小专题4 一元二次方程的实际应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

小专题四 一元二次方程的实际应用 类型1传播与计数问题 (1)研究发现，每天销售量y与销售单价x 1.(2023·黑龙江)毕业前夕，班主任王老师让 满足一次函数关系，y与x之间的关系式 每一位同学为班级的其他同学发送祝福短 为 信，全班一共发送870条，这个班级的学生 (2)当地物价部门规定，该工艺品销售单价 总人数是 最高不能超过45元，那么销售单价定为 A.40 B.30 C.29 D.39 元时，工厂试销该工艺品每天可获 2.经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两 得利润8000元. 轮传染后，共有144人患上流感，按这样的 5.(2023·赣州赣县区校级期中)某青年旅社 传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染 有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当每 后患流感的人数共有 人 间客房的定价为每天200元时，所有客房都 类型2平均变化率问题 可以住满.每间客房定价每提高10元，就会 3.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期 有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅 间，前六天的总营业额为450万元，第七天 社还需要对每个房间支出20元/天的维护 的营业额是前六天总营业额的12%， 费用，设每间客房的定价提高了x元 (1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总 (1)填表；（不需化简） 营业额； 入住的房 房间价格 总维护费用 (2)去年，该商店7月份的营业额为350万 间数量 元，8,9月份营业额的月增长率相同，“十 提价前 60 200 60×20 一黄金周”这七天的总营业额与9月份 提价后 的营业额相等.求该商店去年8,9月份 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000 营业额的月增长率. 元且能吸引更多的游客，则每间客房的 定价应为多少元？（纯收入=总收入 维护费用) 类型3利润问题 4.某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺 品投放市场进行试销，经过调查，得到如下 表数据 销售单价x/元 30 40 每天销售量y/件 … 500400300200 23名师测控·数学九年级上册配RJ版 类型4几何图形面积问题 9.如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,AD= 6.为迎接世客会，政府计划在长为30m,宽为 5cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发，点 20m的矩形场地上修建如图所示的道路（图 P以3cm/s的速度向点B移动，到点B停 中的阴影部分)，其余部分铺设草坪，草坪的 止移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动 总面积为560m,根据题意列出的方程为 (,点P停止移动时，点Q也停止移动).设移 动时间为ts. (1)当t为何值时，P,Q两，点间的距离为13cm? 底面 (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 12 cm ∠PQB=90°？若存在，求出t的值；若不 存在，请说明理由. -10cm- (第6题图) (第7题图) 7.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮， 将其剪去两个全等的正方形和两个全等的 矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 24cm的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方 形的边长为 cm. 8.某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱 贫攻坚成效，决定在该村山脚下围一块面积 为600m的矩形试验茶园，便于成功后大面 积推广.如图，茶园一面靠墙，墙长35m,另 外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开 有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶 园的长和宽 第二十一章一元二次方程24思维拓展 第二十一章整合与提升 12.解：设点P运动的时间为xs,则此时AP=PR=2x, 高频考点突破 BP=BQ=8-2x.(1)根据题意，得2x(8一2x)=7.整理， 1 7 1.A2.B3.D4C5.C6.A7.m=-2m=1 得4r-16x+7=0.解得=2，=之，答：当点P从 8.解：(1)整理，得(x-2)2=24,即x-2=土2√6，∴.x=2 点A出发运动7s或子s时，平行四边形PQR的面积 .7 +2√6,2=2-2√6；(2)整理，得3x(3.x+2)-4(3x+2) 为7；(2)根据题意，得2x(8-2x)=20.整理，得x2一4x+ =0.因式分解，得(3x-4)(3x十2)=0.于是得3.x-4=0, 5=0..△=（一4）2-4×1×5=一4<0，∴.此方程无实数 或3十20.=分5=一导：(3)将方程化为一般 根.∴.平行四边形PQCR的面积不能为20. 形式，得x2+22x十1=0.配方，得(x十√2)2=1.由此可 小专题四一元二次方程的实际应用 1.B2.363.解：1)450十450×12%=504（万元）.答： 得x+2=士1.x=-2+1,x2=-√2-1.9.B 10.511.1212.解：(1)，方程有两个不相等的实数根， 该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元； (2)设该商店去年8,9月份营业额的月增长率为x.根据 4=[-(2m十1)9-4(m-1)>0,解得m>-号： 题意，得350(1+x)2=504.解得xm1=0.2=20%,x2= (2)设矩形的相邻两边长分别为a,b.·矩形的面积为15， 一2.2（不合题意，舍去）.答：该商店去年8,9月份营业额 ∴ab=15.由题意，得a,b是该一元二次方程的两根，∴ab 的月增长率为20%.4.(1)y=-10.x+800(2)40 =m-1=15,解得m=4,m2=-4.由(1)知m>-号， .5 5.解：(1)60-品200+x(60-)×20(2)根据题 .m=4.∴.原方程为x2-9x十15=0..a十b=9..矩形 意，得(200+w)(60-0)-(60-0)×20=14000,整 的周长为2(a+b)=18.13.102+(3t)2=(7t-10) 14.解：设所铺设的石子路的宽度为xm.根据题意，得(18 理，得x2-420x十32000=0，解得)1=320,2=100. 一x)(6-x)=85,整理，得x2-24x+23=0.解得x1=1, ,要吸引更多的游客，∴x=100.此时，每间客房的定价 2=23(不符合题意，舍去).答：所铺设的石子路的宽度为 为200十100=300（元）.答：每间客房的定价应为300元. 1m.15.解：(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的 6.(30一x)(20一x)=5607.28.解：设茶园垂直于墙 月平均增长率为m.根据题意，得256(1十m)2=400,解得 的一边长为xm,则平行于墙的一边长为(69+1一2x)m. 1m1=0.25=25%,2=一2.25（不符合题意，舍去）.答：该 根据题意，得x(69+1-2x)=600.整理，得x2-35x+ 款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 300=0.解得x1=15,x2=20.当x=15时，69+1一2x= 25%;(2)设该吉祥物每件售价为y元，则每件的销售利润 40>35,不合题意，舍去；当x=20时，69+1-2x=30,符 合题意.答：这个茶园的长和宽分别为30m,20m. 为(0-35)元，月销售量为40+号(58-)=1560 9.解：(1)过点Q作QM⊥AB于M,.QM=5cm.,点P 20y)件.根据题意，得(y一35)(1560一20y)=8400,整 以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点 理，得y一113y十3150=0，解得y1=50,2=63(不符合 D移动，∴.AP=3tcm,CQ=2tcm..AB=15cm,AD= 题意，舍去).答：该款吉祥物每件售价为50元时，月销售 5cm,∴.PM=|15-2t-3t=|15-5tcm.在Rt△PMQ 利润达8400元. 中，根据勾股定理，得PP+QP=PQ,即(15一5t)2+ 第二十二章二次函数 52=13,解得1=0.6,2=5.4.AB=15cm,.3t≤15， 22.1二次函数的图象和性质 .t≤5，∴t=5.4不符合题意，舍去，∴t为0.6时，P,Q两 22.1.1二次函数 点间的距离为13cm;(2)不存在一个时刻，使得∠PQB= 基础过关 90°.理由如下：如答图，过点Q作D 1.A2.C【变式C3.04.A5.y=(30-x)(200+ QG⊥AB于点G,得矩形BCQG和 20x)6.解：.AB=xm,∴.BC=(28-x)m,S=AB· 矩形AGQD,.∴.BG=CQ=2tcm, BC=x(28-x)=-x2+28x.篱笆的长为28m,∴.0<x QG=BC=AD=5 cm,PB=AB- 答图 <28,即S=-x2+28x(0<x<28).7.B AP=15-3t cm..PG=AB-BG-AP=15-2t-3 能力提升 =|15一5tcm,在Rt△PQG和Rt△QCB中，根据勾股定 理，得PQ=PG+QG=(15-5t)2+52,BQ=QC2+ 8.D9.C10.y=zx2(0≤x≤4)11.y=2x2-4x+4 BC=(2t)2+5.当∠PQB=90时，有PQ+BQ=PB2， (0x2)12.解：(1)由题意，得m一m=0且1≠0，解 ∴.(15-5t)2+52+(21)2+52=(15-3t)2,化简，得22 得m=1.∴.当m=1时，函数是一次函数；(2)由题意，得 6t十5=0.△=62-4×2×5=一4<0，.此方程无实数m2-m≠0，解得m≠0且m≠1..当m≠0且m≠1时，函 解，∴.不存在一个时刻，使得∠PQB=90°. 数是二次函数.13.解：(1)S=x(24-3x)=一3x2+ 第5页（共42页）