坐标轴交点，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设， ， ， ∴点运动路线是一条线段， 当点在处时，， ， 当点在处时，作于， ， 即， ， ， ， ∴的中点的运动路径长为：． 10．（2023九年级·浙江宁波·竞赛）如图所示，为半圆的直径，在延长线上，是半圆上的一个动点，以为底边作等腰直角三角形（、、逆时针排列），已知，； (1)若为正三角形，求的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握基本知识点并能灵活应用是解答本题的关键． （1）连接、交于点，为正三角形，为等腰直角三角形，利用计算即可； （2）过点作交于点，设，，则，则四边形即可计算． 【详解】（1）解：连接、交于点， 为正三角形，，， ，， ， 等腰直角三角形， 垂直平分， ，为等腰直角三角形， ， ． （2）解：过点作交于点， 设，，则， ． 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为． 11．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，的边长为，为的外接圆，点为的中点，点为上一点，连接，且，连接交于点，过点作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)如果平分； ①用含的式子表示的值； ②求证：． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】（1）证明是等边三角形；进一步得到，证明，即可得到结论； （2）①证明，则，得到；②证明（I）．（II）．由（I）（II）得：．进一步整理即可得到结论． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ． ， ． ，， 是等边三角形； 连接．，． 是的切线 ． ， ， ； （2）①平分， ． ， ． 四边形是的内接四边形， ． ，且， ． ， ， ， ； ②平分， ∴点C到的距离相等， ∴ （I）． ，， ． ， ， （II）． 由（I）（II）得：． 即：． 等式两边除以得：， 即：． 12．（2023九年级上·河北邯郸·竞赛）已知的两边分别与圆相切于点A，B，圆的半径为． (1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； (2)如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，四边形为菱形，理由见解析． 【分析】（1）连接、，根据切线的性质和多边形内角和定理可得，然后结合已知求得，最后根据圆周角定理即可解答； （2）连接、，先观察发现当时，四边形APBC可能为菱形；然后利用结合（1）的解答过程可得，再根据点C运动到PC最大，即经过圆心；再说明四边形为轴对称图形结合已知条件得到，即可得到四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图1，连接、 ∵，为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形为菱形， 理由如下： 如图2：连接、 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∵点C运动到最大， ∴经过圆心， ∵、为的切线， ∴四边形为轴对称图形， ∵，，平分和， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 1．（2024九年级·全国·竞赛）等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形内切圆与外接圆，熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半． 设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径，即可求解． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是， ∵等腰直角三角形的内切圆半径是，外接圆半径是， ∴所以它们的比为． 故选：A． 2．（2024九年级·全国·竞赛）下列结论正确的是（    ） A．同一个平面内的三点确定一个圆 B．三角形三条角平分线的交点是三角形的外心 C．一个圆有无数个内接三角形，一个三角形有无数个外接圆 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，熟记圆的有关的概念是解决问题的关键．根据确定圆的条件及三角形与其外心之间的关系解答即可． 【详解】解：同一个平面不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，所以A错； 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，所以B错； 一个圆有无数个内接三角形，但只有一个外接圆，所以C错； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D正确． 故选：D 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外切三角形，点分别是与的切点，如果，那么（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，利用切线的性质求得，根据四边形内角和定理求得的度数，再利用圆周角中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵点分别是与的切点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求图形面积，不规则图形的面积一般要转化为一些规则图形的面积的和差来求解．利用勾股定理求出的半径，证明弓形，弓形，利用割补法将阴影部分面积转化成，即可求解． 【详解】解： 如图，连接，，， 设半径为，则， 是等腰直角三角形， ，， 两半圆相外切， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，、为两半圆直径， ， ，， 弓形，弓形， ． 故答案为：D． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，有一个圆桶，里面装有两个不变形的球体，其中大球的半径为，小球的半径为，两球顶部到桶的顶部的距离分别为，那么桶的内部直径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两圆相切，勾股定理．先求得和的长，再利用勾股定理求得的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 且， 由勾股定理得， ∴， 故选：D． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为矩形的中心，的半径为2，点是上一个动点，则面积的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形面积，直线与圆的位置关系等知识，得到面积最小时点P的位置是解答的关键． 连接，过B作于H，交于G，过G作，由勾股定理及面积相等可求得的长；当点P到的距离最短时，面积最小，此时点P与点G重合，进而求得面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过B作于H，交于G，过G作直线， ∵点为矩形的中心， ∴必过点O， 由勾股定理得：； ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴直线是的切线， ∴； 当点P到的距离最短时，即最短距离为的长时，面积最小，此时点P与点G重合， ∴面积的最小值为． 故选：D． 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用． 【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点三点共线时，最大，为的值， ∵为的内心，过作于点，于点， ∴四边形为正方形， 由直角三角形的内切圆半径为，即， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴最大值为， 故答案为：． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为半圆的直径，点为圆心，点为半圆上一点，点为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)过点A作的切线交的延长线于点，若的半径为，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为半圆的直径，得出，证明，从而可以证明结论； （2）根据已知条件先求出，，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 为半圆的直径， ， ， ，即， 为的切线． （2）解：的半径为， ， ， ， 都为切线， ， 设， 则根据勾股定理得：， 解得， ∴的长度为． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，四边形为正方形，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：与的外接圆相切； (2)当时，判断和有怎样的数量关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，求与的比值． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查切线的判定，全等石匠判定与性质，直角三角形的性质等知识： （1）证明得，由得，取的中点，连接，证明即可得出结论； （2）证明，得出进一步得出结论； （3）设，可求出，从而可得结论． 【详解】（1）证明：如图， 四边形为正方形， ， 又， ， ， 取的中点，连接， 则为外接圆的半径， ， ， ， 所以与的外接圆相切． （2）解：．理由如下： ， ， 而 ， ． （3）解：设，则， ， 由（2）知， ． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知． (1)求的长； (2)求证：； (3)求由、和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、求弧长、扇形面积公式、圆周角定理、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由题意得出，且半径，证明四边形为正方形，得出，，再由弧长公式计算即可得出答案； （2）证明得出，由圆周角定理结合对顶角相等得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得证； （3）由（1）（2）可得，求出，，，连接，再由阴影部分的面积为计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 点分别为与的切点， ，且半径， 为等腰直角的斜边， ，， 四边形为正方形， ，， ； （2）解：， ， ， 而， ， ， ， 又， ； （3）解：由上述结论可知，， ， ， ， 连接， 则， 阴影部分的面积为． 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知为的直径，将绕点旋转一定的角度后得到，交于点，连接，交于点，过点作，垂足为点． (1)求证：为的切线； (2)连接、，若 ， ，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) ． 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理和中位线的性质， （１）连接、，由圆周角定理得，通过则垂直平分，再根据中位线性质即可求证； （）由，垂直平分，可得，则，故有垂直平分，且，再通过勾股定理即可求解； 解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）∵，垂直平分， ∴， ∴， ∴垂直平分，且， ∴， 设与相交于点，则， 即，解得， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴的面积为． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据弦垂直平分，可得，再证为等边三角形，推出，结合和三角形外角的性质可得，进而推出，即可证明是的切线； （2）先证点、、共线，推出为的直径，，再根据直角三角形内切圆半径公式计算出的半径，进而根据含30度角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵弦垂直平分， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图，是的内切圆，切点为K，N，H，与交于点M， 由（1）知为等边三角形，则， ∵，， ∴，， ∵上的点为的内心， ∴平分， 又∵平分， ∴点、、共线， ∴为的直径，， ∴， ， ∴的内切圆的半径为， 即， ∵，， ∴， ∴． 14．（2025八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解； （4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点M，如图1， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，解得（负值舍去）， 平分，， ， ； （2）当与相切时，，如图2， 由题意得：， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 时，与相切； （3）第一种情况：如图3，当时满足条件， 在中， ， ， ， 过作交于， 则， ， ， 即，解得； 第二种情况：如图4，当时满足条件， 在中，， 又， ， ， 即，解得； 综上，或； （4）如图5，过圆心O作于点H，则的长为O到的距离，延长交于点K，过点Q作于点R， 则四边形是矩形，， ， ∵， ， ， ， ， 点O是的中点， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $