第02讲一元二次方程的解法（配方法）(3个知识点+5个考点+2个易错分析）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第02讲一元二次方程的解法（配方法）(3个知识点+5个考点+2个易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 4．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 考点1：用直接开平方法解一元二次方程 【例1】(1)4x2＝9； (2)(x＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋3)2＝2，则x＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解． 解：(1)由4x2＝9，得x2＝，两边直接开平方，得x＝±，∴原方程的解是x1＝，x2＝－. (2)移项，得(x＋3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝±.∴x＋3＝或x＋3＝－.∴原方程的解是x1＝－3，x2＝－－3. 【变式1-1】解方程(x-3)2=49． 【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7． 由x-3=7，得 x=10． 由x-3=-7，得 x=-4． 所以原方程的根为x=10或x=-4． 【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标． 【变式1-2】解关于的方程：． 【答案】，． 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 得或，即方程两根为，． 【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或． 【变式1-3】解关于的方程： ． 【答案】，． 【解析】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得 ，得或，解得方程两根 分为，． 【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得或． 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x1＝，x2＝－. 考点2：直接开平方法的应用 【例2】若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝________. 解析：∵ax2＝b，∴x＝±，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴＝2，∴＝4，故答案为4. 【变式2-1】若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________． 解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2. 【变式2-2】某工厂今年月份产品数是万件，要求月份达到万件，求这个工厂月份和月份的月平均增长率． 【答案】20％． 【解析】设2月份和3月份的月平均增长率是， 则根据题意可得：，解：（负值舍去） 答：这两个月平均每月增长的百分率是20％． 【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题． 【变式2-2】有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？ 分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算． 解：设新正方形的边长为xcm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm. 方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不 符合实际情况的负值舍去． 考点3：配方 【例3】用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D. 【变式3-1】．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）解一元二次方程，配方后得到，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：． 【变式3-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程－配方法．先把常数项移到等式右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：， ∴， 则， ∴， 故选：B． 【变式3-3】（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】 本题考查了运用配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解答本题的关键．先移项，再利用完全平方公式配方即可； 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选：A． 方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下 二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 考点4：用配方法解一元二次方程 【例4】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. 解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解． 解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝±.∴x1＝2＋，x2＝2－. 【变式4-1】用配方法解方程：． 【答案】，． 【解析】由，得，即， 所以原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根． 【变式4-2】用配方法解方程：． 【答案】，． 【解析】由，得，即， 所以， 所以原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根． 【变式4-3】用配方法解方程：． 【答案】． 【解析】由，得，即， 所以，所以原方程的解为：． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式． 考点5：配方法的应用 【例5】已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求的值． 解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝＝－. 【变式5-1】已知，求的值． 【思路点拨】采用配方法求出的值，代入计算即可得到答案． 【答案与解析】 解：由题意可得： ∴， ∴ 将代入得： 【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键． 【变式5-2】用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】 x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1 ∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0， 故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0. 【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号. 【变式5-3】证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程． 解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0. 证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程． 易错点1混淆方程配方与代数式配方 若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ． 【答案】5． 【解析】因为，所以，所以． 【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值． 易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误 如何用配方法解方程 解： 移常数项 方程两边同除以二次项系数 两边配上一次项系数一半的平方 转化为的形式 开平方 解得 求解 所以原方程的根是. 一、单选题 1．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）用配方法解方程，配方后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 2．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（    ） A．有最小值是2 B．有最大值是2 C．有最小值是6 D．有最大值是6 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用；根据配方法得出，即可求解． 【详解】解：， ∴代数式有最小值是2， 故选：A． 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（      ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 把常数项移到方程的右边，得：， 两边都加，得：，即． 故选：B． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 二、填空题 5．（23-24九年级上·湖北随州·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值． 【详解】解：， ， ，即， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：3． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：， ， 则原式化为：， ， 代数式的最小值等于， 故答案为：11． 10．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第 个图形中一共有130个小圆圈…… 【答案】10 【分析】此题主要考查了图形变化规律及一元二次方程的应用．解题的关键是通过观察分析得出变化图形的规律，正确解方程． 仔细观察图形，找到图形中圆形个数的规律即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， … 第n个图形有个圆圈， 当时，解得（舍）， 故答案为：10． 11．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的方程，方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运用配方法解一元二次方程； 根据配方法即可解答． 【详解】解： ， ，， 故答案为：，． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用； 先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即A的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 14．（23-24九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)写出这个方程的解： ． 【答案】(1)⑤ (2)开平方后正负号丢失 (3) 【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （1）根据第⑤步直接开平方法，得即可判断； （2）由（1）得发生错误的原因是：开方后正负号丢失， （3）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 上述过程中，从⑤步开始出现了错误， 故答案为：⑤； （2）解：由（1）知，发生错误的原因是：开平方后正负号丢失， 故答案为：开平方后正负号丢失； （3）解：， ， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．    【答案】(1) (2)2018 (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】（1） 配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：； （2）解： ， 当，时，有最小值，最小值为2018； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 16．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得                    第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 【答案】任务一：①转化；完全平方公式；②等式的基本性质；③三；，；任务二：， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； 任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答； ②根据移项的依据是等式的性质解答； ③由完全平方公式判断即可解答； 任务二： 根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算． 【详解】解：任务一：①由题意得，此过程所体现的数学思想是转化：其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为；转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案网诶；等式的基本性质 ③观察可知，小明是在第三步配方的时候出错， 配方，得，即， 由此，可得， ，， 故答案为：三；，； 任务二： 解： ， ， ， ， ， 或， ，。 18．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)3 (2)；大；1 (3)1 (4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可； （4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 19．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 【答案】（1）1；（2）5． 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可． 【详解】解：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲一元二次方程的解法（配方法）(3个知识点+5个考点+2个易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 4．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 考点1：用直接开平方法解一元二次方程 【例1】(1)4x2＝9； (2)(x＋3)2－2＝0. 【变式1-1】解方程(x-3)2=49． 【变式1-2】解关于的方程：． 【变式1-3】解关于的方程： ． 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x1＝，x2＝－. 考点2：直接开平方法的应用 【例2】若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝________. 【变式2-1】若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________． 【变式2-2】某工厂今年月份产品数是万件，要求月份达到万件，求这个工厂月份和月份的月平均增长率． 【变式2-2】有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？ 方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不 符合实际情况的负值舍去． 考点3：配方 【例3】用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 【变式3-1】．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）解一元二次方程，配方后得到，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下 二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 考点4：用配方法解一元二次方程 【例4】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. 【变式4-1】用配方法解方程：． 【变式4-2】用配方法解方程：． 【变式4-3】用配方法解方程：． 方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式． 考点5：配方法的应用 【例5】已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求的值． 【变式5-1】已知，求的值． 【变式5-2】用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0. 【变式5-3】证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程． 易错点1混淆方程配方与代数式配方 若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ． 易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误 如何用配方法解方程 一、单选题 1．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）用配方法解方程，配方后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（    ） A．有最小值是2 B．有最大值是2 C．有最小值是6 D．有最大值是6 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（      ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 二、填空题 5．（23-24九年级上·湖北随州·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 ． 6．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，代数式 ． 8．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 10．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第 个图形中一共有130个小圆圈…… 11．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的方程，方程的解是 ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 三、解答题 13．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 14．（23-24九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）； (2)发生错误的原因是： ； (3)写出这个方程的解： ． 15．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．    16．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 17．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得                    第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 18．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 19．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$