第2章 一元二次方程综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 江西专版）

第二章综合评价 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 17.若x+-3xb+1=0是关于x的一元二次方程，求a,b的值. 13.用适当的方法解下列方程： 小明、小华、小强的解法分别如下： (时间：120分钟满分：120分) (1)3x2-2x=0: (2)x2-2x-1=0. 小明：依题意，得2十2解得a， 一，单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1a-b=1, 1b=0. 1.如果x1,是一元二次方程x2一2x=0的两根，那么十的值 小华：依题意，得2十·解得l 是 ( 1a-b=2,w b=-1. A.0 B.2 C.-2 D.4 小强：依题意，得 2a+b=2. 2a+b=1. 2.一元二次方程x2一4x一1=0配方后可化为 a-b=1,a-b=2, A.(x+2)2=3 B.(r+2)=5 解得/a=1, C.(r-2)=3 D.(x-2)=5 8公. 3.若x=2是关于x的一元二次方程x2一mx+8=0的一个解，则m的 小明、小华、小强三位同学中，你认为哪位同学的解法有误？为什 值是 ( 14.以下是某同学解方程x2一3x=一2x十6的过程： 么？如果你认为三位同学都有错误，请把正确的解法写出来 A.6 B.5 C.2 D.-6 解：原方程可变形为x(x一3)=一2(x一3).① 务4.一元二次方程x产一2x一1=0根的情况是 方程两边同除以(x一3)，得x=一2.② A.无法确定 B.有两个相等的实数根 .原方程的解为x=一2.③ C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 (1)上面的运算过程从第 步出现了错误： 5.如图，某小区规划在一块长30m、宽20m的长方形土地ABCD上修 (2)请你写出正确的解答过程. 建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其 余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m,那么通道的宽应 设计成多少米？设通道的宽为xm,则由题意列得方程为( A.(30-x)(20-x)=78 B.(30-2x)(20-2x)=78 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） C.(30-2.x)(20-x)=6×78 18.定义：我们把关于x的一元二次方程a.x2+hx+c=0与cx2+bx+ 封 D.(30-2x)(20-2x)=6×78 a=0(ac≠0，a≠c)称为一对"友好方程”.如2x2-7x十3=0的“友好 6.对于实数a,b定义新运算：a※b=ab一b.若关于x的方程1※x一k 测控 方程”是3.x2-7x十2=0. 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( 15.先化简，再求值： x- ,其中x满足x2-3x+2=0. (1)一元二次方程十3x一10=0的“友好方程”是 A>- B- (2)已知一元二次方程x十3x一10=0的两根为x1=2,x2=一5，它 1 C,k>-且k≠0 Dk≥-寻且k≠0 的“友好方程”的两根为=乞一一，根据以上结论，猪 想ax+br十c=0的两根，x与其“友好方程”cx2+bx十a=0 二填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 的两根之间存在的一种特殊关系为 7.已知x=m是方程x一x一2=0的一个根，则代数式m一m的值等 (3)已知关于xr的方程2023x2十hr一1=0的两根是x1=一1，x= 于 8.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长 2023请利用(2)中的结论，求出关于x的方程(x-1)一x十 杯“足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.现计划安排 b=2023的两根. 21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题 意，可列方程为 16.已知关于x的一元二次方程mx一(3m一1)x十2m一1=0，其根的 9.已知一元二次方程x2一3x一2=0的两个实数根为·2，则（一 判别式的值为1，求m的值及方程的根. 1)(x2-1)的值是 10.若(x2+y2一1)2=4.则x2+y2的值为 11.已知关于x的一元二次方程x2一2(m十1)x十m=0有两个实数 根，则满足条件的整数m的最小值是 12.如图，一次函数y=一x十9与坐标轴相交于A,B两1 点，P是射线BA上的一点，过P作PE⊥x轴于点 E,PF⊥y轴于点F,若矩形PEOF的面积为20，则 点P的坐标为 第1页（共6页） 第2页（共6页）》 第3页（共6页） 19.规律探究与猜想： 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） (2)出发多长时间时，△PQC的面积为6cm? ①方程x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2: 21.【课本再现】 (3)点P,Q之间的距离能否等于27cm? ②方程x2一5x十6=0的解为x1=2,.r1=3: 材料一：解方程：x2十8x一9=0. ③方程x2-7.x十12=0的解为x=3,x=4: 解：把常数项移到方程的右边，得x十8r=9. ④方程x2一9x+20=0的解为x1=4,x2=5: 两边都加4，得x2+8x+4=9十42，即(x十4)2=25 两边开方，得x十4=士5，即x+4=5,或x+4=一5， (1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题： 1=1,x3=-9 ①方程x2-19.x十90=0的解为： 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次 ②第n个方程为 ,其解为 方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法」 (2)请用公式法解方程x2一9x十20=0，验证猜想结论的正确性。 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平 方式的非负性解决其最值问题， 例如：x2一6x十10=(x2-6.x十9)-9+10=(x一3)3十1， .(x-3)0. .(x一3)2+1≥1，即x2一6x+10有最小值1. 【尝试运用】 (①)解一元二次方程x2一4x一2=0，配方后可变形为： A(.x-4)2=8 B.(x-4)=6 六、解答题（本大题共12分） C.(x-2)2=2 D.(x-2)=6 23.对于代数式a.x2+bx十c,若存在实数n,当x=n时，代数式的值也等 (2)利用配方法求一x一6x十5的最值： 于，则称n为这个代数式的“不变值”.例如：对于代数式x,当x 【拓展应用】 0时，代数式等于0，当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是 (3)已知方程x2+y2+2x-4y+5=0,求(x一2)的值 这个代数式的“不变值”.在代数式存在“不变值”时，该代数式的最 大“不变值”与最小“不变值”的差记作A.特别地，当代数式只有一个 20.如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形花园ABCD(含隔离 不变值”时.A=0. 栏EF),花园的一面靠墙MN,墙MN可利用的长度为25m.(篱芭 名师测 (1)代数式x-2x的“不变值”是 ，A= 的宽度忽略不计) (2)说明代数式2.x+3没有“不变值”： (1)花园的面积可能是252m2吗？若可能，求边AB的长：若不可 (3)已知代数式xr-bx+b. 能，说明理由： ①若A=0,求b的值： (2)花园的面积可能是330m2吗？若可能，求边AB的长：若不可 ②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和. 能，说明理由 22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=12cm,BC=6cm,点P从点 C开始沿CB向终点B以1m/s的速度移动，点Q从点A开始沿 AC向终点C以2m/s的速度移动.如果点P,Q同时从点C,A出 发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止.试问： (1)出发多长时间时，点P,Q之间的距离等于217cm? 第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页）阶段微测试（八） 为矩形，∴AD∥BC,∴∠B'EF=∠BFE.,∠BFE=∠BEF,∴BF=BE,,BE m≠0， 1.A2B3D4C5B6C.D8C9.- 10.一3（答案不装一）11.4 BF:(2)a,b.c之向的等量关系是a+=,证明如下：由(1)知BE=BF=c.由折叠 △=-4ar=[-(3m-D-4m(2m-1)=1.解得m=2.方程为2r2-x+3=0, 的性质，得∠A'=∠A=90,A'E=AE=a,A'B‘=AB=A在Rt△ABE中，由勾股定 12.413.解：(D直线y=x十b与反比例两数y=左(x>0)的图象交于点A(23 理，得AE十AB=BE,即a+=C.21.解：(1)过点E作EM⊥AD于点M, 解得=受，=1.17，解：三位同学的解法都有误，三个人的解法都不够全面。正确 EN⊥AB于点N.由题意易得四边形ANEM是矩形，.∠MEN-9O.,四边形 3=2+b3=专6=1k=6直线AB为y-+1,反比例函数为y=:2令 ACD是正方形，∴，∠EAD=∠EAB=45.,EM⊥AD,EN⊥AB,.EM=EN, 的解法如下：由题意，得2a十2或2十或2或2么十0或 d一=1 1a-b=2 a-b=2 ∠EMD=∠ENF=90.:EF⊥DE,∠MEN=90°，.∠MEN=∠DEF=9O', =0,则y=+1=.0,,把y=1代人y=三，解得x=6C6,1)B0=6. .∠DEF-∠AF=∠MN-∠MF,即∠DM=∠FN,△EMD2△ENF(ASA) a或=, =，=子= 或 ,ED-EF,,.矩形DEFG是正方形：(2)，四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是 b=-1 或 2 18.解：(1) BC∥x轴.△ABC的面积S=2×6×(3-1)=6,14,解：(1)B(-3,2） 正方形，.D=DE,IDC=DA=AB=4,∠GDE=∠ADC=90',.∠GDE-∠ADE ∠ADC-∠ADE.即∠ADG=∠CDE..△ADG≌△CDE(SAS),.AG=CE,∴.AE C(-1,2)D(-1,受)(2)根据题意，得A'(m一3，号)C(m12)代人y= -10x2+3+1-0(2)-言互为倒数(3)：方程2023x+:-1=0的两根是 A=AE+EC=AC=2AD=4√Z.22.解：(1)'四边形ABCD是菱形，AB=C 又，∠ABC-60,,△ABC是等边三角形.菱形ABCD的边长为1O,,AB=AC (m=4, 1-一1,2一2023心该方程的“友好方程”是一子+缸+2023-0，即2-br一2023 10,易得BD=105,∴.Smum=7AC·BD=号×10×105=503：(2)连接EC =0的两根为n=-1,=2025,则(x一1)2一r十b=2023可化为(x-1)2-b(r 7(m一1)=k, 得k立 。m的值为4.反比例函数的表达式是y一是 四边形ABCD是菱形，∠ABC=6G,.EO垂直平分AC.∠BCD=120',.EA=EC, 1)一2023=0.x一1=一1.或x-1=2023,解得n=0,4=2024.∴.该方程的解为 x1=0,=2024.19.解：(1)①.=9，=10②x-(2+1).x+t(n+1)-0x 综合评价答案 ∠DCA=60',∠EAC=∠ECA,∠ACF=120'.∠AEF=120',∠EAC+∠EFC =1,=H+1(2)x2-9x+20=0,这里a=1,b=-9,e=20.后-4ae=(-9)-4 第一章综合评价 =360°-∠AEF-∠ACF=360°-120°-120°=120°.，∠ECA+∠ECF=120°， ∴.∠EFC=∠F,.EC=EF,.AE=EF.23解：(1)如图①，连接P,四边形 ×1×30=1>0,x=二（二》士1_9，即有=4，n=5猜想正确。20.解：设 1D2.A3.B+.C5.A6.C7.88.39.12010.311.正方形12.(8， 2】 ACD是矩形，AB=3,AD=4,.Sm=12,OA=(OC=OB=OD,S△m=Sam, AB的长为xm,则BC的长为(60一3x)m.(1)根据题意，得x(60一3x)=252.整理，得 4)或（号7）或(0,5》13，(1)证明：“∠ABC=∠ADC=90,0是AC的中点.OD ∠AC=90,BC=AD=4,.AC=√A+=√/+4=5，SD=5△= r2-20x+84=0.解得x1=6,=14.当x=6时，60-一3x=60-3×6=42>25,不符合 =号AC,OB=子AC,OB=OD,(2)证明：：AE/BD,AE=BD,四边形AEBD是 Sax=Sao.So=4Sm=X12=3,QA=0D=AC=号Sw= 题意，含去.当x=14时，60-3.x=60一3×14=18<25，满足题意.答：花园的面积可能 是252m2,此时边AB的长为14m:(2)根据题意，得x(60一3.x)=330.整理，得x2 平行四边形.AB=AC,D为BC的中点，.AD⊥BC,∠ADB=O°，.四边形 Se+Sw=OA·PE+OD.PF=×号X(PE+PF)=3∴PE+PF-号： 20x+110=0.,△=一4d=(一20)2一4×1×110=一40<0，.此方程没有实数根 AEBD是矩形.14.解：(1)如图①，点F即为所求(2)如图②，点G即为所求 (2)①，四边形ABD是矩形，.AD=BC,∠A=∠ABC=90,AD∥BC,.∠DMN= ,花园的面积不可能是330m2.21.解：(1)D(2)一x2一6x十5=一(x2+6x)+5 ∠BNM.连接BP,过点M作MH⊥BC于H,如图②，则四边形ABHM是矩形，∴.M日 -(x2+6.x+9-9)+5=-(x+3)2+9+5=-(x+3)2+14.(x十3)≥0..一(.x+ =A.由折叠的性质，得DM=BM,∠DMN=∠BMN,'.∠BMN=∠BNM,∴.DM 3)0,.-(x+3)2+14≤14，即-x-6x+5有最大值14：(3)，2+y2+2x-4y4 BM=BN=13,.AD=BC=BN+CN=13+5=18,.AM=AD-DM=18-13=5. 5=0,.x2+2r+1+y2-4y+4=0,∴.(x+1)2+(y-2)2=0.义(x+1)2≥0，(y 在R△AM中，由勾股定理，得AB=√MB一AF=3-子=12，∴.MH=12 2)20,x+1=0,y-2=0,.x=-1,y=2,.(x-2)y=(一1一2)2=9.22.解 图① S6N=SmN+S△M,PE⊥BM,PF⊥BN,2BN·MH=2BM·PE+BN (1)设出发x￥时，点P,Q之间的距离等于2√I7cm,则CP=rm,(CQ= 15,解：(1)将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD=C=C,∠D=∠B=∠E=0, (12-2x)m.在Rt△PCQ中，由勾股定理，得CP+(CQ=PQ,即x十(12一2r)2= ∠DFA=∠EFC. ·PF.BM=BN,∴.PE+PF=MH=12..平行四边形PDGF的周长为2(PE+ (2/7).整理，得52一48x十760.解得■2，■7,6（不符合题意，含去）.答：出 在△DAF和△ECF中，∠D=∠E. .△DAF≌△EF(AAS):(2)".△DAF☑ PF)=2×12=24:②GF与GE之间的数量关系为：GF一GE=√m一n.理由如下：连 发2s时，点P,Q之间的距离等于2√17cm:(2)设出发ys时，△PQC的面积为 DASE. 接BP,过点M作MH⊥BC于H,如图③，则四边形ABHM是矩形，.MH-AB.易得 △ECF,∴.∠DAF=∠F=40.,四边形ABCD是矩形，·∠DAB=90,∠EAB DM=BM=BN=,.AD=BC=BN+CN=m.AM=AD-DM== 6cm,侧CP=ycm,CQ=(12-2y)m根据题意，得号y(12-2y)=6.整理，得y =∠DAB-∠DAF=90°-40°=50，∴.∠EAC+∠CAB=50,由折叠知∠EAC= ∠CAB,·∠CAB=25.16.解：：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,AD=BC=3, n.∴.MH=AB=√BM-AF=√m-r.'Smn=S△w+S△mN,PE⊥HM, 6y十6=0.解得=3一5，为=3十尽.答：出发(3-5)s或(3十)s时，△PQC的面 ∠B=90,,AC=AB+BC=/4+3=5又AQ=AD=3,AD∥CP,.CQ= PF⊥BN,∴号BM·PE=号BN·MH+号BN·PF,:BM=BN,PE=MH+ 积为6cm,(3)设出发m￥时，点P,Q之间的E离等于2√厅m,则CP=mcm,(CQ AC-AQ=5-3=2,∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ,∴.CP=(Q=2,.BP=BC (12-2m)am.在R△PCQ中，由勾股定理，得CP+CQ=PQ,即m2+(12-2m) PF,PE-PF=MH=√m一.：四边形PEGF是平行四边形，GF=PE.GE CP=3-2=1.在R△ABP中，由勾股定理，得AP■√AB+BP■√+下 (2/7),整理，得5m2-48r十116=0.”△=一4ac=(-48)1-4×5X116=-16< PF,∴GF一GE=PE一PF=√m一pGF一GE=√ 17.17.证明：四边形ABCD是正方形，，AB=BC,∠A一∠CBE=0, 0,.此方程无实数根.点P,Q之间的师高不能等于27cm.23.解：(1)0和33 ·∠ABF+∠CEBG=90.BF⊥CE,·∠CBG+∠BCE=9O,·∠ABF=∠BCE在 (2)假设代数式2x+3有“不变值”，则方程22+3=x有实数根.原方程可变形为2 ∠A=∠BE, x+3=0,△=b一4c=(一1)2一4×2X3=一230，，原方程没有实数根，这与假 △ABF和△BCE中，JAB=BC, .△ABF≌△BCECASA).CE=BF 设矛盾，.股设不成立，即代数式2十3没有“不变值”：(3)①A=0,.方程x一x ∠ABF=∠BCE, 十b=r有两个相等的实数根.原方程可变形为x2一(b+1)十b=0,∴4=一4a 18.解：(1)如图： (2)四边形ABCD为矩形，∴，AD∥BC,,∠ADB [-(6+1)]-4×1×6b=(-1)=0,∴.h=1:②1≤A2,.方程x-(6+1)x十b= 0有两个不相等的实数根.原方程可整理为(x一1)(x一b)=0,解得x1=1,x=b,∴行 1,A=b-1,又：1≤A≤2.即1≤b-1引2，且b为整数，.b的值为一1.0.2,3. 第二章综合评价 一1十0十2十3=4..所有整数b的和为4 =∠CBD.:'MN垂直平分线段BD,∴.BO=DO,MN⊥BD.在△DAO和△BNO中， 1B2.D3A+.D5.C6A7.28.x(x-1)=219.-410.311.0 第三章综合评价 ∠MDO=∠NBO. 124)或5,4减(-面，+页) 1.B2.A3B4D5B6.D7.8.69,0.号112.3成4 X), .△DM≌△BNOCASA),,MO=NO..四边形DMBN是平 13.解：(1)原方程可变形为x(3.x一2) 或5或613.1)解：0.97×1000=970件).答：1000件产品中合格产品大约有970件： ∠DOM=∠BON. 行四边形.又，MN⊥BD,∴四边形DMBN是菱形.19.解：方法一：，点D是AB的 Q=0,或3一2=0.∴=04=号(2)移项，得2-2z=1.配方，得2-2x十1 (2)解：设袋中共有小球x个.根据题意，得一号，解得r=10.答：袋中共有小球10个 中点，.AD=BD.又DE=CD,.四边形ACBE是平行四边形.，∠ACB=90,,四 ■1+1，(x-1)2■2.两边开平方，得x一1=士2，即x一1一2，或x-1=一②.x 14,解：小南同学的解法不正确.画树状图如下： 开超 边形ACBE是矩形，∴AB=CE:CD=DE=2CE,∴CD=号AB:方法二：点D是 =1十/2，z2=1一厄.14.解：(1)②(2)原方程可变形为x(x一3)=一2(x一3).移 甲城 AB的中点，点E是BC的中点，∴，DE是△ABC的中位线，∴，DE∥AC,,∠DEB= 项，得x(x3)+2-3)=0.(.x-3(x+2)=0.x一3=0，或x十2=0.n=3=-2. ∠ACB=90,DE是EC的垂直平分线，.CD=DB.AD=BD=7AB,CD= 15.解：原式=卫，+》1卫=五，2-3+2=0，x=1,或x=2当x= 乙袋红白红 十1 (r-1)2 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的两个球都是红球的 三AH.20.解：I)由折叠的性质，得BF=BF,∠BFE=∠BFE'四边形ABCD 1时，一1y=0,分式，无意义，x=2,即原式=216解：由题盒，得 结果有2种：（红，红，（红，红），P八摸出的两个球都是红球)=。=了15，解：画树 第31页（共48页） 第32页（共48页） 第33页（共48页》