21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&小专题3 根的判别式及根与系数的关系的应用.-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 ②基础过关。逐点击破 知识点3利用根与系数的关系求方程中 知识点1 一元二次方程的根与系数的 待定字母的取值或取值范围 关系 7.已知关于x的一元二次方程x2十mx一8=0 1.若x1,x2是一元二次方程x2-4x一5=0的 的一个实数根为2，则另一个实数根及m的 两根，则x1x2的值为 值分别为 () A.-5 B.5 A.4,-2 B.-4,-2 C.-4 D.4 C.4,2 D.-4,2 2.若m,n是方程x2一x一3=0的两个实数根， 8.已知关于x的方程2x2+m.x十n=0的两个 则十n的值为 根是一2和1，则nm的值为 () A-昌 B司 A.-8 B.8 C.16 D.-16 C.-3 D.1 9.若关于x的方程2x+x一2m十1=0有一正 3.已知关于x的方程x2+3.x十4=0，下列说法 实根和一负实根，则m的取值范围是（) 正确的是 ( A.若两根是x1,x2,则x1十x2=一3 Am沼 以m号 B.若两根是x1,x2,则c1十x2=3 C.若两根是01，x2,则x1x2=4 C.m> 16 业防司 D.以上说法都不对 10.(2023·山东德州)设x1,x2是关于x的一 知识点2利用根与系数的关系求相应代 元二次方程x2-2(m十1)x十m2+2=0的 数式的值 两个实数根，且(x1+1)(x2十1)=8，则m 4.已知一元二次方程x2一5x一10=0的两根 的值为 分别为a,6则。十云的值是 !易错点运用一元二次方程的根与系数 的关系时忽视判别式△>0而出错 A.2 B.-2 c D.一之 11.已知关于x的一元二次方程mx2一(m十 5.(2023·上饶期末)已知x1,x2是一元二次方 2)x+平=0有两个不相等的实数根. 程x2一3x一2=0的两个根，则x1x2一x C2= 若+1=4，则m的值是 ℃2 6.设方程x2一4x十2=0的两根为x1,x2,求下 A.2 B.-1 列各式的值： C.2或-1 D.不存在 (1)x十x; (2)2+ 12 能力提升。整合运用 12.在解一元二次方程x2十px十q=0时，小红 看错了常数项9，得到方程的两个根是一4， 2,小明看错了一次项系数饣，得到方程的两 个根是4，一3，则原来的方程是 第二十-章一元二次方程14 A.x2+2x-8=0B.x2+2x-12=0 (2)设方程的两个实数根为1,2，且3+ C.x2-2x-12=0 D.x2-2x-8=0 13.若a≠b,且a2-4a+1=0,b2-4b+1=0, 3=1x-4,求实数的值. 则十a+十的值为 1 ( A青 B.1 C.4 D.3 14.若x1,x2是方程x2-4x-2024=0的两个 实数根，则代数式x一2x1十2x2的值等于 15.已知x,x2是关于x的一元二次方程x2 5.x十a=0的两个实数根，且x12一c22=10, 则a= 16.已知关于x的一元二次方程x2-2(m十 1)x十m2十5=0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的最小整数值； ⑤思维拓展。学科素养 (2)在(1)的条件下，若方程的两个实数根为18.（南昌校级期中）已知关于x的方程ax2+ ,x2,求代数式(x一1)(x2一1)的值， (3-2a)x+a-3=0. (1)求证：无论a为何实数，方程总有实数根； (2)如果方程有两个实数根x1,2,当 =时，求出a的值。 17.已知关于x的方程x2一4x十k+1=0有两 个实数根， (1)求k的取值范围； 15名师测控·数学九年级上册配RJ版 小专题三 根的判别式及根与系数的关系的应用 类型1 根的判别式的应用 类型3根的判别式及根与系数的关系 方法指导 的综合应用 运用一元二次方程的根的判别式时应注意两点： 万法指导 一是二次项系数a≠0；二是判断△是否等于0. 运用一元二次方程的根与系数的关系时，需要用 判别式进行检验 1.已知关于x的一元二次方程（子m-1)x2-x 4.关于x的方程(x一1)(x+2)=2(p为常数) +1=0有实数根，则m的取值范围是 的根的情况，下列结论中正确的是( 【变式1】若该一元二次方程有两个相等的实 A.两个正根 B.两个负根 数根，则m的值为 C.一个正根，一个负根D.无实数根 【变式2】若该一元二次方程没有实数根，则 5.已知关于x的一元二次方程x2一3x十m m的取值范围是 2=0有两个实数根x1,x2. 【变式3】若该一元二次方程有两个不相等的 (1)求m的取值范围； 实数根，则m的取值范围是 (2)若x1,x2满足2x1=x2+1,求m的值 【变式4】若关于x的方程（子m一1）x2-x十 1=0有解，则m的取值范围是 类型2根与系数的关系的应用 2.已知矩形的长和宽是方程x2一7x十8=0的 两个实数根，则矩形的对角线的长为( A.6 B.7 C.√/41D.√33 3.【注重类比探究】(2023·赣州全南县校级月 考)如果关于x的方程x2+bx十c=0的两个 根是01，x2,那么01十x2=一b,c1x2=c,请 根据以上结论，解答下列问题： 1已知关于x的方程x-(a十1)x十d 十1=0的两根之差的绝对值为√5，求a 的值； (2)已知关于x的方程x2+px十q=0(q≠0) 有两个实数根，写出一个一元二次方程， 使它的两个根分别是已知方程两根的 倒数. 第二十一章一元二次方程165-2四：(4因式分解，得(3x+2+2x)(3x+2-2)=0. 能力提升 2 12.B13.B14.203215.2头16.解：(1D方程x 于是得5x+2=0,或x+2=0,0=-2 52=-2. 2(m十1)x+2+5=0有两个不相等的实数根，∴.△=[一2 6.未考虑x-7=0x=7 (m+1)]-4(㎡+5)=8m一16>0.解得m>2.∴.实数m 能力提升 的最小整数值是3：(2)：原方程的两个实数根为，2， 7.B8.B9.C10.=-1,x2=一311.解：根据题 ∴.x1+x2=2(m+1),xx2=m2+5..∴.(x1一1)(x2-1)= 意，得3x2十6x-8十1-2x2=0.整理，得x2+6x-7=0. 01x2-(x0+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=m2-2m+4 解得=一7,2=1..当x取-7或1时，代数式3x2+ =7.17.解：(1)，方程有两个实数根，∴.△=（一4）2一4 6x一8的值与1一2x的值互为相反数.12.解：①当x≥ (k+1)=16-4k-4=12-4k≥0.∴.k≤3；(2)由题意可 0时，原方程化为x2一3x十2=0，解得x=2,2=1.②当 知0十=4,02=k十1.：3十3=m0-4, x<0时，原方程化为x2+3.x十2=0，解得x1=一1，x2= 一2.由①②得原方程的根是x1=2,x2=1,x3=一1，x4= :3=ng-4=+1-4,即+1 X142 -2. 3)=12.解得k=5或k=-3..k≤3，.k=-3. 思维拓展 思维拓展 13.解：(1)①(x一1)(x一4)②x一2x+52一5 18.解：(1)①当a=0时，方程为3x-3=0,是一元一次方 (2)①因式分解，得(2x-1)(x-2)=0..2x-1=0或x 程，有实数根；②当a≠0时，方程是一元二次方程.△=(3 -2=0.解得1=子函=2：②因式分解，得（3x十40(x 一2a)2一4a(a-3)=9>0,.方程有两个不等的实数根. 1)=0..3x十4=0或x-1=0.解得0= .无论a为何实数，方程总有实数根；(2)由题意可知，x1 32=1. +2=2a-3 =3.10-= 小专题二一元二次方程的解法 1.解：整理，得(2x-1)2=9.直接开平方，得2x一1=士3. =(),(a+西-4=（是），即 即2x-1=3,或2x-1=-3.∴.x1=2,x2=-1.2.解： (1)移项，得x2+6x=-1.配方，得x2+6x十9=-1十9， 2.3)-4×。3-(受)整理，得=解得a 即(x十3)2=8.由此可得x+3=士2√2.x1=-3十2√2， =士2 2=-3-2√/2：(2)整理，得x2-2x+1=0.∴.(x-1)2= 小专题三 根的判别式及根与系数的关系 0.∴.0=x2=1.3.解：整理，得2(x一2)2-(x-2)(x+ 的应用 2)=0.因式分解，得(x一2)[2(x一2)一(x+2)]=0.于是 1.m≤5且m≠4【变式1】5【变式2】m>5【变式3】m 得x-2=0,或x-6=0.x=2,x2=6.4.解：(1)a= <5且m≠4【变式4】m≤52.D3.解：(1)设方程x 1,b=-3,c=-3.△=b-4a0=(-3)2-4×1X(-3)= -(a十1)x+子a2+1=0的两根为1，，则十a=a 21>0.方程有两个不等的实数根x=二b士F一4ac_ 2a +1函w=子a2+1.1a-w=-5(西-w)=5, （-3)±四，即1-3+y厘，=3-匹，(2a=2, 即(+)-4a=5(a+12-4(a2+1=5, b=5,c=-1.△=62-4ac=52-4×2×(-1)=33>0.方 解得a=4;(2)设方程x2+px十q=0(q≠0)的两根为， 程有两个不等的实数根x=一b士一4ac=一5±V3墨 x,则x十2=一p,12=g.设新方程两根分别为y1, 2a 2×2 =5±/压，即=二5十/愿，=5√/國 则==十为=+- 4 4 5.解：(1)换元转化(2)令x2=a,则原方程可化为a2 以为=品。故新方程为护十号y十号=0 卫 一a-12=0.解得a1=-3,a2=4.当a=一3时，x2=-3, 4.C5.解：(1).关于x的一元二次方程x2一3x+m一2 方程无实数根；当a=4时，x2=4,.x=士2.∴.原方程的 =0有两个实数根，.△>≥0，即9一4(m一2)≥0，解得m≤ 解为=2,2=一2. ：(2)根据根与系数的关系，得十2=3，x12=m 17 *2L.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2.由1,2满足2x=|x2十1，分以下两种情况讨论：① 基础过关 当x2≥0时，20=2十1.把2=3-m代人，得201=3 1.A2.D3.D4.D5.-56.解：x1+x2=4,02 =2.(1)原式=(0十x2)2-2x12=4-2×2=12:(2)原 -十1，解得=专∴a=号m一2=4-器， 式=+正=号=6.7.D8.C9.B10.11m.A 38」 x12 2 六m=号：②当9<0时，2=一2十1，∴2+3-0= 第3页（共42页） 1,解得x1=一2，.2=5（不符合题意，舍去）.综上所述， 六)=504，整理，得-4+3=0.解得八=3，为=1 m的值为S。 要尽快减少库存，·每件应降价3元；②不能.理由如 21.3实际问题与一元二次方程 下：设每件应降价之元.根据题意，得(40-之一30)(48+4 第1课时传播、握手与数字问题 基础过关 ×0)=520,整理，得-4+5=0.“△=(-4)2-4× 1.B2.B3.解：根据题意，得m(m+1)+m十1=121. 1×5=16一20=一4<0，∴.方程没有实数根，.不能一天 解得1=10,2=-12（舍去）.答：m的值为10.4.D 获得520元的利润. 5.C6.147.C8.21和23或-21和-239.解：设 思维拓展 这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3).根据 11.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b.由图 题意，得x(x+3)=[10(x十3)+]×号.整理，得7x2-x 象知，点(2,120)，（4,140)在该函数图象上，. 2k+b=120, 1k=10, 60=0.解得x1=3,x2= 9(不合题意，合去).10( 解得 14k+b=140. b=100. “y与x之间的函数关系式 十3)十x=63.答：这个两位数为63.10.A 为y=10x十100：(2)根据题意，得(60一x一40)(10x十 能力提升 100)=2090.整理，得x2-10x十9=0.解得=1，x2= 11.D12.613.3514.35或5315.解：(1)a+1a+ 9.要让顾客得到更大的实惠，∴x=9.答：商贸公司要 7a十8(2)嘉嘉的说法错误.理由如下：根据题意，得(a 想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元. +1)(a十7)=135，整理，得a2+8a一128=0，解得a1=8, 第3课时几何图形的面积问题 a2=一16（不符合题意，舍去）.10月8日为周六，不符 基础过关 合题意，嘉嘉的说法错误；淇淇的说法正确.理由如下： 1.x(33-2x)=1302.93.解：(1)(20-2x)(13 根据题意，得a(a十8)=84，整理，得a2+8a一84=0，解得 2x)（2)根据题意，得(20一2x)(13一2x)=144.整理，得 a1=6,a2=一14（不符合题意，舍去）..10月6日为周四， 2x2-33.x+58=0.解得x1=2,x2=14.5(不合题意，舍 符合题意，.淇淇的说法正确。 去).答：x的值为2.4.C5.2x2+35.x-150=0 思维拓展 6.解：设每个横彩条的宽度为2xcm,则每个竖彩条的宽 16.解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x,则十位数字为 x一3.根据题意，得10(x一3)十x=x.整理，得x2一11x 度为3xcm根据题意，得(20-6x)(30-4)-(1-号)】 十30=0.解得0=5，x2=6.当x1=5时，周瑜享年25 ×20X30整理，得6x-65x十50=0.解得石=号 岁，不满而立之年，不符合题意，舍去；当x2=6时，周瑜 享年36岁，符合题意.答：周瑜去世时的年龄为36岁. 10(不合题意，合去).2x=号，3x=号答：每个横彩条 第2课时平均变化率与利润问题 5 基础过关 的宽度为3cm,每个竖彩条的宽度为？cm 1.D2.20%3.解：(1)设2023年到2025年该校购买羽 能力提升 毛球拍费用的年平均增长率为x.根据题意，得2000(1+ 7.(20-x)(32-x)=5408.28149.√J5-110.解： x)2=2880,解得0=0.2=20%，x2=一2.2（舍去）.答： 由图可知，包装盒的高为xcm,宽为15cm,长为2(40- 2023年到2025年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长 率为20%：(2)2880×(1+20%)=3456（元）.答：2026年 2x)=(20一x)cm.根据题意，得15x(20-x)=1125.整 需要抽出约3456元资金用于购买羽毛球拍. 理，得x2-20.x+75=0.解得=15,2=5.答：x的值为 4.(3+x)(4-0.5x)=155.566.解：(1)若该公司当 15或5.11.解：(1)设AB=xm,则BC=(14+1-2x)m 月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为30一0.1×(7一1) 根据题意，得x(14+1一2x)=25,整理，得2.x2一15x+25 =29.4(万元)：(2)设需要售出x辆汽车，则每辆汽车的进 =0,解得=5,8=号，当x=5时，14十1-2x=14十1 价为30-(x-1)×0.1=30.1一0.1x(万元).根据题意， 得[31-(30.1-0.1x)]x+0.5x=12,整理，得x2+14x- 2X5=5(m:当z=号时，14+1-2x=14+1-2×号 120=0,解得x1=一20（不合题意，舍去），x2=6.答：需要 =10(m).答：当休息区的长和宽分别为5m,5m或10m, 售出6辆汽车.7.50+50(1+x)+50(1+x)=182 之m时，休息区的面积为25m2;(2)休息区的面积不能 能力提升 8.20%9.510.解：(1)设两次下降的百分率是x.根据 达到30m.理由如下：假设休息区的面积能达到30m, 题意，得40(1-x)2=32.4,解得0=0.1=10%，2=1.9 设AB=ym,则BC=(14+1一2y)m.根据题意，得y(14 (不合题意，舍去).答：两次下降的百分率是10%：(2)① +1-2y)=30,整理，得2y2-15y+30=0.:△=(-15)2 一4×2×30=一150，.原方程没有实数根，∴.假设不成 设每件应降价y元.根据题意，得(40一y一30)(48十4×立，即休息区的面积不能达到30m。 第4页（共42页）