1.1 第1课时形的性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 江西专版）

是△ABC的中位线，，EF∥BC.,K是BD的中点.，KF是△BCD的中位线，∴F 参考答案 D的中点：(2)连接AC交BD于O,延长AE交BC于G,连接(G)并延长交AD于 2AB,∴∠MCA=∠A,∠MCB=∠B.'∠A=6G,∴∠MA=50.∠MCB=∠B H,连接CH交BD于M,如图②所示，四边形AECM即为所求：理由：，OA=OC, =90-50=40°..∠EMC=∠MCB+∠B=40°+40°=80..∠ACE=30°. HAOG00/AOH=/CAAOHA0(ASAOH=00A= ∠MEC=∠A+∠ACE=0°+30'=80'，∴.∠MEC=∠EMC,.CE=CM:(2),AB 第一章特殊平行四边形 C,.四边形AGCH是平行四边形，∴.AE∥CM,∠MCA一∠EAC:E,M在菱形 =4,∴CE=CM=号AB=2 EFLAC,∠ACE=30,∴EF=CE=1.在R△CEF 1菱形的性质与判定 ABCD对角线上，EM垂直平分AC,,AE=CE,AM=CM,.∠EAC=∠ECA, ,∠MCA=∠ECA.,"∠EOC=90°=∠MC,OC=OC,.△EOC≌△MOC(ASA), 中，由勾股定理，得FC=√C一EF■2一卫=】 第1课时 菱形的性质 .CE=CM,AE=(CE=CM=AM,.四边形ACM是菱形. 思维拓展 基础过关 13.解：(1)：四边形BCAD是矩形.∴.AD∥BC,∠DAC=90'.,∠F=∠CBF,∠EAF 1.D2.43.104.(/，0)5.解：(1)四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD= AD,∠B=∠D.,AE⊥BC,AF⊥CCD..∠AEB=∠AFD=90.在△ABE和△ADF =90.点G是EF的中点，∴AG-EF=FG.∴∠F=∠GAF.EF=2AB,AB ∠AEB=∠AFD, =AG,∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠AG+ 中，∠B=∠D .△ABE2△ADF(AAS):(2)设菱形ABCD的边长为x,则 ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴.射线BF是∠ABC的一条三等分线：(2)30 图①D AB-AD. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 第2课时矩形的判定 AB=CD=x,CF=2,.DF=x-2.△ABE≌△ADF,.BE=DF=x-2.在 基础过关 RL△ABE中，根据勾股定理，得AE+BE=AB,即42+（￥一2）=2，解得x=5, 基础过关 1.A2∠A=90(答案不唯一)3.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AF∥ 菱形ABCD的边长是5.6.C7.解：(1)60°120(2)四边形ABCD是菱形. LB2.A3解：四边形ABCD为菱形，AC⊥BD,OB=7BD=15cm,AC EC,AD=BC.DF=BE,·AD一DF=BC-BE,即AF=C,.四边形AECF是平 AB=DC,ACLBD,.OD=BD=2×6=3,AC=2C在R△CD中，∠ACD 行四边形：(2)由(1)，得四边形AEF是平行四边形..当∠AEC=90时，四边形 2A2在R△O4B中，由勾服定星，得AO=/ABOB=/17-5=8(m),∴.AG AECF是矩形.：AB=6,BC=10,AC⊥AB,∴.AC=BC-AF=/T0-6=8. 弥=30'，∴.DC=20D-6,∴0C=/C-0D=6-3=33.AB=DC=6.AC= =2×8=16(cm),SEam=号AC·BD=X16×30=240(em).4.①②8④ 20C=65.8.45或25 ∠AEC-90',∴S△=2 ABXAC-=2 BCXAE,即号X6×8=-X10AE,·AE 能力提升 5.2②T6解：(1)，∠ABD=0°，E是AD的中点，.BE=DE=AE.:AD=2BC =4.8.4.C5.证明：AB=CD.AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形，AC 9.C10.D11.3012.解：(1)如图①，连接AC,BD交于点O,连接D0并延长，交 ∴.C=DE.AD∥BC,.四边形BCDE为平行四边形.：BE=DE,.四边形BCDE 2OABD-2OD.,OA-OD,.AC=BD,.四边形ABCD是矩形.6.D7.证明： CD于点F,则线段EF即为所求.理由：四边形ABCD为菱形，.点O为AC的中 为菱形：(2)连接CE.易得AE=BC.,“AD∥BC,.四边形ABCE为平行四边形.，AG :AE⊥BE,AD⊥BD,∠E=∠D=90.BD,BE分别平分∠ABC与∠ABP 点，点E为AB的中点，∴.E)为△AC的中位线，∴，E)∥BC,即EF∥BC:(2)如图 ⊥BE.四边形ABCE为菱形，.AB=EC=2.AD=2BC=4.:∠ABD=90..BD ②，连接CEBD于点P,连接AP,则点P即为所求 =√/A厅一AB乎=一正=23.7，解：不正确，菱形的面积等于对角线乘积的一 ·∠ABD=号∠ABC.∠ABE=3∠ABP.'∠ABXC+∠ABP=18O,∠ABD于 半，.S克形= 7×6×8=24 ∠ABE=2(∠ABC+∠ABP)=2×180'=90,即∠EBD=90,·∠E=∠EBD= 能力提升 ∠D=0°，∴.四边形AEBD是矩形. 8C9.B10.511.解：(1)D.E分别是AB.AC的中点，∴.DE是△ABC的中位 能力提升 图① 图 线..DE∥BC,且BC=2DEBE=2DE,EF=BE.,EF=BC.又，EF∥BC.,,四 8.D9,B10.1211.证明：(1)，AF∥BC,∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠DE.又 思维拓展 边形CFE是平行四边形.又BE=FE,四边形BCFE是菱形，(2)四边形议FE :E为AD的中点，AE-DE,△AEF≌△DEC(AAS),.FA=CD.又：D为B I3.解：(1)四边形ABCD是菱形，.AB=AD.,点E,F分别是边AD,AB的中点， 的中点，.BD=CD..FA=BD:(2)FA=BD,AF∥BD,四边形ADBF是平行四 AR=AD. 是菱形.∴∠BEF=∠BCF=120∠BCE=∠BEC=2X×120'=60.∴△EBC是等 边形.，AB=AC,D为C的中点，∴，ADL BC,.∠ADB=gO°，∴.四边形ADBF是 ·AE=zAD,AF=zAB.AE=AE在△ABE和△ADF中，∠A=∠A.△ABE 矩形 AE-AF. 边三角形，BE=BC=CE=4,过点E作BG⊥BC于点G,BG=号BC=2E= 思维拓展 2△ADF(SAS):(2)连接BD.易得∠A=∠C=60',AB=AD,,∴.△ABD是等边三角 B-F=/4-2=2/3，∴.SE=BC·EG=4X23=83 12.解：(1)BD (2)作图： D猜想是真命题：证明：连接AC.在四边形 形.E是AD的中点，.BE⊥AD.·∠AEB=90',∠ABE-30.设AE-Z,则AD 思维拓展 =AB=2x.在R△ABE中，由股定理，得AE十BE=A,即x+(3)?=(2x)”, 12.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD,AD∥BCAE,CF分 解得n=1,=-1(舍去).AD=2x=2,.Sw型m=AD·BE=25. 别是∠BAD,∠BCD的平分线.·∠BAE=∠DAE=7∠BAD,∠BCF=∠DCF ABCD中，已知AB=CD,∠B=∠D=90.,R1△ACD≌R1△CAB(HI).∴，AD=BC, 第2课时菱形的判定 ∴.四边形ABCD是平行四边形.”∠B=∠D=90°，.四边形ABCD是矩形. 基础过关 Z∠BCD∠DAE=∠BCF.'AD∥BC.∴∠DAE-∠AEB.∠CF=∠AEB. 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 .B2.B3证明：：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,又：EF∥AB,四 ∴.AE∥FC,四边形AECF是平行四边形.，AE=AF,∴四边形AECF是菱形 基础过关 边形ABFE是平行四边形，'BE平分∠ABC..∠ABE=∠EBF.'AD∥BC, (2)连接AC由(1)知∠DAE=∠AEB,∠BAE=∠DAE,,∴∠BAE=∠AEB,.AB 1. 2.C 3.C4.A5.30°6.47.解：(1)如图.线段AD即为所求： .∠AEB=,∠EBF,∴.∠ABE=∠AEB.∴.AB=AE,,四边形ABFE是菱形.4D EB.:∠ABC=60,∴.△ABE是等边三角形，∴.∠BAE=∠AEB=∠ABE=60,由 (2)如图，延长AD到点E,使ED=AD,连接EB,ECCD=BD, 线 5.证明：在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,AO=AC △ABE的面积等于43，易得AB=4原，：AB=4(负值已舍去)，即AB=AE=EB 3,B0=寸BD-4.AB=5,且3+-宁，AO+B)-AB,△AOB是直角三 =4.由(1)知四边形AEF是菱形，.AE=CE=4,.∠EAC=∠ECA.,∠FAC十 角形，且∠AOB=90,∴.AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形.6.B7.证明：AB= ∠ECA-∠AEB-60°，·∠EAC=∠CA=30,,.∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+ AD=ED,.四边形ABEC为平行四边形.：∠CAB=90,.四边形ABEC为矩形 AC,AD是BC边上的中线，∴.AD垂直平分BC.∴.EB=EC,FB=FC,BD=CD.CF 0°=90°，即AC⊥AB.在R1△ABC中，由勾股定理，得AC=/B以C一AF= AE=BC.'AE=2AD,..BC=2AD.8.3 ∥BE..∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.又BD=CD,,△EBD≌△FCD /(4+4)一4=4√5，即平行线AB与DC间的距离是45. 能力提升 (AAS),.BE=FC∴.EB=BF=F=C,∴.四边形BECF是菱形. 8.C 2矩形的性质与判定 ∠ABO=∠DO. 能力提升 第1课时矩形的性质 9.A【变式】21.证明：(1)在△AOB和△DC中，OB=C, ,△AOB2 9,B10,号11.证明：(1)连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是平行四边形， 基础过关 ∠AOB=∠DC, .OB=OD.BM∥DN,.∠MO=∠NDO.又：∠BOM=∠DON,∴.△BaM≌ 1C2.20°3解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠F=∠BCE.,E是 △D0CASA).AO=D0点E,F分别是AO.DO的中点，∴OE=OA,OF- △DON(ASA),∴BM=DN,.四边形BMDN是平行四边形，.BN∥DM,∠DMN AB的中点，·AE=BE.又∠AEF=∠BEC,·△AEF☑△BEC(AAS):(2)四边 =∠BNM:(2):四边形ACD是平行四边形，，.C∥AD,.∠BCA=∠DAC 形ABCD是矩形，∠D=90.CD=4,∠F=30,∴.CF=2CD=2×4=84.C 2ODOE=OF:(2)OB=0C,OE=OF,四边形BEC下是平行四边形.C= ∠BAC-∠DAC,∠BAC-=∠BCA,AB=BC,四边形ABCD是菱形，ACL 5.4【变式】A6证明：：圆边形ACD是矩形，∴.AC=BD,AD∥BC又BE BD,∴.MN⊥BD.又由(1)知四边形BMDN是平行四边形..四边形BMDN是菱形 AC,,四边形AEBC是平行四边形，.BE=AC,.BE=BD.7.B8.A【变式J24 2OB,EF=2OE∠A=30.∴.OB=。OA=OE,∴.BC=EF,.四边形BCF是 思维拓展 9.D 矩形.1L.解：(1)四边形ABDE是平行四边形，，BD∥AE,BD=AE.,D为BC 12.解：(1)连接AC,BD交于K,连接EK并延长交CD于F,如图①所示，点F即为所 能力提升 的中点，BD=DC,DC=AE,,四边形ADCE是平行四边形.：AB=AC,D为BC 求：理由：四边形ACD是菱形，.K是AC,BD的中点，E是AB的中点，EK 10.C11.C12.解：(1)，∠ACB=90,点M为边AB的中点，，MC=MA=MB= 的中点，·AD⊥BC,即∠ADC=90°，.四边形AXCE是矩形：(2)，四边形ADCE是 第1页（共48页） 第2页（共48页） 第3页（共48页）第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 ②基础过关。逐点击破 (2)若AE=4,CF=2,求菱形ABCD的边长， 知识点1菱形的定义及对称性 1如图，下列四个条件中，能判定□ABCD为 菱形的是 ( A.∠ADB=90° B.OA=OB C.OA=OC D.AB=BC D R 知识点3菱形的对角线的性质 (第1题图) (第2题图) 6.(2023·湖南湘潭)如图，在菱形ABCD中， 2.如图，P是菱形ABCD的对角线BD上 连接AC,BD.若∠1=20°，则∠2的度数 点，PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到 为 () BC的距离是cm 知识点2菱形的边的性质 3.(2023·福建)如图，在菱形ABCD中，AB= B 10,∠B=60°，则AC的长为 A.20° B.60°C.70° D.80° 7.(教材P3例1变式)如图，四边形ABCD是 菱形，∠ACD=30°，BD=6. (1)∠BAD= ,∠ABC= (第3题图) (第4题图) (2)求AB和AC的长. 4.(2023·九江修水县月考)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AO=1,则点D的坐标为 5.如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点 E,AF⊥CD于点F. (1)求证：△ABE≌△ADF; !易错点点的位置不确定时，未进行分 类讨论而导致漏解 8.四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6,对 角线AC与BD相交于点O,点E在AC上.若 OE=√，则CE的长为 1名师测控·数学九年级上册配BSD版 能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 9.(2023·九江修水县月考)如图，在菱形纸片 13.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是边 ABCD中，∠B=60°，E是BC的中点，P是 AD,AB的中点 边CD上一点，沿AP折叠纸片，使得点D (1)求证：△ABE≌△ADF; 恰好落在AE所在直线上的点F处，则 (2)若BE=√5，∠C=60°，求菱形ABCD的 ∠APF的度数为 ( 面积. A.55° B.659 C.75 D.85° (第9题图) (第10题图) 10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相 交于点O,点E在BD上，连接AE,CE, ∠ABC=60°，∠BCE=15°，ED=4+4√5， 则AD的长为 A.4 B.4√2 C.6 D.8 11.(2023·南昌南昌县期中) D 如图，在菱形ABCD中， ∠B=40°，点E在CD 上，AE=AC,则∠DAE的度数为 12.在菱形ABCD中，点E是边AB的中点，试 分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻 度的直尺作图. (1)在图①中，过点E作线段EF∥BC,交 CD于点F,并说明EF∥BC的理由； (2)在图②中，连接BD,在BD上找一点 P,使PA十PE的值最小.（不需说明 理由) D E B 图① 图② 第一章特殊平行四边形2