1.2 矩形的性质与判定 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质、判定及综合应用，通过生活中长方形实例导入，结合平行四边形性质回顾与活动教具演示，对比平行四边形到矩形的“不变与变”，以概念关系流程图和性质表格搭建学习支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点在于以探索交流为主线，通过观察生活实例抽象矩形概念培养数学眼光，通过猜想证明矩形性质与判定发展推理意识，用几何语言和表格规范表达体现数学语言。例题练习结合直角三角形中线等问题，小结结构化呈现知识，助力学生提升抽象能力，也为教师提供清晰教学流程与多样化探究活动。

1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第1课时 学习&目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题（重点） 3.应用矩形的性质定理解决相关问题（难点） 情境&导入 平行四边形有哪些性质？ 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 边 角 对角线 对称性 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 4 情境&导入 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 探索&交流 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 探索&交流 矩形的性质 1— 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形 不变： 变： 对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形. 角的大小. 探索&交流 四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角 ∟ 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形. 特别提醒: (1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． (2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可. 探索&交流 想一想 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 探索&交流 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？ 性质 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行 且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 探索&交流 (2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ (3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. D C B A 矩形是轴对称图形吗？如果是，那么有几条对称轴？ 轴对称图形 探索&交流 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB 相交于点O. 求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)． ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°. ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°. 探索&交流 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点 O。 求证：AC = BD. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB. ∴△ABC ≌∠DCB. ∴AC = DB. 探索&交流 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述： 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. A B C D O 探索&交流 矩形的性质 矩形的对边平行且相等. 角 对角线 边 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角相等. 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形. 探索&交流 做一做 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 探索&交流 O C B A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO= AC . ∴BO= BD= AC. 矩形的性质.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD。 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。 ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. 例2.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论. 解：四边形 ADCE 是菱形， 证明：∵ AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形 ADCE 为平行四边形. 又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， D 为 AB 中点， ∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形. 例题欣赏 ☞ 例题&解析 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC， ∴∠1=∠A，∠2=∠C. 又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°， ∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°， 故△ABC 为直角三角形. 练习&巩固 1.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 C 练习&巩固 2.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 6 练习&巩固 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值. 解：连接OP. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB， ∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC = S矩形ABCD= ×6×8=12. 在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10， ∴AO=OD=5， ∵S△APO+S△DPO=S△AOD， ∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24， ∴PE+PF= . 小结&反思 1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质． 2．性质归纳： (1)边的性质：对边平行且相等． (2)对角线性质：对角线互相平分且相 等． (3)对称性：矩形是轴对称图形． 第2课时 学习&目标 1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系. 2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力 . 3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）． 4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题（难点）. 情境&导入 有一个角是直角的平行四边形. 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角是直角 性质 边 角 对角线 矩形 矩形的对边平行且相等. 矩形的两条对角线相等且互相平分. 矩形的四个角都是直角. PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 27 情境&导入 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 探索&交流 矩形的判定 1— 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. （1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ 探索&交流 （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 探索&交流 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B C D 探索&交流 ABCD AC = BD ABCD是矩形 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求证：四边形ABCD是矩形. 探索&交流 证明：∵AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC. ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC. ∴OA＝OB.∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． 探索&交流 想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 探索&交流 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 探索&交流 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 探索&交流 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 议一议 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4. 求 □ ABCD 的面积. 例题&解析 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4. ∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC= ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = . 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. A D C E B 例题&解析 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. 练习&巩固 C 1.能够判断一个四边形是矩形的条件是( ) A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等 练习&巩固 2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q P A B C C 练习&巩固 3. 如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D.试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论. 练习&巩固 证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线, ∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB, 且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ． ∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB, 则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC, ∴四边形 ACBD 为平行四边形． 又∵AB ＝ CD , ∴四边形 ACBD 为矩形． 小结&反思 1.矩形的判定方法： （1）矩形的判定与性质是互逆定理； （2）判定矩形的常见思路如下： 平行四边形 四边形 矩形 对角线 互相平分 有三个角是直角 有一个角是直角 对角线相等 第3课时 学习&目标 1.掌握矩形的性质及判定方法 2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明（重点） 3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用（难点） 情境&导入 矩形的定义 矩形判定定理 矩形判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 有一个角是直角的平行四边形. 对角线相等的平行四边形是矩形. PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 50 探索&交流 矩形的性质与判定综合运用 1— 例1.如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = ______，AC=______cm， 30° 5 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE ⊥BD，垂足为E，ED=3BE. 求AE的长. 解∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角）， AC = BD（矩形的对角线相等） AO = CO = AC，BO=DO = BD（矩形的对角线互相平分）. ∴AO = BO = DO = BD. ∵ED = 3BE，∴BE = OE， 又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO， 即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°. ∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°. ∴AE = AD = ×6 = 3. 例题&解析 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？ 请直接写出你的结论. 证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM， ∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM. ∴∠DAE =∠CAD +∠CAN= （∠BAC +∠CAM）= ×180°=90°. 在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° . ∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）. （2）解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； 例题&解析 例题&解析 例题欣赏 ☞ 在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F. （1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论. 四边形 ABDE 是平行四边形， 证明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC， ∴BD = CD, 又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD， ∴BD=AE, BD∥AE, ∴四边形 ABDE 是平行四边形. 探索&交流 在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F. （2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论. DF∥AB，DF = AB. 证明：四边形 ABDE 是平行四边形， ∴AC = DE, ∴DF = AC. 又∵AB = AC，∴ DF = AB. ∴DF∥AB. ∵四边形 ABDE 是平行四边形. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例4.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 探索&交流 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC； 探索&交流 (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 练习&巩固 1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度． 75 练习&巩固 2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　) A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm B 练习&巩固 3. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形. 求证：四边形 ADCE 是矩形. 证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点, ∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ． 又∵四边形 ABDE 是平行四边形, ∴ BD AE, 则 CD AE． ∴四边形 ADCE 为平行四边形． 又∵∠ADC ＝ 90°, ∴四边形 ADCE 为矩形． ∥ = ∥ = 小结&反思 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定的综合 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$