21.2.1 第2课时用配方法解一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

第2课时 用配方法解一元二次方程 ②基础过关⊙逐点击破 知识点3用配方法解二次项系数不为1 知识点1完全平方式 的一元二次方程 1.填空： 5.下列用配方法解方程 x2一x一2=0的四个 (1)x2-4x+ 三(x )2 步骤中，开始出现错误的是 ( 2)x+3x+9-(x+ x-x-2=0①r-2x=4②x 1 =(x一 2.x+1=5 @红-1)-5国x-5+1 知识点2用配方法解二次项系数为1的 A.① B.② C.③ D.④ 6.用配方法解方程3x2一9x十1=0时，方程两 一元二次方程 边同时除以3，得 ;配方，得 2.(2023·上饶期未)用配方法解一元二次方 程x2一4x=5时，此方程可变形为( 7.用配方法解下列方程： A.(x+2)2=1 B.(x-2)2=1 (1)2.x2+4x-8=0; C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9 3.(赣州宁都县期未)用配方法解方程x2 2x一5=0时，原方程应变形为 ( A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x-1)2=6 D.(x-2)2=9 4.用配方法解下列方程： (1)x2+2x-3=0; (2)3x2-4x+1=0. (2)x2-7x=-6. g易错点对二次三项式配方时只加上了 一次项系数一半的平方，没有减去相应的项 8.用配方法将代数式a2+4a一5进行变形，结 果正确的是 ( A.(a+2)2-1 B.(a+2)2-5 C.(a+2)2+4 D.(a+2)2-9 5名师测控·数学九年级上册配RJ版 可能力提升。整合运用 13.已知a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7 的最小整数解，请用配方法解关于x的方 9.规定：a⑧b=(a+b)b,如2⑧3=(2+3)× 程x2+2a.x+a+1=0. 3=15.若2☒x=3,则x= 10.若一元二次方程x2-4092529=0的两根为 士2023，则一元二次方程-2t-4092528= 0的解为 11.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长 是方程x2一8x十12=0的解，则这个三角 形的周长是 12.用配方法解下列方程： 1)r-7x+2: >思维拓展⊙学科素养 14.(2023·赣州大余县期未)下面是小明解一 元二次方程的过程，请认真阅读并完成相 应的任务 解：3x2+12x-9=0. 二次项系数化为1，得x2十4x一3=0.… 第一步 移项，得x2十4x=3. 第二步 配方，得x2+4x+16=3+16,即(x+4)2= (2)2x(x+4)=3(4x+8); 19.… 第三步 由此可得x十4=士√19.…第四步 所以0=√19-4，x2=-√/19-4.… …第五步 任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法” 将该一元二次方程“降次”，此过程所体 现的数学思想是转化，其中，“配方法” (3)3(x-1)(x+2)=x-7. 所依据的数学公式是 (2)“第二步”变形的数学依据是 (3)小明同学解题过程中，从第 步开 始出现错误，请直接写出正确的结果： 第二十一章一元二次方程6参考答案 第二十一章 一元二次方程 同类项，得6-1)2=1.b≠12=己当b>1时， 21.1 一元二次方程 基础过关 。=士当1时，方程无实数积 1.D2.a≠23.-34.C5.A6.2021 7.D 思维拓展 8.x(15-x)=509.2 17.解：原方程可变形为[(x十2)一4幻[(x+2)十4幻=4，即 能力提升 (x+2)2-4=4..(x+2)2=20.直接开平方，得x=-2 10.c1.D12.D13.1414.7 15.解：(1)关于 ±25..x1=-2+2W5,x2=-2-25. x的方程(m十1).x2+中+(m-2)x-1=0是一元二次方 第2课时 用配方法解一元二次方程 程，∴.m+1≠0且m2+1=2,解得m=1,∴.当m=1时，方 基础过关 程是一元二次方程；(2)当关于x的方程(m十1)xm2H+ 1.D42(22(3)分号2.D3C4解：D 弥 (m一2)x一1=0是一元一次方程时，分以下三种情况讨 移项，得x2+2x=3.配方，得x2+2x十1=3十1，即(x十 论：①m+1=0且m-2≠0，解得m=-1;②m-2=0且 1)2=4.由此可得x+1=士2.∴.x1=-3,2=1;(2)配 m+1≠0，m2+1=1,不存在m的值；③㎡+1=1且m+1 十m一2≠0，解得m=0.综上所述，当m=一1或0时，方 方，得-7x+望=-6+9即(2号)-华由此可 程是一元一次方程.16.解：(1)设这两个连续奇数分别 为，十2，则2+(1十2)2=130，化成一般形式为22+ 得x一2 =±号.0=6m=1.5.D62-3x+3 4n一126=0；(2)设这个小组的同学人数为x,则x(x一1) =0 7.解：(1)移项，得2x2+4x=8.二 柏 =90,化成一般形式为x2一x一90=0；(3)设该直角三角 (）-器 形的一条直角边长为xcm,则x2+(17-x)2=132,化成 次项系数化为1，得x2+2x=4.配方，得x2+2x+1=4十 一般形式为2x2-34x+120=0. 1,即(x+1)2=5.由此可得x十1=士5..m=5-1,x2 封 思维拓展 =一√5-1；(2)移项，得3x2一4x=一1.二次项系数化为 17.解：把x=a代人方程x2-2024x+1=0中，得a2 1,得x2- 告=子配方，得-专（号）= 2024a+1=0,∴.a2+1=2024a,a2-2024a=-1,.a2 -2023a a2+1 2024a 2024 =a2-2023a 2024 =a2-2023a-a +(号)，即（号）=由此可得x-号=±子 =a2-2024a=-1,.a2-2023a- 2024的值为-1. a2+1 ∴a=1w= 8.D 21.2解一元二次方程 能力提升 21.2.1配方法 9.1或-310.1=2024，t2=-202211.1712.解： 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 1整理，得+7=2配方，得(x+子)=器由此 基础过关 线 1.D2.D3.C4.B5.解：(1)二次项系数化为1，得 可得x十子=土是.“=，西=一4：(2)去括号，得 x2=9,即x=士3.∴.m=3,2=-3;(2)移项，得0.6x2= 2x+8.x=12x+24.移项、合并同类项，得2x2-4x=24. 3.二次项系数化为1，得x2=5,即x=±5..x1=√5,2 二次项系数化为1，得x2一2x=12.配方，得(x一1)2= =-5.6.C7.C8.m=2,2=-49.解：(1)移 13.由此可得x-1=±/13..x1=1十√/13,2=1 项，得(2x+1)2=25,即2x+1=±5.∴.x1=2,x2=-3; /13;(3)去括号，得3x2+3x一6=x-7.移项，得3x2+ (2)移项，得2(x-1)2=16,即(x-1)2=8,x-1=士22. 2红=-1.二次项系数化为1，得2+号x=子配方，得 x1=1+2√2，x2=1-22. 能力提升 （十3)=一号<0.原方程无实数根13.解：解不 10.B11.412.3-713.914.y=0,2=4 等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3,∴.不等式的最 15.解：把x=3代入原方程，得k2=2..k=士√2.∴.原方 小整数解为-2.将a=一2代入方程x2+2a.x十a十1=0， 程为(x-1)2=4,即x-1=士2..0=3，x2=-1..方 得x2-4x-1=0.配方，得(x一2)2=5.由此可得x一2= 程的另一个根为-1.16.解：移项，得bx2一x2=1,合并土5.∴1=2+5,2=2-√5. 第1页（共42页） 思维拓展 0.a=3,b=-5,c=9.△=b2-4ac=(-5)2-4X3X9= 14.(1)完全平方公式[或a2士2ab+=(a士b)2](2)等 -83<0.方程无实数根：(2)方程化为6x2-13x+6=0.a 式的基本性质(3)三x1=√7-2,2=一√7-2 =6,b=-13.c=6.△=2-4ac=(-13)2-4×6×6=25 小专题一配方法的应用 >0.方程有两个不等的实数根x=一b士一4@c 2a 1.D2.D3.C4.355.解：a2+b=10a+8b 41,∴.a2-10a+25+b-8b+16=0..(a-5)2+(b-4)2 二《一浩医1告，即-是-号：3)方程化 2×6 =0..a-5=0,b-4=0..a=5,b=4..c是△ABC中 为2x2+2x-4=0.a=2,b=2,c=-4.△=-4ac= 最长的边，∴.5≤c<9..当c=5时，△ABC的周长取得最 小值，最小值为a+b十c=5+4+5=14.6.A7.解：小 (W2)2一4×2×（一4）=34>0.方程有两个不等的实数根 聪的判断正确.a2-4a+5=(a2-4a十4)十1=(a-2)2+1. x=- b士-4ac=一厄±34=-D±/3，即m= 2a 2×2 4 .(a一2)≥0，∴.(a-2)2+1>0,即该方程的二次项系数 不为0..无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程. -√2+√3 4 ,=2-34 4 14.解：(1)方程有两个 8.证明：x2+y2-2x-4y+16=(x2-2x+1)+（y-4y+ 不相等的实数根.理由如下：.n=1一3，a=1,b=,c= 4)+11=(x-1)2+(y-2)2+11≥11.故不论x,y取任何 n,.△=b}一4ac=m2-4n=m2-4(m3)=(m一2)2+ 实数，多项式x2十y一2x一4y+16的值总为正数.9.B 8.(m-2)2≥0，.△=(m-2)2+8>0..方程有两个不 10.A11.解：3.x2-5x-1-(2x2-4x-7)=x-x+6 相等的实数根；(2).方程有两个相等的非零实数根，∴.△ =(一2)+孕>0，∴不论x为何值时，3x-5x-1 =nm2一4=0.若m=2,则n=1,方程为x2十2x十1=0， (2x-4x-7)>0总成立.，.代数式3x2-5x-1的值总 解得x1=x2=一1（答案不唯一）. 大于2.x2-4x-7的值.12.C13.C14.1515.解： 思维拓展 (1)1小3(2)2大7(3)设垂直于墙的一边长为 15.解：(1)☐ABCD是菱形，AB=AD..△=(-m)2 xm,则平行于墙的一边长为(20一2x)m.∴.花园的面积为 -4(受-)=-2m+1=(m-1)=0∴m=1.当 x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x2-10x+25)+50= -2(x一5)2+50.∴.当花园与墙相邻的一边长为5m时， m=1时，☐ABCD是菱形.把m=1代入原方程，得x2一x 花园面积最大，最大面积是50m.16.解：(1)①4 十子-0.解得A==子“菱形ABCD的边长是2： ②(a-5)(a-7)③-4-9(2)△ABC是等边三角 (2)·AB=2,.x=2是原方程的一个根.把x=2代入原 形.理由如下：.a2+2b-2b(a十c)+2=0,∴.a2+2b2一 2ab-2bc+c2=0,∴.(a2-2ab+b)+(62-2bc+c2)=0, 方程，得4-2m+受-=0，解得m=号.把m=号代入 ∴.(a-b)2+(b-c)2=0.(a-b)2≥0，(b-c)2≥0，∴.(a -b)2=(b-c)2=0,.a-b=0,b-c=0,∴.a=b=c, 原方程，得-多十1=0.解得石=2，m=之.∴AD ∴.△ABC是等边三角形 .∴ABCD的周长是2×(2+)=5. 21.2.2公式法 21.2.3 因式分解法 基础过关 基础过关 1.A2.B3.A4.15.方程有两个不等的实数根 6.A7.C8.253-29.解：(1)a=1,b=-6,c= 1.B2.A3.解：(1)因式分解，得x(2x-5)=0.于是 4.△=6-4ac=(一6)2-4×1×4=20>0.方程有两个不 得=0，或2一后=0，=0，=号：(2整理，得3y0y 等的实数根x=一b士F二4c=二（-)片V2@=3士 2a 2×1 一2)-4(y-2)=0.因式分解，得(y-2)(3y-4)=0.于 V5,即x1=3+5,x2=3-√5；(2)a=2,b=-3,c=-1.△ 是得y一2=0，或3y-4=0,y=2,y=号 4.(1)① =2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0.方程有两个 (2)④⑥(3)③⑤(4)②5.解：(1)移项，得x2+2x= 不等的实数根x=二b吐一4=二(-3)士应 323.配方，得x2+2x+12=323+12,(x+1)2=324.由此 2×2 可得x+1=士18.=一19,2=17；(2)整理，得7x(3 生亚，即1=3+亚，=3亚：3)方程化为2 x)+2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x+2)=0.于是 -2√/5x+10=0.a=1,b=-25,c=10.△=6-4ac= 得3-1=0，或7x+2=0,n=33=-号：(3)a=1,6 (-2√5)2-4×1×10=-20<0.方程无实数根.10.D -5,c=-1.△=8-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29> 【变式】k≥-1 能力提升 0.方程有两个不等的实数根x=二b士=4@c 11.B12.1-7 13.解：(1)方程化为3a2-5a十9= （-》±四=5±⑧，即=5+，四， 2×1 、 第2页（共42页）