1.3 勾股定理的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

3勾股定理的应用 基础过关 逐点击破 5.数学文化新趋势《九章算术》中记载：“今有 知识点1利用勾股定理的逆定理解决实际问题 竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者 1.某景区在修建岩壁栈道时，需确保栈道支架 高几何？”译文如下：一棵竹子，原高一丈八 与岩壁垂直以保障游客安全.如图，工程队 尺，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着 在某段栈道施工中，测得AB=8m,BC= 地处离竹子根部6尺远（如图），求折断处离 15m,AC=17m,则该支架 要求 地面的高度.(1丈=10尺) (填“符合”或“不符合”) 2.(教材P14随堂练习T1变式)五根小木棒， 其长度分别为9,12,15,36,39.如图，现将 它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 .(填序号) 39 6.如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的 39 12 36 639 左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的 36 36 15 点B处.保持梯子底端B的位置不变，将梯 ① ③ 知识点2利用勾股定理解决实际问题 子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在 3.地域文化情境化集结大桥，其名称源于中央 点C处，测得顶端A距离地面的高度AO= 红军在江西省于都河畔集结渡河长征的历 2m,OB=1.5m. 史事件，是于都第五座跨江大桥.它的截面 (1)求梯子的长； 示意图如图所示，已知AB⊥CD于点B, (2)若顶端C距离地面的高度CD比AO高 AB=90m,BC=BD=120m,则拉索AC的 0.4m,求OD的长 长是 ( A.150mB.160mC.180mD.200m 北 609 30 B R (第3题图) (第4题图) 4.如图，小明和小华同时从点P处分别向北偏 东60°方向和南偏东30°方向出发，他们的速 度分别是3m/s和4m/s,则10s后他们之 间的距离为 A.30mB.40mC.50mD.60m 7数学八年级上册配BSD版 能力提升 >>◆整合运用 (2)如图②，若物体C升高7dm,求滑块B 7.如图，将长为12cm的弹性绳放置在直线l 向左滑动的距离. 上，固定端点A,B,然后把中点C竖直向上 拉升4.5cm至点D,则拉长后弹性绳的长为 cm. (第7题图) (第8题图) 8.(教材P13“尝试·思考”变式)如图，把一张 长方形纸片ABCD折叠起来，使其顶点C与 顶点A重合，折痕为EF.若AB=1,BC=2, 思维拓展 ◆·强化素养 则AF的长为 10.实践探究新趋势在实践课上，甲、乙两组同 9.学科融合新趋势(2024一2025·丰城期末) 学分别设计方案，检测背景墙面的边AD和边 物理课上，老师带着科技小组进行物理实 BC是否分别垂直于边AB(如图所示). 验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑 甲组：工具：卷尺，测得边AD的长为1m, 轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C 边AB的长为2.4m,点B和点D之间的 上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通 距离为2.6m. 过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降. 乙组：工具：20cm的刻度尺 实验初始状态如图①所示，物体C静止在直 (1)甲组测量数据 判断边AD垂 轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是8 直于边AB.(填“能”或“不能”) dm,AB十BC=l6dm.(实验过程中，绳子始终 (2)你能帮乙组借用现有的工具设计一个 保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小 方案检测边BC是否垂直于边AB吗？ 忽略不计) 简要说明设计方案， (1)求绳子的总长度； B 图① 图② 第一章勾股定理8BC=CD=AD=4a,∠B=∠C=∠D=90,所以CP=a,DF=3a,因为E是BC的中点，所以BE=CE=合BC=2a.在R△ABE 中，由勾股定理，得AE=AB2+BE=(4a)2+(2a)2=20a2.在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2=CE2+CF2=(2a)2十a2=5a2. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=(4a)2+(3a)2=25a2,所以AE2+十EF=AF2.所以△AEF为直角三角形. 13.解：(1)④没有说明D,C,B三点在同一条直线上(2)证明如下：作CM⊥AC,垂足为C,在CM上截取CD=BC,连接AD.因 为∠ACD=90°，所以AC+CD2=AD2.因为AC+BC=AB2,CD=BC,所以AD=AB.所以AD=AB.在△ACD和△ACB中， (DC=BC, AC=AC,所以△ACD≌△ACB(SSS).所以∠ACB=∠ACD=90°.所以△ACB是直角三角形. AD-AB, 3勾股定理的应用 1.符合2.①③3.A4.C 5.解：设折断处离地面的高度为x尺.由勾股定理，得x2十62=(18-x)2,解得x=8.答：折断处离地面的高度为8尺 6.解：(1)在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2=AO十OB2=22+1.52=6.25,所以AB=2.5m.答：梯子的长为2.5m.(2)由题 意，得CD=AO十0.4=2.4m,BC=AB=2.5m.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC-CD2=2.52-2.42=0.49.所以BD =0.7m.所以OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 7.158.4 9.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC2=AB2,所以82十(16-x)2=x2,解得x= 10.所以AB=10dm.所以绳子的总长度为AB+AC=10+8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB'=10+7=17(dm).在 Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB2-AC=172-82=225,所以B'C=15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB= B'C-BC=15-6=9(dm).答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 10.解：(1)能(2)能.乙组设计方案：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF=4cm,再测量EF的长度.若EF=5cm,则边BC 垂直于边AB,否则就不垂直.（答案不唯一） 专题一勾股定理与面积问题【回归教材】 1.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=82+62=100,所以AC=10m.因为AC+CD2=102+242= 676,AD=676,所以AC+CD2=AD,所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90.所以S蒂n=SAD-S6Ae=?AC.CD -号AB·BC=合×10X24-号×8×6=96(m).答：这块地的面积为96m㎡. 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2=32+42=25,所以AC=5m.因为AC+AD2=52+122=169, CD=169,所以AC+AD=CD,所以△ADC是直角三角形，且∠CAD=90.所以SD=SaAc十Sc=号AB·BC+ 之AD·AC-号×3×4+合×12×5=36(m2).答：这块绿化地的面积是36m. 3.B4.645.66.20267.B 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·通性通法】 1.解：设OA=OB=x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺，OE=OA-EA=(x-4)尺.在Rt△OEB中， 由勾股定理，得OB2=OE2十EB2,即x2=(x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索OB的长为14.5尺. 2.华3是42566号【变式题27.10 问题解决策略：反思 【趣味情境引入】解：如图，作点B关于直线l的对称点B',连接AB,与直线交于点C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和 最短 B 【提出问题】解：如图，作点B关于点E的对称点B”,连接AB,与直线l交于点P,则点P就是新的饮马处，此时所走的路程之和最短. B