第2章 实数(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

第二章实数 1认识实数 √知识梳理 无理数 小数称为无理数 和 统称实数 正有理数 有理数 实数 分类如下：实数 、负有理数 正无理数 无理数 负无理数 实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是 的 (a>0), 实数的相反数、 数a的相反数是 ;al= (a=0), 绝对值和倒数 数a的例复是片a0》 (a<0); √针对训练 1.下列各数是无理数的是 π，-2.1010010001…（相邻两个1之 间0的个数逐次加1). A.0.7 B司 c D.-8 (1)有理数： 2.-5的相反数是 ( (2)无理数： A.-5 c.3 D.- 1 B.5 6.把数（一2）2，一2.5，π，-|一3在下面的 数轴上表示出来，并用“<”把它们连接 3.下列各数没有倒数的是 起来 A.3.6 B.0 C.-x D.4.3030030003… -6-5-4-3-2-10123456 4.下列说法正确的是 ( ) A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数 5.将下列各数填在相应的横线上： -243,917314,0-14, ·5· 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 √知识梳理 般地，如果一个正数x的 等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算 术平方根，记作 ,读作“ ” 算术平方根 特别地，我们规定：0的算术平方根是 ,即√6= 当a≥0时，√a= ,(Wa)2= ；当a<0时，√aZ= √针对训练 1.3的算术平方根可表示为 ( (4)104. A.士√3B.√3 C.√9 D.土√9 2.9的算术平方根是 ( A.±3 B.±3 C.√3 D.3 3.计算√4的值是 ( A.2 B.±2 C.-2 D.√2 4.下列各数中，没有算术平方根的是( A.0.1 B.9 C.(-1)3 D.0 7.海啸的行进速度可按公式o=√gd计 算，其中v(m/s)表示海啸的速度，d(m) 5.(1)已知√元=6，则x=; 表示海水的深度，g表示重力加速度 (2)√32=，√(-3)2=，(3)2= 9.8m/s2.若在海洋深度20m处发生海 啸，求其行进的速度 6.求下列各数的算术平方根： (1)7; (2)1.69; 60 第2课时 平方根 √知识梳理 一般地，如果一个数x的 等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作 定义 a的平方根（也叫作二次方根） 平方根 表示方法 正数a的平方根记作 ,读作“ 正数有 平方根，它们互为 ；0的平方根是：负数 性质 没有平方根 开平方 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方 针对训练 1.4的平方根是 )8.求下列各数的平方根： A.2 B.±2 (1)1.69; (2)21 49: (3)102. C.√2 D.-2 2.“36的平方根是士6”用式子表示为 ( A.士√36=士6 B.√36=士6 C.√36=6 D.-√36=-6 3.下列各数没有平方根的是 ( ) A.34 B.(-2)2 C.0 D.-9 4.下列计算正确的是 A.√16=士4 B.-√0.81=-0.9 9.已知一个正数的两个不相等的平方根是 C.±人93 49_7 D.土√(-6)2=-6 a+6与2a一9，求a的值及这个正数， 5.平方根等于它本身的数是 ( A.0 B.1 C.2 D.4 6.若a2=(一3)2，则a的值为 7.(1)已知某数的一个平方根是√/T,则这 个数是 ,它的另一个平方根是 (2)若数x一2的平方根只有一个，则x 的值是· 。7 第3课时 立方根 √知识梳理 一般地，如果一个数x的 等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a 定义 的立方根（也叫作三次方根） 立方根 表示方法 每一个数a都有一个立方根，记作 ,读作“ 性质 正数的立方根是 ,0的立方根是 ,负数的立方根是 开立方 求一个数a的立方根的运算，叫作开立方 (1)负数也有立方根，任意一个数都有唯一一个立方根； 解题策略 (2)立方根等于它本身的数有-1,0,1； (3)(a)3=a,a=a ◇针对训练 1.一8的立方根是 )5.求下列各式的值： A.±2 B.2 C.-2 D.4 (1)8-106; (2)30.512; 2.化简一27的结果为 ( A.3 B.-3 C.±3 D.3 3.下列说法正确的是 ( ) A.64的立方根是士4 (3)(-27)3； )- 343 125 B.0.25的立方根是0.5 C.0的立方根是0 D.立方根是它本身的数是0 4.求下列各数的立方根： （1343,20:(3)-2号：（④）-3. 6.已知x十4的平方根是士3,3x十y一1的 立方根是3，求y2-x2的算术平方根. ·8· 第4课时估算及用计算器开方 √针对训练 1.利用科学计算器求值时，小明的按键顺 (2)√11和3.4； 序为石4三，则计算器面板显示的 结果为 ( ) A.-2 B.2 C.±2 D.4 (3)一2和一√6； 2.下列各数中，小于一2的数是（ A.-√5 B.-√5 C.-√2 D.-1 3.估算√14的值在 ( A.2和3之间 B.3和4之间 和 C.4和5之间 D.5和6之间 4.与无理数√31最接近的整数是( A.4 B.5 C.6 D.7 5.写出一个比√2大且比√17小的整数： 6.用计算器求下列各式的值：（结果精确到 8.某工厂生产一种用于寄送小件快递的正 0.01) 方体纸盒如图所示，体积为700cm3.这 种正方体纸盒的棱长为多少厘米？它的 (1)√83≈ 棱长介于哪两个整数之间？ (2)3-3.28≈ (3)√/24-810≈ 7.通过估算比较下列各组数的大小： (1)/25和3； 9 3二次根式 第1课时二次根式及其乘除运算 √知识梳理 二次根式 一 般地，形如 的式子叫作二次根式，a叫作被开方数 二次根式的乘法法则 √a·√b= (a≥0，b≥0) 二次根式的除法法则 da- (a≥0，b>0) 针对训练 1.下列各式一定是二次根式的是（ (35+)× A.√ B.√2 C.√-4 D.5 2.二次根式√x一3中，x的取值范围是 ( A.x>3 B.x≠3 C.x≥3 D.x≥0 (4)50-32 3.计算0 的结果是 √2 √2 4.若一个长方形的长为2√6cm,宽为 I cm,则它的面积为 cm2. 5.计算： (5)(2√3+√6)(2√3-√6)； (1)3√5×2√5； 4÷ 2 (6)(1-√5)2. (2)√5÷√ ·10 第2课时二次根式的性质及其加减运算 √知识梳理 二次根式的性质 Vab- (a≥0，b≥0)/ a (a≥0，b>0) 一般地，被开方数不含 ,也不含能 的因数或因式，这 最简二次根式 样的二次根式，叫作最简二次根式 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 二次根式，再将被开方数 二次根式的加减法 的二次根式进行合并 √针对训练 1.下列二次根式是最简二次根式的是 5.计算： ( ) (1)√75+48； A B.√7 C.√⑧ D.√0.3 2.计算4√3一√3的结果是 ( ) (2)25-√ 5 A.33 B.4 C.√3 D.3 3.若√6+√6=√，则x的值为 ( ) A.8 B.12 C.24 D.36 4.化简： 9 -169 (1)√/3X36; (2) 9； (3)W2-√2 (3)- 10 V49 (4)√(-5)×(-144. 432+2-√/得 ·11· 第3课时二次根式的混合运算 √知识梳理 运算顺序：先算 ,再算 ,最后算 ,有括号的先计算 二次根式的混合运算 括号里的 易错警醒 二次根式混合运算的结果应写成最简形式 针对训练 1.计算√12× 日一8÷2的结果是( 42+5-2÷√得： √5 A.2 B.0 C.-2 D.一√2 2.下列各数中，与2一√3的乘积是有理数 的是 ( ) A.2+√3 B.2-√3 C.3-2 D.3 (5)(√2+3)（√2-5）. 3.若三角形的底边长为√⑧，底边上的高为 (3十√2)，则三角形的面积为 4.计算： (1)2√12-√2X6; 5.先化简，再求值：(a-√3)(a+3)-a(a- 5),其中a=√5+1. (2)(√80+√40)÷√5； (3)+ √63 -√24； ·12·的函数表达式为y=启+鹘令x=0,则y铝P(0,)。 随堂反馈 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 平方a2+b2=c2S2+S3 针对训练 1.B2.D3.D4.(1)25(2)5 5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2一AC=225.在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE=BC-BE=144.所以CE=12. 第2课时验证勾股定理及其简单应用 针对训练 1.B2.D3.A4.10 5.解：由题意，得∠BAC=90°.在Rt△ABC中，AC= F2X16=8(n mile),BC=17 mile,由勾股定理，得AB=BC-AC=172- 1 1 82=225,所以AB=15 n mile,.所以乙船的航速为15÷2=30(mile/h). 2一定是直角三角形吗 知识梳理 a2+b2=c2正整数 针对训练 1.C2.C3.A4.9,12,15(答案不唯一)5.合格 6.解：△ABC是直角三角形.理由如下：由题意，得AB2=12+22=5,AC=22+4=20,BC2=32十42=25，所以AB2十AC2=BC. 所以△ABC是直角三角形. 7.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AD2一AB2=902-602=4500.因为BC2+CD=4500,所以BC+CD2=BD2.所以 △BCD是直角三角形，且∠BCD=90°.所以BC⊥CD.所以该车符合安全标准. 3勾股定理的应用 针对训练 1.C2.A3.B 4.解：在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，AC=AB2-BC2=2.52-1.52=4,A1C=A1B12-B1C=2.52-2.42=0.49.所以AC=2m, A1C=0.7m.所以AA1=AC-AC=2-0.7=1.3(m).答：电杆上两固定点A和A1的距离是1.3m. 5.解：(1)5(x+1)(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC十AB2=AC,即52+x2=(x十1)2，解得x=12.答：旗杆AB的高度 为12m. 第二章实数 1认识实数 知识梳理 无限不循环有理数无理数0一一对应一aa0一a 针对训练 1.C2.B3.B4.D 5(-243,-号，1子，3.1,0，--41(2，-2.1010101…-（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 6.解：(-2)2=4，-1-3|=一3，把数(-2)2，一2.5，π，-1一3在数轴上表示出来如图所示，由图可知一1-3<-2.5<π<(-2)2. 。十女 π(-2) 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 平方√a根号a00aa一a 34 针对训练 1.B2.D3.A4.C5.(1)36(2)333 6.解：(1)7的算术平方根是7.(2)因为1.32=1.69，所以1.69的算术平方根是1.3.(3)因为 (号)-81，所以8的算术平方根是 8.(因为10=10，所以10的算术平方根是10。 7.解：根据题意，得v=√gd-√9.8×20=14(m/s).答：其行进的速度为14m/s. 第2课时平方根 知识梳理 平方土√a正、负根号a两个相反数0 针对训练 1.B2.A3.D4.B5.A6.±37.(1)11-1T(2)2 8解：0因为（士1.3=1.69，所以1.69的平方根是士1.3，m士16码=士1.3(2）因为（士号）广-号，所以号的平方根是 士号，即士√g=士号.(3)因为10=0.01，（士0.1=0.01，所以10-的平方根是士0.1，即士V0=士0.1 9.解：由题意，得a十6+2a-9=0,解得a=1.所以(a十6)2=49，即这个正数是49. 第3课时立方根 知识梳理 立方a三次根号a正数0负数 针对训练 1.C2.B3.C 4解：（因为7=343，所以343的立方根是7，即3=1.(2）0的立方根是0.(3)因为-2号=一器，(-专)广=一器，所以 一2号的立方根是-专，即√一2哥=-号（④-3的立方根是了=3 5.解，1=-0=-10=-10.20.5亚=0g-0.88(20=-7.④√-7-君) =-(-)=子 6.解：由题意，得x十4=9,3x十y1=27,解得x=5,y=13,所以y2-x2=144.所以y2-x2的算术平方根为12. 第4课时估算及用计算器开方 针对训练 1.B2.A3.B4.C5.3(答案不唯一)6.(1)9.11(2)-1.49(3)2.74 7.解：(1)因为25<27，所以25<3.(2)因为11<11.56，所以√Π<3.4.(3)因为4<6，所以2<√6.所以-2>-√6.(4)因为7> 4,所以w厅>2，即7-1>1.所以2子 8.解：这种正方体纸盒的棱长为700cm.因为83<700<93，所以8</700<9.所以它的棱长介于8cm和9cm之间. 3二次根式 第1课时二次根式及其乘除运算 知识梳理 √a(a≥0) 针对训练 1.B2.C3.√54.25 5.解：1)原式=3×2×V5x5=30.(2②)原式=√停×√受=√告×受=6.(3)原式=B×w3+√牙×=3+号=9.()原 式=5-厘=5-4=1.6)原式=(25)2-W6)2=12-6=6.(6)原式=1-2×1X5+W5=1-25+5=6-25. √2√② 第2课时二次根式的性质及其加减运算 知识梳理 ā·6怎分母开得尽方最简相同 35 针对训练 1.B2.A3.C 2()原式=3×36=63.2)原武=6-13.(3)原式=-。=少.(40原式=5×44-125 √/49 5解：(0原式=55+4=9v.(2)原式=2w5--5.(8)原式=3竖+2=3v反.(0原或=3+2-29=3反 3 +⑥ 3 第3课时二次根式的混合运算 知识梳理 乘方乘除加减 针对训练 1.B2.A3.√6+2 4.解：1)原式=4V5-25=25.(2原式=45+2√0÷5=4+22.(3)原式=5+5-2V6=-3,5.(4原式=35 63 21 5 √12÷号=3-V6=-3.(6)原式=2-52+3E-15=-13-2E 5.解：原式=a2-3-a2+√5a=√5a-3.当a=√5+1时，原式=√5(W5+1)-3=2+√5. 第三章位置与坐标 1确定位置 针对训练 1.A2.D 3.解：(1)(2,4)(5,1)(2)(3)如图所示. 北 5 秋千摩天轮 跷跷板 →东 3 跳跳床 旋转木马 1大门碰碰车 0123456 2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系 针对训练 1.B2.CD3.32 4.解：(1)A(3,2),B(-1,3),C(一2，-2)，D(0,3),E(-5,0).(2)点F,G如图所示. 第2课时平面直角坐标系中点的坐标特点 针对训练 1.B2.A3.A4.(0.7) 5.解：(1)由题意，得2m一3=1，解得m=2.所以m十1=3.所以点M的坐标为(1,3).（2)因为点M的坐标为(2m-3,m+1),点N 的坐标为(5，一1)，且MN∥y轴，所以2m一3=5，解得m=4.所以m+1=5.所以点M的坐标为(5,5). 第3课时建立平面直角坐标系描述图形的位置 针对训练 1.C2.(2,2) 36