期中综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 江西专版）

期中综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 害 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.用配方法解方程x2一6x一1=0，配方后的方程是 A.(x-3)2=9 B.(x-3)2=1 C.(x-3)2=10 D.(x+3)2=9 新 2.如图，在菱形ABCD中，∠DAC=25°，则∠B的度数为 A.120° B.1309 C.140 D.150 弥 B (第2题图) (第4题图) (第5题图) 3.已知关于x的一元二次方程x2+5x一m=0的一个根是2，则另一个 根是 ( ) A.-7 B.7 C.3 D.-3 4.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EF⊥EC,垂足为E,EF= EC,DE=2,矩形的周长为16，则AE的长是 A.3 B.4 C.5 D.7 散 5.如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为BC的中 点，EF=6,BC=15,则△EFM的周长是 封 A.21 B.18 C.15 D.13 6.在等腰三角形ABC中，BC=8,AB,AC的长分别是关于x的方程 x2一10x十m=0的两个根，则m的值是 ( ) A.16或25 B.16 C.25 D.5或8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.用一根长40cm的绳子围成一个面积为64cm的矩形.设矩形的一 边长为xcm,则可列方程为 8.如果关于x的一元二次方程kx2一6.x十9=0有两个不相等的实数 根，那么k的取值范围是 9.一个口袋中有8个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余都相同，从 口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回去.不断重复上述 过程，共摸了200次，其中有57次摸到黑球，则据此估计口袋中有白 球 个 10.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴、y轴上，BC是菱形 BDCE的对角线.若∠D=60°，BC=2,则点E的坐标是 D 景 B 4 (第10题图) (第12题图) 11.在△ABC中，BC=2,AB=25,AC=b,且关于x的方程x2一4x十 b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线的长为 第1页（共6页） 12.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=4cm,M,N两，点分别从A,B 两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运 动，其中有一点运动到点D停止，则 s后，△MBN为等 腰三角形. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解下列方程： (1)x2+4x-3=0; (2)3x(2x+3)=4x+6. 14.如图是由2个全等的正方形错位叠放组成的图形，请仅用没有刻度 的直尺按要求完成下列作图. (1)在图①中画一个平行四边形（要求所画出的平行四边形不是 矩形)； (2)在图②中画一个菱形（要求所画出的菱形不是正方形）. 图① 图② 15.有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两 把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一 把锁，一次打开锁的概率是多少？ 第2页（共6页） 16.阅读下面的材料，回答问题. 解方程：x一7x2十12=0. 解：设x2=y,则x=y2 原方程可化为y2一7y十12=0， 解得y1=3,y2=4. 当y=3时，x2=3,解得x1=√3，x2=一√3； 当y=4时，x3=2,x1=一2. 故原方程的解为x=√3，x2=一√3，x3=2,x1=一2. 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想 运用上述方法解方程：(x2一2x)2一3(x2一2x)一4=0. 17.如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD于点E,∠DBC= 15°，AE=5cm,求矩形ABCD的面积. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形. (1)求证：△ABE≌△DCE: (2)求∠AED的度数. 第3页（共6页） 19.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了 扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每 天可多售出2件. (1)若降价3元，则平均每天的销售数量为 件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 20.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆 时针方向旋转100°，得到△ADE,连接BD,CE交于点F. 求证：(1)△ABD≌△ACE; (2)四边形ABFE是菱形. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息： o 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和 是3元； 信息2：按商品的进货单价购买甲商品3件 和乙商品2件，共付了7元. 请结合以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两种商品的进货单价； 第4页（共6页） (2)已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每 天卖出甲商品500件和乙商品1300件.经市场调查发现，甲种 商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件.商店 决定把甲种商品的零售单价下降m(m>0)元，在不考虑其他因 素的条件下，当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取 的总利润为1800元？（注：单件利润=零售单价一进货单价） 22.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,点P是边AD上一点， PF⊥BD于点F,PA=PF (1)试判断四边形AGFP的形状，并说明理由； (2)若AB=1,BC=2,求四边形AGFP的周长. P 名师测 第5页（共6页） 六、解答题（本大题共12分）》 23.【阅读理解】如图①，l1∥L2,△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？ 为什么？ 解：相等.理由如下： 在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2,DF⊥l2,垂足分别为E,F, ∴.∠AEF=∠DFC=90°，∴.AE∥DF ,L∥L2,.四边形AEFD是平行四边形. .'.AE=DF. 又：S=专BC·AE,Sax=)BC·DF, ∴.S△ABC=S△DrC; 【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰三角形CDE, CE=DE,AD=4,连接AE,求△ADE的面积； 【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG,点B, C,E在同一直线上，AD=4,连接BD,BF,DF,直接写出△BDF的 面积. D 图① 图② 图③ 第6页（共6页）状图如图： 开始 总共有12种可能的结果，每 第一个点 第二个点-112-312-3-12-3-11 两点间的距离245223421531 种结果出现的可能性相同.其中，所取两点之间的距离为2的结果有4种：（一3，一1）， -1,-3,-1,1D.1,-1D.P所取两点之间的距离为2》=音=分16解：1) 从甲，乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，抽取1名，恰好是甲的概率为弓了： (2)抽取2名，共3种可能的结果：（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），每种结果出现的可能 性相同.其中，甲在其中的结果有2种：（甲，乙），（甲，丙），∴.P(抽取2名，甲在其中)= 号，17.解：1列表如下： b (a,b) 1 3 4 a 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1)(4,2) (4,3)(4,4) ∴.点A(a,b)有16个：(2)由(1)知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相 同.其中，点A(a,b)在函数y=x图象上的结果有4种：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)， PL点Aa,b)在函数y=x图象上]=是=是 18.解：(1)画树状图如下： 开始 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同； 10 6102310236236i0 (2)公平.理由如下：两张牌上的数字都是偶数的结果有6种：(6,10)，(6,2)，(10,6)， (10,2,(2,6.(2.10.P朵朵获胜)=8=7，P(形形获胜)=1-=7.P朵 朵获胜)=P(形形获胜)∴这个游戏对双方公平。19.解：(1号 (2)列表如下： 、纵坐标 -1 横坐标 0 -1 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) 0 (0,-1) (0,0) (0,1) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) 总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，点M在坐标轴上的结果有 5种：(-1,0)，0，-1).0,0)，0,1)，1,0，P(点M在坐标轴上)=号.20.解： (1)画树状图如下： 开始 由树状图可知，(x,y)所 第一次 第二次2 有可能出现的结果共有6种，分别为(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)：(2)由 (1)知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，取出的两张卡片上 的数字之和为偶数的结果有2种：(1,3)，(3,1)，.P(取出的两张卡片上的数字之和为 偶数)=号=子，21.解：(1)0,3(2)不可以取7元理由如下：当x=7时，列表如 图，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，摸出的两个小球上数 字之和为9的结果有2种：(4,5).(6,4)P(摸出的两个小球上数字之和为9)=品 名≠号x的值不可以取7 和 3 810 11 5 8912 7101112 第34页（共48页） 2.解：1)根据题意，得袋中红球的个数为50×是-=15（个）：(2)设白球有x个，则黄 球有(3.x一5)个.根据题意，得x+3x一5=50-15，解得x=10.则摸出一个球是白球的 概率为01 50了：(3)因为取走5个球后，还剩45个球，其中红球的个数没有变化，所以 从剩余的球中摸出-个球是红球的概率是号=子，23.解：110035补全条形统 计图如图；学生人数 (2)全校1800名学生中，选择参观科学馆的学生 40----35 30 20 15 10 10 04 A D活动项目 40 大约有1800× 100 =720(人)：(3)由题意列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙)（丁，丙） 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，甲、乙被分在同一组的结 果有4种：（甲，乙），（乙，甲），（丙，丁），（丁，丙）P(甲.乙被分在同一组)=意号 期中综合评价 1.C2.B3.A4.A5.A6.A7.x(20-x)=648.k<1且k≠09.20 10.2-5,)11.22.9或12-42或号 13.解：(1)移项，得x2+4x=3.配 方，得x十4x十4=7，即(x+2)2=7.两边开平方，得x十2=土√7，即x十2=√/7，或x十 2=一√7.所以x=-2十√7，x2=-2-√7；(2)原方程可变形为3x(2x十3)一2(2x十3) =0,(8-2(2+3)=0.3x-2=0,或2x十3=0.=号a=-是.14解：1)如 图①，□ABCD即为所求：(2)如图②，菱形ABCD即为所求 图② 15.解：列表如下： 锁1 锁2 钥匙1 (锁1，钥匙1) (锁2，钥匙1) 钥匙2 (锁1，钥匙2) (锁2，钥匙2) 钥匙3 (锁1，钥匙3) (锁2，钥匙3) 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，随机取出一把钥匙开任意 一把锁，一次打开锁的结果有2种：（锁1，钥匙1），（锁2，钥匙2），∴.P(一次打开锁)= 合-子16解：设2-2x=,则原方程可化为y-8y-4=0,解得为=4g -1.当y=4时，x2-2x=4,解得0=√5+1,2=一5+1.当y=1时，x2-2x=1,解 得x=2+1,x4=一√2+1..原方程的解为x1=5+1,x2=一√5+1，x3=√2+1，x =一√E+1.17.解：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,OC=号AC,OB=号BD, ∴.OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC=15°，∴.∠AOB=∠OCB+∠OBC=15°+15°=30 AE⊥OB,.在Rt△OAE中，∠AOE=30°，AE=5cm,.OA=2AE=2X5= 10(cm),0B=10cm,S%8=20B·AE=2×10X5=25(m2),Sm 4S△B=4X25=100(cm).18.解：(1)·四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三 角形，∴.BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60, (AB=DC, ∴∠ABE=∠DCE=30°.在△ABE和△DCE中，∠ABE=∠DCE,∴.△ABE≌ BE=CE. 第35页（共48页） △DCE(SAS):(2):BA=BE,∠ABE=30,∠BAE=号×(180°-30)=75.在 正方形ABCD中，∠BAD=90°，.∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-75°=15°.同理， ∠ADE=15°，.∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-15°-15°=150°.19.解： (1)26(2)设每件商品降价x元.根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200.整理，得x2 一30x十200=0.解得x=10,x2=20..每件盈利不少于25元，∴.40一x≥25，解得x ≤15..x=10.答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.20.证 明：(1)：△ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到△ADE,∴.∠BAD=∠CAE= 100°，AB=AD,AC=AE.又，AB=AC,∴.AB=AC=AD=AE.在△ABD和△ACE AB=AC, 中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS):(2)·'∠BAD=∠CAE=100°，AB= AD=AE, AC=AD=AE,∴.∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40.:'∠BAE=∠BAD+ ∠DAE=100°+40°=140°，∴.∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=360°-140 一40°-40°=140°，∴.∠BAE=∠BFE,.四边形ABFE是平行四边形.又：AB=AE, ∴四边形ABFE是菱形.21.解：(1)设甲商品的进货单价为x元，乙商品的进货单价 为)元根据超意，得后2？架得二爷：甲育品的过货单价为1元，乙商品 的进货单价为2元：(2)根据题意，得(2-m-1D(500+100×）十(3-2)×130= 1800.整理，得2m2-m=0.解得m1=0.5,m=0(不符合题意，舍去).答：当m=0.5 时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元.22.解：(1)四边形AGFP 是菱形.理由如下：，四边形ABCD是矩形，∠BAP=90°.PF⊥BD,.∠PFB= 90°.又PB=PB,PA=PF,∴.Rt△BAP≌Rt△BFP(HL),.∠PBA=∠PBF.AE ⊥BD,∴.∠PBF+∠BGE=90°..∠BAP=90°，∴.∠PBA+∠APB=90°，∴.∠APB= ∠BGE.∠AGP=∠BGE,.∠APB=∠AGP,.AP=AG.'PA=PF,.AG=PF. :AE⊥BD,PF⊥BD,AE∥PF,∴.四边形AGFP是平行四边形.PA=PF,∴.四 边形AGFP是菱形；(2)由(1)，得Rt△ABP≌Rt△FBP,∴.AB=FB=1.'四边形 ABCD是矩形，∴.AD=BC=2,∴.BD=12+2=√5.设PA=x,则PF=x,PD=2 x,DF=BD-BF=√5-1.在Rt△DPF中，DF2+PF2=PD2,∴.(W5-1)2+x=(2 ,条得PA=,由蜘四边形AGFP是菱形因边形AGFP的 周长为4PA=4×5,1=25-2.23.解：【类比探究过点E作EF1CD于点F,连 2 接AF.四边形ABCD是正方形，.CD=AD=4,∠ADC=90°.DE=CE,EF⊥ CD,∴DF=CF=2CD=2,∠ADC=∠EFD=9O∴AD∥ER,∴SaE=Sae=2 1 XADX DF-=2X4X2=4:【拓展应用】S△mr=&.[解析：连接CF.·四边形ABCD和 四边形CGFE都是正方形，∴.∠DBC=∠FCE=45°，∴.BD∥CF,∴.S△BDF=S△D= 2BC.CD=合×4X4=8.] 第四章综合评价 1.C2.C3.C4.B 5.D6.C7.128.459.510.∠D=∠C (或∠E=∠B或毙-0)1（是1）或（层，-1）20,3)或4,0)或 (子0）13.解设号=冬-台=6，则有a=5k,6=,c=6认12纯=2X 4a 4×5k 装-：(2△ABC的周长为60，a+b十c=60,5k+46+6k=60,k=4, =5k=20,b=4k=16,c=6k=24,.△ABC各边的长分别为20,16,24.14.解： :BD为∠ABC的平分线，.∠ABD=∠CBD.·AB∥CD,∴·∠D=∠ABD,·∠D= ∠CBD,∴.BC=CD.,BC=4,∴.CD=4.∠ABD=∠D,∠AEB=∠CED,.△ABE ∽△CDE∴带器.是-票AE=2CE,AC=AE+CE=CE+CE=6, ∴.CE=2,∴.AE=4.15.解：乙同学的解答不正确，与△ABC相似的三角形还有 △GFE,应该补上证明如下：.DF∥BC,∴∠GFE=∠ABC.又'∠E=∠C,∴.△GFE c∽△ABC. 16.解：AF∥DE,∴.∠BAF=∠D,∠BFA=∠BED,∴.△BFAO ,.AE=EA.BG∥DE,∠CBG=∠D,∠GB=∠CED,△CBGO △BED,心D元-BD △CDEE-瓷又：AF=G部-=瓷设AD=xm义AB=2m,C 25m.则BD-+2m.C=45+m即Z子2=子解得=8，即AD=8 第36页（共48页）