第1章 勾股定理综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

BS JX 第一章综合评价 数学八年级上册 （时间：120分钟满分：120分) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.一直角三角形的两直角边长为15和8，则斜边长为 A.17 B.16 C.18 D.20 2.以下列线段a,b,c的长为边，能构成直角三角形的是 A.a=3,b=4,c=6 B.a=5,b=6,c=7 C.a=6,b=8,c=9 D.a=7,b=24,c=25 3.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，且已知∠A:∠B：∠C=1·1:2,下列说法 错误的是 A.∠C=90° B.a2=b2-c2 C.c2=2a2 D.a=b 4.如图，某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.2km后，再向北飞行0.9km抵达 社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的 导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径长为 ( ) A.1.0 km B.1.5 km C.1.8 km D.2.1 km 社区配送点 右边部分 北 剪开 上下翻转 仓库 图① 图② 图③ (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3,BE=4,则BC的 长为 ( A.5 B.8 C.6 D.9 6.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图①中空白部分的面积为 S1,图③中空白部分的面积为S2,则下列表示S1,S2的等式成立的是 A.S1=a2+62+2ab B.S]-a2+62+ab C.S2=c2 D.S-ab 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若a,3,4是一组勾股数，则a的值为 8.如图，小明从点A出发向正北方向走了120m到达点B,接着向正东方向走了160m到达点C, 此时小明离点A m. 北 BP (第8题图) (第9题图) (第10题图) (第11题图) (第12题图) 9.如图，直角三角形的两直角边长分别是3和4，则斜边上的高BD的长是 10.如图，已知AB=6,分别以点A,B为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于M,N两点，则以 A,B,M,N四点为顶点的四边形的面积是 11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4.将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上 的点B'处，AE为折痕，则EB的长为 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以 1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts.当△ABP为等腰三角形时，t的值为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB,AC为边，在△ABC外侧作正方形ABDE、 正方形ACFG.已知正方形ABDE和正方形ACFG的面积分别为25,16，求BC的长， (2)一块三角形草坪如图所示，经管理人员测量，这块草坪的三边长分别为AB=9m,BC=12m, AC=15m,求这块草坪的面积. 15m 12m 14.如图，一根竖直的木杆在离地面1.2m的C处折断，木杆顶端落在离木杆底端1.6m的B处， 求木杆折断之前的高度. 15.在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点.按下列要求作图：在正方形网格中取三个格 点，且其中任意两点均不在同一网格线上；连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在图①中 作出Rt△ABC.请你按照同样的要求，在图②、图③中各画出一个直角三角形，且图①、图②、 图③中直角三角形互不全等 图① 图② 图③ 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=10,AC=8,BD=9. (1)求BC的长； (2)求AB的长 17.如图，有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=4m,它们都要到A处吃东西，其中一只 猴子甲沿树爬下再走到离树8m的点A处（即AC=8m),另一只猴子乙先爬到树顶D处后再 沿缆绳DA滑到点A处.已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高度. 3 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，某船从港口A出发，沿南偏东32°方向航行15 n mile到达B岛，然后沿某方向航行 20 n mile到达C岛，最后沿某方向航行了25 n mile回到港口A. (1)判断△ABC的形状. (2)该船从B岛出发到C岛是沿哪个方向航行的？请说明理由. 东 3/北 东 19.如图，一只蚂蚁在一块长为10dm、宽为5dm的长方形地毯上爬行，地毯上放着一根正三棱柱 的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽AD,底面是边长为2dm的等边三角形，求这只蚂蚁从 点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程 20.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的面积法给了小聪灵感，他惊喜地 发现：当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，可以用面积法来证明勾股定理： a2+b=c2.已知∠BAD=90°，四边形ACFE是正方形. (1)请把四边形ACFD的面积表示出来； (2)请你利用该图证明勾股定理，并写出过程， D C a B F 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图，某社区有一块四边形空地ABCD,AB=15m,CD=8m,AD=17m.从点A修了一条垂 直BC的小路AE(垂足为E),E恰好是BC的中点，且AE=12m. (1)求边BC的长； (2)求这块空地的面积 22.某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用 课余时间完成了实地测量.测量结果如下表. 主题 测量学校旗杆高度的实践活动 步骤一：如图①，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N.将系在 旗杆顶端的绳子垂直到地面，多出了一段NE,用皮尺测出NE的长度 测量 图① 过程 步骤二：如图②，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动， 直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处.用皮尺测出，点A 与点B之间的距离，及小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 图② 测量 绳子垂到地面多出的部分为0.5m,小丽直立位置距旗杆底端的水平距离为6m,小丽身高为1.5m 数据 请根据表格所给信息，解答下列问题. (1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆M的高. 6 六、解答题（本大题共12分） 23.定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac十a2=b2,则称这个三角形为“类勾 股三角形”.请根据以上定义解答下列问题： (1)如图①，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC,AC>AB,求∠A的度数. (2)如图②，在△ABC中，∠B=2∠A,且∠C>∠A.求证：△ABC为“类勾股三角形”. 图① 图② —6—D B B 图① 图② 图① 图② (第1题图) (第2题图) 2.解：(1)如图，∠MBN即为所求.（答案不唯一）(2)如图，∠COD即为所求. 3.解：(1)如图，∠EDF即为所求.（答案不唯一）(2)如图，点H即为所求. C(E 图① 图② 图① 图② (第3题图) (第4题图) 4.解：(1)如图，∠TDF即为所求.（答案不唯一）(2)如图，CD即为所求. 第七章章末复习 思维导图 相等相等互补相等相等互补平行 考点整合 1.D2.C3.a=0 4.解：答案不唯一，如：②③①证明如下：，AB∥DE,∴∠B=∠COD.,BC∥EF,∴∠E=∠COD..∠B=∠E. 5.C6.A7.C8.B9.B10.C11.30°或120°或165 12.解：(1)∠FAB=∠CDB.理由如下：AC∥EF,∴.∠1+∠FAC=180°.，∠1+∠2=180°，.∠FAC=∠2..AF∥CD. ∠FAB=∠CDB.(2):AC平分∠FAD,÷∠FAC=∠CAD=2∠FAD-X82°=4I由(1)知∠FAC-∠2，∠2=41 EF⊥BE,∴∠E=90°.AC∥EF,∠ACB=∠E=90°..∠BCD=∠ACB-∠2=49. 综合评价 第一章综合评价 1.A2.D3.B4B5.B6.B1.58.20092.410.2411.号 12.5或8或 【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理，易得BC=4cm.当BP=AB=5cm时，如图①，此时t=5;当AP=AB= 5cm时，如图②，易得BP=2BC=8cm,则t=8;当BP=AP时，如图③，设AP=BP=tcm,则CP=(4-t)cm.在Rt△ACP中，由 勾股定理，得AP=AC+CP,即F=3十(4一)，解得：=空综上所述，当△ABP为等腰三角形时，的值为5或8或罗 C P 图① 图② 图③ 13.解：(1)因为正方形ABDE、正方形ACFG的面积分别为25,16，所以AB2=25,AC=16.因为∠ACB=90°，所以BC=AB- AC2=9.所以BC=3.(2)因为AB=9m,BC=12m,AC=15m,所以AB2+BC2=92+122=225,AC2=152=225.所以AB2+BC -AC.所以∠ABC=90.所以5a=合AB·BC-号×9X12=54(m).答：这块京坪的面积是54m. 14.解：根据题意，得∠BAC=90°，AC=1.2m,AB=1.6m.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC=AC+AB2=4,所以BC= 2m.所以AC+BC=3.2m.答：木杆折断之前的高度为3.2m. 15.解：如图所示.（答案不唯一） 图② 图③ 24 16.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得CD=AD2-AC=36.所以CD=6.因为BD=9,所以BC=BD+CD=15.(2)在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC十BC=289.所以AB=17. 17.解：设BD=xm,则AD=4十8-x=12-x(m).在Rt△ACD中，AD2=AC+CD2,即(12-x)2=82+(4+x)2,解得x=2.所以 BD=2m.所以CD=BC+BD=6m.答：这棵树的高度为6m. 18.解：(1)由题意，得AB=15 n mile,BC=20 n mile,AC=25 n mile.因为152+202=252，所以AB2+BC=AC.所以△ABC为直 角三角形，且∠ABC=90°.(2)该船从B岛出发到C岛是沿南偏西58°方向航行的.理由如下：由题意，得∠BAD=32°，∠ADB= 90°，所以∠ABD=90°-∠BAD=58°.所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=32°.所以∠1=90°-∠CBD=58°.所以该船从B岛出发到 C岛是沿南偏西58°方向航行的. 19.解：如图，将三棱柱展开，则展开图中的AB=10十2=12(dm),BC=5dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2十BC= 169,所以AC=13dm,即这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程为13dm R 20.解：(1 S=号(AC+DP)·CF=合(b十b十a)·6=8+之.(2)连接BD,由题意知BF=6-a,DP=6十a.因为 Sa0=Snaw-Sa=S6m十San断以行+曾空-合+号-a)6叶a.所以=之+合8-合d,即宁8+ 2c2=2.所以d+8=已 21.解：(1)因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°.在Rt△ABE中，AB=15m,AE=12m,所以BE=AB2-AE=81.所BE=9m.因为 E是BC的中点，所以BC=2BE=18m.(2)连接AC.因为AE⊥BC,E是BC的中点，所以AC=AB=15m.因为AD=17m,CD= 8m,所以CD+AC=AD.所以△ADC是直角三角形，∠ACD=90所以这块空地的面积为SaAc十SaC=之BC·AE+合AC ·CD=号×18×12+2×15×8=168(m2). 22.解：(1)MN=AM-0.5.(2)过点A作AC⊥MN于点C.由题意，得NC=AB=1.5m,AC=BN=6m.设AM=xm,则MC= MN-NC=AM-0.5-1.5=(x-2)m.在Rt△ACM中，由勾股定理，得AC+MC=AM,即62+(x-2)2=x2,解得x=10.所以 AM=10m.所以MN=AM-0.5=9.5m.答：学校旗杆MN的高为9.5m. 23.(1)解：由题意，得a=c,b>c.因为△ABC是“类勾股三角形”，所以ac+a2=.所以c2+a2=b2.所以△ABC是等腰直角三角 形.所以∠A=45°.(2)证明：在AB边上取点D,连接CD,使AD=CD,过点C作CG⊥AB于点G.所以∠ACD=∠A,∠CGD= ∠CGB=90°.因为∠CDB=180°-∠ADC,∠ACD+∠A=180°-∠ADC,所以∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A.因为∠B=2∠A,所 以∠CDB=∠B.因为CG=CG,所以△CDG≌△CBG(AAS).所以CD=BC=a,所以AD=CD=a.所以DB=AB-AD=c-a.因 为CG1AB,所以DG=BG=号(c-a).所以AG=AD+DG=a+号(c-a)=2a+d).在R△ACG中，CC=AC-AG=8 [字c+o)]在△c中，cG=8c-c-d-[合-]'所u-[合a+o]-g[合co]塞得=a 十a2,所以△ABC是“类勾股三角形”. 第二章综合评价 1.D2.A3.C4.B5.C6.D7.0(答案不唯-)8.459.7105+11.号12.1或2或3 3 13.解：1)原式=+区=3+2巨=5巨.(2)0，-645，，2反，0.515,2号，0.404004004…（相邻两个4之间0的个 数逐次加1)√5,4,2√2,0.4040040004…（相邻两个4之间0的个数逐次加1） 14.解：原式=a2-3-a2+4a=4a-3.当a=√3+1时，原式=4×(W3+1)-3=43+1. 15.解：(1)一 √/厚化的错误及搭号前为-去指梦未堂号②限式-复-而X厅-√页×言气-10？-号12 16.解：(1)如图，点C即为所求.(2)如图，等腰三角形DEF即为所求. A 图① 图② 25