1.3 勾股定理的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过回顾勾股定理及逆定理构建学习支架，引导学生从实际问题中抽象几何模型，衔接折叠问题、旗杆测量等综合应用场景，帮助学生系统掌握知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象实际问题，通过装修测垂直、折叠纸片等实例培养抽象能力与几何直观，结合《九章算术》古题渗透数学文化。采用动手操作与小组合作，强化方程思想与模型意识，助力学生提升分析解决问题能力，也为教师提供结构化教学资源。

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 北师版 八年级(上) 1. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯. 2. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力.(重点) 3. 能熟练运用勾股定理解决最短路径问题.(难点) 素养目标 回顾前面学过的内容，回答问题： 1.勾股定理的内容是什么？ 直角三角形 → a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 → 直角三角形 2.勾股定理的逆定理是什么？ A C B a b c 情境导入 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥AB. 新知探究 （2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗? A B C D 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500， DB2＝502＝2500， ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB 新知探究 A B C D 能检验. 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F. 因为 12² + 16²= 20²， 用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB； 若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB. (3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? E F 新知探究 【活动1】：动手折一折 用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？ A C B E D 分析：(1) 本题已知什么？ 求的是什么？ 5 10 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 新知探究 A C B E D （3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？ （2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？ AD = BD；依据：折叠的性质. 5 CD 在Rt△ACD 中； x 10-x 10-x 可设 CD = x， 则 AD = 10 - x. 10 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 新知探究 A C B E D 5 x 10-x 10-x 10 解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm， 由题意，根据折叠的性质， 可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5. 在Rt△ACD 中， 由勾股定理得，AD² = AC² + CD²， 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm， BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？ (10 - x)² = 5² + x²， 解得 x = . 则 CD = . 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 新知探究 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8 - x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3. ∴DF 的长为 3 cm. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm. 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 新知探究 问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？ 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 新知探究 【练一练】1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 新知探究 要点归纳： 利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： ①标已知，设未知； ②利用折叠，找相等； ③利用勾股定理，列方程； ④解方程，得解. 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 新知探究 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 【活动2】：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度. 以下是小丽设计的测量方案： 项目背景 项目方案 测量实物图： 如图，小丽制订了如下测量方案，并进行实地测量. 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N. 将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度． 新知探究 0.5m 7m 1.5m 项目方案 测量示意图： 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离. 各项数据 测量项目 绳子垂到地面多出部分的长度 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 数据 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 新知探究 请根据表格所给信息，完成下列问题． 问题：（1）直接写出线段 MN 与 AM 之间的数量关系. M N E M N C A B 图2 图3 AM = MN + 0.5 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 新知探究 (2) 根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆 MN 的高. 解：过 A 作 AC⊥MN 于 C， 则 AB = CN，AC = BN， 根据题意得，AB = CN = 1.5 m. AC = BN = 7 m，AM = MN + 0.5， ∴ CM = MN - CN = MN - 1.5， ∵ AM 2 = AC 2 + CM 2， ∴ (MN + 0.5)2 = 72 + (MN - 1.5)2， 解得 MN = 12.75， 答：学校旗杆 MN 的高 12.75 米. M N C A B 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 新知探究 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 新知探究 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边 长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺. 如果把这根芦苇垂直拉向岸边， 那么它的顶端恰好到达岸边的水面. 这个水池的深度和这根芦苇的 长度各是多少? B O C A 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 新知探究 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺. 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺. 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2. 解得 x = 12. 12 + 1 = 13. 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺. B O C A 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离. 解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解. 北 C B E A D 东 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 解：如图，过点 B 作 BE∥AD. ∴∠DAB = ∠ABE = 53°. ∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°， ∴∠CBA = 90°. ∴AC² = BC² + AB² = 300² + 400² = 500². ∴AC = 500 m， 即 A、C 两点间的距离为 500 m. 方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题. 北 C B E A D 东 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒 下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的 高度是(　D　) A. 12m B. 13m C. 17m D. 18m D 第1题图 当堂反馈 2. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒 斜放入一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻 璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径 是(　D　) A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm 第2题图 D 当堂反馈 3. 如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是 cm2. 64　 4. 如图，要在两幢楼房的房顶A，B间拉一根光缆 线(按线段计算)， 则至少需要光缆线 m. 10　 当堂反馈 5. 如图，这是可近似看作一个等腰三角形ABC的衣 架，其中腰长为26cm，底边上的高为10cm，则底 边BC的长为 cm. 48　 当堂反馈 6. [方程思想]图①中有一首古算诗，根据诗中的描 述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图 如图②所示，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C， BC＝0.5尺，B'C＝2尺.求AC的长. 当堂反馈 解：设AC的长为x尺， 则AB'＝AB＝(x＋0.5)尺. 在Rt△AB'C中，由勾股定理得AC2＋B'C2＝AB'2， 即x2＋22＝(x＋0.5)2，解得x＝3.75. 故AC的长为3.75尺. 当堂反馈 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 课堂小结 $