专题04 函数与方程7类题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题04函数与方程的综合应用7类题型归纳 （压轴题专项训练） 目录 类型一、用二分法求方程的近似解 类型二、零点存在性定理的应用 类型三、方程根的分布问题 类型四、根据函数零点个数求参数（水平线） 类型五、分段函数的零点问题 类型六、嵌套函数的零点问题 类型七、函数模型的选取与应用 压轴专练 类型一、用二分法求方程的近似解 二分法的一般步骤（精确度为） （1）确定零点所在区间为，验证 ； （2）求区间的中点 ； （3）计算； ①若则就是函数的零点； ②若，则，令； ③若，则，令； （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）-（4）. 例1．用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1-2．下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 类型二、零点存在性定理的应用 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解 例2.函数，（常数）的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 变式2-3．函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型三、方程根的分布问题 一元二次方程根的分布问题 （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负 如果是“0”分布，可以用韦达定理 例3．函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 变式3-1.方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-2．若是二次函数的两个零点，则（　　） A．且 B． C．且 D． 变式3-3．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 类型四、根据函数零点个数求参数（水平线） 分离参数水平线法求零点 1.分离参数 2.构造函数于水平线 3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线” 例4．若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-1．已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数，且，当时，函数存在零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-4.已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 类型五、分段函数的零点问题 分段函数的零点问题，核心是“分区间拆解，逐段求解验证”，因为分段函数在不同区间有不同解析式，零点必须满足“在对应区间内且函数值为0” ①明确分段标准，拆分定义域 ②分区间列方程，求解可能零点 ③验证区间归属，筛选有效零点 ④特殊处理分段点 ⑤抓住参数的“临界值”，分层讨论 ⑥用图像辅助分析，直观判断零点个数 例5．.已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数，，则函数的零点个数为 A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 变式5-2．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数，若恰好有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型六、嵌套函数的零点问题 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 例6．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数，，则函数的零点个数不可能是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式6-3．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 类型七、函数模型的选取与应用 常见的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，每种函数模型都有其特定的应用场景： 例7．某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 变式7-1某同学有压岁钱10000元，计划存入银行，银行最新推出两种存款理财方案. 方案一：年利率为单利（单利指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方式），每年的存款利率为； 方案二：年利率为复利（复利指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计息的计息方式），每年的存款利率为； (1)若该同学存款年，其所获得的利息为元，分别写出两种方案中，关于的函数关系式； (2)若该同学存款5年，应选择哪种方案？若存款10年，应选择哪种方案?请分别说明理由. 参考数据:. 变式7-2．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. (2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 变式7-3．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名科研人员，年人均投入a万元，现把原有科研人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)当30时，试写出调整后国家对科研人员年总投入y万元与技术人员x名的关系式. (2)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (3)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入. 压轴专练 一、单选题 1．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的零点是，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（    ） A． B． C． D． 5．若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 二、多选题 6．已知函数则（    ） A．当时，无零点 B．当时，只有一个零点 C．当恰有两个零点时，的取值范围是 D．当恰有三个零点时，的取值范围是 7．已知，函数，则下列结论中正确的是（　　） A．存在，使得无零点 B．对任意至少有一个零点 C．存在，使得有两个零点 D．存在，使得的图象关于对称 三、填空题 8．已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是 . 9．已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的所有解之和是 ． 10．已知函数，当时，函数的值域为 .若函数有三个不同零点，则的取值范围是 . 11．已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为 . 12．若函数的图象上存在两点A，B关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”若恰好有两个“基点对”，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 13．已知函数 (1)若该函数恰有一个零点，求实数的值； (2)若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 14．已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (3)若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 15．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 16．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，） 17.已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，求的值； (3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04函数与方程的综合应用7类题型归纳 （压轴题专项训练） 目录 类型一、用二分法求方程的近似解 类型二、零点存在性定理的应用 类型三、方程根的分布问题 类型四、根据函数零点个数求参数（水平线） 类型五、分段函数的零点问题 类型六、嵌套函数的零点问题 类型七、函数模型的选取与应用 压轴专练 类型一、用二分法求方程的近似解 二分法的一般步骤（精确度为） （1）确定零点所在区间为，验证 ； （2）求区间的中点 ； （3）计算； ①若则就是函数的零点； ②若，则，令； ③若，则，令； （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）-（4）. 例1．用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 变式1-1．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二分法的定义可得，解得即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的， 则由题可得，即，， 则至少等分的次数为7. 故选：C. 变式1-2．下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点； 对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解， 故选：C 变式1-3．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解 【详解】对A，的零点为；对B，的零点为；对C，的零点为；对D，的零点为； ，，， 故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点，由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合；故选：B 类型二、零点存在性定理的应用 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解 例2.函数，（常数）的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得解. 【详解】因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一零点， 所以的零点所在区间为. 故选：B. 变式2-1．函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 变式2-2．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 变式2-3．函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在区间上单调，利用零点存在定理可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，不合乎题意. 当时，由于函数、在上均为增函数， 此时函数在上为增函数. 当时，由于函数、在上均为减函数， 此时函数在上为减函数. 因为函数在区间上有零点，则， 即，解得.故选：D. 类型三、方程根的分布问题 一元二次方程根的分布问题 （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负 如果是“0”分布，可以用韦达定理 例3．函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，可解得实数a的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解得. 故选：C. 变式3-1.方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 令，由题意得，从而即可解得的取值范围． 【详解】 解：令， 因为方程的两根一个根大于2，另一个根小于2， 所以， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：A． 变式3-2．若是二次函数的两个零点，则（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】根据零点的定义，写出韦达定理，通过举反例和基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得：为方程的两个解，则，， 即同号，则，由题意，，则等号不成立，故B错误，D正确； 当且时，则，，即函数为，显然符合题意，故AC错误. 故选：D. 变式3-3．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 类型四、根据函数零点个数求参数（水平线） 分离参数水平线法求零点 1.分离参数 2.构造函数于水平线 3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线” 例4．若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将零点问题转化为方程问题，再运用数形结合的方法解决即可. 【详解】 函数在上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的解， 即在上有两个不同的解. 此问题等价于与有两个不同的交点. 由下图可得. 故选：D. 变式4-1．已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可. 【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C. 变式4-2．已知函数，且，当时，函数存在零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件算出参数，函数存在零点等价于方程有解，即有解，故只需要求在上的值域即可. 【详解】由题意得，，则，，令，因为，所以，因此可转化为，，其对称轴为，，，所以在上的值域为．函数存在零点，等价于方程有解，所以实数的取值范围是．故选：B 变式4-3．已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数，， 故. 故选：D. 变式4-4.已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由函数的零点转化为方程的根，设，利用数形结合法求解； （2）先根据有两个零点和有两个零点，得到，然后由，，利用对数运算构造求解. 【详解】（1）解：函数的零点即方程的根， 设， 则函数的零点个数转化为方程根的个数. ， 显然在上单调递减，在上单调递增， 故. 所以，当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点. （2）由（1）知有两个零点，则， 有两个零点，则有两个根， 令，则有两个不同的交点， 如图所示： 则，综合可得. 结合（1）即，可知，即. 同理可求得， 所以， ， 当且仅当即取等号，所以. 因此的取值范围为. 类型五、分段函数的零点问题 分段函数的零点问题，核心是“分区间拆解，逐段求解验证”，因为分段函数在不同区间有不同解析式，零点必须满足“在对应区间内且函数值为0” ①明确分段标准，拆分定义域 ②分区间列方程，求解可能零点 ③验证区间归属，筛选有效零点 ④特殊处理分段点 ⑤抓住参数的“临界值”，分层讨论 ⑥用图像辅助分析，直观判断零点个数 例5．.已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【详解】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C. 变式5-1．已知函数，，则函数的零点个数为 A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】令得出，设的解，作出的函数图象，根据图象判断的解得个数． 【解析】解：令得， 令得或，解得或或． 或或．作出的函数图象如图所示： 由图象可知有4个解，有两个解，有4个解， 共有10个零点． 故选：． 变式5-2．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论或三种情况，然后根据函数判断 【详解】①当时，则只有一个零点0，不符合题意； ②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意； ③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点． 则在上有两个零点，此时必须满足，解得． 综上，得或．故选：A 变式5-3．已知函数，若恰好有2个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与x轴的交点情况，结合恰好有2个零点，讨论m在不同区间时与x轴恰好有2个交点，m的范围即为所求 【详解】令，而方程的两根为， ∴在同一直角坐标系下，函数的图象，如下图示： 由图可知，当时，函数恰有两个零点，如下图示： 当时，函数恰有两个零点，如下图示： 综上可知，所求实数m的取值范围为. 故选：C 类型六、嵌套函数的零点问题 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 例6．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有零点转化为方程有实根，令，则方程可转化为常见的一元二次方程，对其分析求解即可. 【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： 函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.故选：A 变式6-1已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有个不同的交点可得出. 【详解】当时，，则， 当时，， 则， 当时，，， 所以， 当时，， 因为单调递增且时单调递增， 所以在单调递增，且， 故画出函数图象如下图所示， 函数有3个不同的零点等价于和有个不同的交点， 所以由图象可得. 故选：B. 变式6-2．已知函数，，则函数的零点个数不可能是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由可得或，然后画出的图象，结合图象可分析出答案. 【详解】由可得或 的图象如下： 所以当时，，此时无零点，有2个零点，所以的零点个数为2； 当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4； 当时，，此时有4个零点，有2个零点，所以的零点个数为6； 当时，，此时有3个零点，有2个零点，所以的零点个数为5； 当且时，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4； 当时，，此时的零点个数为2； 当时，，此时有2个零点，有3个零点，所以的零点个数为5； 当时，，此时有2个零点，有4个零点，所以的零点个数为6； 当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4； 当时，，此时有2个零点，无零点，所以的零点个数为2； 综上：的零点个数可以为2、4、5、6， 故选：B 变式6-3．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案. 【详解】设，则化为， 又， 所以，， 作出函数的大致图象，如图 由图可得，当时，有两个根，， 即或，此时方程最多有5个根； 当时，有三个根， 即或或， 此时方程最多有6个根； 当时，有两个根，即或， 此时方程有4个根； 当时，有一个根，即， 此时方程有2个根； 综上，方程的实数解的个数至多是6个. 故选：B. 类型七、函数模型的选取与应用 常见的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，每种函数模型都有其特定的应用场景： 例7．某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】(1) (2)项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【详解】（1）由， 可得，解得 故； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 变式7-1某同学有压岁钱10000元，计划存入银行，银行最新推出两种存款理财方案. 方案一：年利率为单利（单利指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方式），每年的存款利率为； 方案二：年利率为复利（复利指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计息的计息方式），每年的存款利率为； (1)若该同学存款年，其所获得的利息为元，分别写出两种方案中，关于的函数关系式； (2)若该同学存款5年，应选择哪种方案？若存款10年，应选择哪种方案?请分别说明理由. 参考数据:. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题目中给出的关系，可得答案； （2）代入给定的的值，可得答案. 【详解】（1）方案一：；方案二：. （2）当时，方案一：；方案二：. 由，则应选择方案一. 当时，方案一：；方案二：. 由，则应选择方案二. 变式7-2．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. (2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】(1)选择函数模型①， (2)不能，理由见解析，. 【分析】（1）根据与的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，求耗电量的函数解析式；（ⅱ）根据的单调性求整个路程耗电量的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，列式求解. 【详解】（1）与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型① 由题意，有解得 所以. （2）（i）由题意，， 所以函数在上单调递增. （ii）因为，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服务区充电，否则不能到达B地. 设行驶时间与充电时间分别为（单位：），总和为. 若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，则， 所以总时间 当且仅当，即时，等号成立， 所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为 变式7-3．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名科研人员，年人均投入a万元，现把原有科研人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)当30时，试写出调整后国家对科研人员年总投入y万元与技术人员x名的关系式. (2)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (3)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入. 【答案】(1) (2)75人 (3)存在 【分析】（1）根据题意求出研发人员的投入和技术人员的投入之和即可，注意写上定义域. （2）根据题意列不等式，解一元二次不等式即可. （3）根据①②列不等式，分离参数，分别利用函数的单调性及基本不等式求解即可. 【详解】（1）依题意. （2）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （3）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 压轴专练 一、单选题 1．已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 2．已知函数的零点是，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的零点结合根与系数的关系得，，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由韦达定理，可得：，， 那么：， ， ，当且仅当取得等号， 即， 故的最大值为. 故选：D. 3．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知与有2个交点，作出函数的图象，结合图象即可得结果. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 4．已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由可得，由求零点. 【详解】因为在上单调，令，则且， 从而，解得（负根已舍去），所以， 由解得，所以的零点为1. 故选：B 5．若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案. 【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数，在同一坐标系中可作出其图象：    由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点， 则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点， 则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为， 故选：D 二、多选题 6．已知函数则（    ） A．当时，无零点 B．当时，只有一个零点 C．当恰有两个零点时，的取值范围是 D．当恰有三个零点时，的取值范围是 【答案】ABD 【分析】设，令，得，进而画出图象利用数形结合逐项判断. 【详解】设，令，得， 作出的大致图象，如图所示: 对于A：由图可知，当时，直线与的图象无公共点， 则无零点，故A正确； 对于B：当时，直线与的图象只有一个公共点， 则只有一个零点，故B正确； 对于C：当恰有两个零点时，直线与的图象恰有两个公共点， 则的取值范围是，故C错误； 对于D：当恰有三个零点时，直线与的图象恰有三个公共点， 则的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 7．已知，函数，则下列结论中正确的是（　　） A．存在，使得无零点 B．对任意至少有一个零点 C．存在，使得有两个零点 D．存在，使得的图象关于对称 【答案】BCD 【分析】转化为函数的图象与函数的图象的交点个数问题，通过作图可判断ABC；根据的对称性，结合平移变换可判断D. 【详解】记， 函数的零点个数，等价于函数的图象与函数的图象的交点个数， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，函数与函数的图象至少有一个交点，A错误，B正确； 当直线与函数的图象相切，且切点不是时，有两个交点，C正确； 易知，函数的图象关于点成中心对称， 取，则的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意可知函数的值域不为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若存在实数，使得方程无解，可知函数的值域不为， 当时，在上单调递增，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上的最小值为， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为： 9．已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的所有解之和是 ． 【答案】2 【分析】作分段函数的图象，由方程的根与函数的零点及函数图象的交点三者之间得出结论. 【详解】因为， 作出函数的图象， （空心点表示不包括端点） 其与直线的交点，观察图象有，，共3个交点， 所以方程所有解之和是2. 故答案为：2. 10．已知函数，当时，函数的值域为 .若函数有三个不同零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，结合指数函数与二次函数的性质，求得函数的值域，再由有三个不同零点，即有三个实数根，结合对数的运算性质和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解. 【详解】当时，函数， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得， 所以函数的值域为； 因为函数有三个不同零点，即有三个实数根， 当时，由，可得，解得， 若在上存在零点，则满足，解得； 当时，由，可得， 若方程在上两个实数根，设两根分别为， 则满足 解得， 综上可得，若函数有三个不同零点，实数的取值范围为. 故答案为：；. 11．已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】二次函数和对数函数得到函数的单调区间，以及函数的最值和端点的值，由此得出函数图像，再由方程有4个不同解以及方程解的大小关系作出大致图像.由二次函数对称性得到，由对数函数得到，代入代数式后利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】由二次函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 由对数函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 故作分段函数图像如下： 若有四个不同的解，则， 即 由二次函数的对称性可知， 由对数函数可知，即，则，即，且. 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 12．若函数的图象上存在两点A，B关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”若恰好有两个“基点对”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题转化为，即在上恰有两个实根，再根据二次函数的图象列式即可解得结果. 【详解】因为与的图象关于原点对称， 所以问题等价于与的图象恰有两个交点， 等价于，即在上恰有两个实根， 结合二次函数的图象可知， 且且，即， 解得. 故答案为： 四、解答题 13．已知函数 (1)若该函数恰有一个零点，求实数的值； (2)若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或 (2) (3)或 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用二次函数根的分布情况进行求解即可； （3）分、和三种情况讨论即可. 【详解】（1）当时：函数为，恰有一个零点，符号题意； 当时： 函数是二次函数，， 化简得，解得或. 综上，或或. （2）函数， 函数有两个零点，故，即， ，即，解得且； 对称轴为，需满足，解得或， ， ，解得或， 综上的取值范围为：. （3）不等式对恒成立， 对恒成立， 分情况讨论： 当时： 即或， 当时，不等式变为，对恒成立。 当时，不等式变为，即，不满足对恒成立； 当时： 此时函数是二次函数，要使其对恒大于，需满足， 由得或， 计算，即， 解得或， 结合或，得到或， 综上，实数的取值范围是或. 14．已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围； (3)若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将参数代入，分类讨论去掉绝对值后解不等式即可； （2）将函数改写为分段函数形式，并根据二次函数单调性解不等式可得实数的取值范围； （3）利用函数与方程的思想，将问题转化为方程有三个不相等的实数根，利用二次函数单调性可得不等式，再由对勾函数性质求出，可得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，可得， 不等式可得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，可得； 综上可知，的解集为； （2）依题意可知； 当时，图象的对称轴为， 当时，图象的对称轴为， 若函数在上是增函数，可得，解得； 因此实数的取值范围为. （3）依题意可知方程有三个不相等的实数根， 又因为，由（2）中结论可得当时，函数在上是增函数， 此时方程不可能有三个不相等的实数根，不合题意； 当时，可知； 所以可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，关于方程可能有三个不相等的实数根， 即可得， 因为，所以， 设， 因为存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，； 又在上单调递增，所以； 因此可知时，满足题意， 所以实数的取值范围为. 15．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，解方程组即可求解； （2）由（1）知等价于，即，令，利用单调性求出的最大值即可求解； （3）由题意可得，即是方程的两个互异的正根，即，解出即可求解. 【详解】（1）由题意有：，解得； （2）由（1）知等价于， 因为存在，使得成立，所以 令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故， 故实数的取值范围是； （3）由已知有：，依题意可得， 即是方程的两个互异的正根，     故，解得， 故实数c的取值范围是. 16．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：，） 【答案】(1) (2)第二个模型与监测数据差距较小；总量再翻一番时还需要经过个月 【分析】（1）将前列数据代入第一个函数模型即可解方程组求得结果； （2）将前列数据代入第二个函数模型可求得第二个函数模型的解析式；再将列数据分别代入两个模型，比较预估值与检测数据即可确定差距较小的函数模型；将代入模型即可求得总量再翻一番时所需时长，进而得到结果. 【详解】（1）将前列数据代入第一个函数模型得：，解得：， 第一个函数模型的解析式为：. （2）将前列数据代入第二个函数模型得：，解得：， 第二个函数模型的解析式为：； 将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：； 将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：； 根据第列数据，第二个模型与监测数据差距较小； 总量翻一番时，，此时； 若总量再翻一番，则，由得：，， ，总量再翻一番时还需要经过个月. 17.已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，求的值； (3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，由结合参数分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1） ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以函数的值域为. （2），则， ， 所以 设， 则， 两式相加得，则， 故 （3），设， 当时，，则函数等价于， 若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且， 当时，，所以， 所以，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $