21.2.4一元二次方程根与系数关系（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.2.4 一元二次方程根与系数关系 学 习 目 标 1 2 3 通过计算观察，猜测一元二次方程的根与系数的关系，了解根与系数关系定理，提升学生的抽象能力与运算能力。 经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程，体验合情推理猜想结论，演绎推理论证结论的全过程，通过多种不同的方式论证根与系数关系定理，发展学生的代数推理能力。 会利用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的问题；了解根与系数关系的发展史，感受数学文化的魅力，建立模型观念。 知识回顾 ax2+bx+c=0（a≠0）  1、一元二次方程的一般形式？ 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ △=b²-4ac≥0 4、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ 3、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的求根公式是什么？ △＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根 △=0 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根 △＜0 方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数a，b，c决定根的值 方 程 因式分解 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 导入新课 一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ 从因式分解法可知，方程（ ， 为已知数）的两根为 和 2 3 4 1 -1 1 3 2 5 2 -3 4 填一填 一次项系数的相反数 常数项 新知探究 思考 从因式分解法可知，方程 （ ， 为已知数）的两根为 和 将方程化为 的形式，你能看出 和与之间的关系吗? ∴当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0两根x1和 x2满足： 探究点1 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系 典例分析 例1．已知一元二次方程的两根为 和 ， 则 的值为 （ ） A． 6 B． -6 C． 2 D． -2 解：∵一元二次方程的两根为 和 ∴ ， ， ∴ C 探究点2 一元二次方程的根与系数关系 新知探究 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则 x1+x2和x1•x2与系数a，b，c 的有怎样的关系？ 思 考 填一填 方程 x1 x2 x1＋x2 x1•x2 2x2－3x－2＝0 3x2－4x＋1＝0 2 2 1 两根和等于 两根和等于 探究点2 一元二次方程的根与系数关系 新知探究 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系： 已知方程的两个根，请大家化简计算两根和与两根积 猜 想 探究点2 一元二次方程的根与系数关系 新知探究 证明： 探究点2 一元二次方程的根与系数关系 新知探究 把方程的两边同除以 a，能否得出该结论? 讨 论 两边同除以 新知探究 探究点2 一元二次方程的根与系数关系 一元二次方程根与系数的关系 能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0. （韦达定理） 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则： 注： 韦达，1540 年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学，对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父” ． 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为“韦达定理.” 典例分析 例2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1、x2 的和与积： （1） x2－6x－15＝0； （2） 3x2＋7x－9＝0； （3） 5x－1＝4x2. 解： (1) a=1，b= -6，c= -15 x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15 (2) a=3，b=7，c= -9 x1＋x2＝- ，x1x2＝ = －3 (3)原方程化为： 4x2-5x+1＝0 a=3，b=7，c= -9 x1＋x2＝- ，x1x2＝ = －3 方程必须是一元二次方程的一般形式 (1)请用含的代数式表示： ___________； ___________ (2)是否存在实数，使 成立？若存在，求出的值：若不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使 的值为整数的实数的整数值． 拓展提升 1．材料阅读： 根与系数的关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则： ， 已知 是一元二次方程的两个实数根， （1）解：∵两个实数根 ∴ 解得： ∴ ， ∴ (1)请用含的代数式表示： ___________； ___________ (2)是否存在实数，使 成立？若存在，求出的值；若不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使 的值为整数的实数的整数值． 拓展提升 1．材料阅读： 根与系数的关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则： ， 已知 是一元二次方程的两个实数根， （2）解： ∵方程有两个实数根， ∴ ， 解得：，这与与矛盾 ∴不存在的值， 使 成立． (1)请用含的代数式表示： ___________； ___________ (2)是否存在实数，使 成立？若存在，求出的值：若不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使 的值为整数的实数的整数值． 拓展提升 1．材料阅读： 根与系数的关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则： ， 已知 是一元二次方程的两个实数根， （3）解：由（1）得 ∴ = ∵ 的值为整数且 ∴ 或 或 ∴ 或 或 巩固练习 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积 教材P16练习 解：(1)原方程化为： x2-3x-15＝0 a=1，b=-3，c= -15 x1＋x2＝3 ，x1x2＝-15 解：(2)原方程化为： 3x2+4x+1＝0 a=3，b=4，c= 1 解：(3)原方程化为： x2-x-1＝0 a=1，b=-1，c= -1 x1＋x2＝1 ，x1x2＝-1 解：(4)原方程化为： 2x2-4x+1＝0 a=2，b=-4，c= 1 注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写. 真题感知 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(     ) A． B． C． D． B ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ 【解析】 A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 真题感知 2.（2024·山东烟台·中考真题） 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 6 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 一元二次方程根与系数的关系 把解m带入方程 配方 3.（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． （1）解：由根与系数的关系得： ，， 真题感知 ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∵，， ∴， 3.（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 真题感知 （3）解： 由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴＞0 ∵方程有两个不相等的实数根 ＞0 ∴p＞2或p＜-2 ∴当时，不合题意，舍去 当时,符合题意； ∴． 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系 数学语言 文字语言 使用条件 重要结论 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则： ， 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0. 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1、x2， 则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1、x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 课后作业 1.已知关于x的一元二次方程 （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， 解得： （2）解：设方程另一个实数根为x，由根与系数的关系可得： 解得： ∴方程的另一个实数根为0． ∴ 课后作业 2.已知关于的一元二次方程两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为 ，且，求的值． （1）解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴， 即-， 解得； （2）由根与系数的关系，得=- ， ∵=（）²-2=1 ∴[-()]²-2m²=1 ∴2-4=0 解方程 ∵； ∴m=0 $$