九年级数学上学期期中模拟（华东师大版，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版2012七八年级+九年级上册第二十一章+第二十二章+第二十三章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 2．以下四个图形是四个省市的，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．若等式成立，则实数的取值范围是是（    ） A． B．或 C． D． 7．某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 8．有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，下图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，．．．，依此规律，图⑧中苯环的个数为（   ） AI   A．45个 B．55个 C．60个 D．66个 9．如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 10．已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．太阳半径696300km，将696300用科学记数法表示是 ． 12．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 13．已知，则 ． 14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 15．已知，且，则 16．已知m、n是方程的两根，则代数式的值等于 ． 17．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 18．一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则 ；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数 （，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1) (2) 20．计算： (1)； (2)． 21．已知如图所示． (1)用尺完成基本作图：作的角平分线交于点D，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，在（1）的作图下，若，求和的长度． 解：， ①_______________ 又平分， ②_____________ 又 ③______________， ， ， ④_____________ 22．（1）化简：； （2）已知，求代数式的值． 23．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_______，_______，________； (2)若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ (3)该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 24．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 25．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时________； (3)当，则的最小值为_________； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 26．【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点 （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若，求的值； 【拓展】 （3）如图3，已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接CF，延长CF，BF交边于点G，H，若，，求的值． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 5 6 > 9 10 D C ◇ C B 0 C 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.6.963×103 12. 30.5 13.±3 14.20 15. 3015 16.2029 168 18.211294 25 三、解答题（本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(10分) (1)解：.x2+6x-1=0, 移项得：x2+6x=1, 配方得：x2+6x+9=1+9, (x+3)2=10,(3分) .x+3=±10： ∴.x1=-3+10,x2=-3-10:(5分) (2)解：.5x2-3x=x+1, 5x2-4x-1=0, (5x+1)(x-1)=0,(8分) ∴.5x+1=0或x-1=0, X=日名=1.40分) 20.(8分) 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a)解--2日-27× 8 8-1+-8×君-3× (2分) 元-1+-1-1 i-3;(4分) 2)解22+3×22-3+4日+1-回 22-3+16×8+1-2(6分) 8 i8-9+2+2-1 乙-2+22.(8分) 21.(10分) (1)解：如图，此时CD为∠ACB的角平分线， D B E (4分) (2)解：.△ABC△ACD, .∠B=∠ACD,(5分) 又.CD平分∠ACB, ∴.∠BCD=∠ACD ∴.∠B=∠BCD ∴.△BCD为等腰三角形，(6分) 又BD=3 .CD=3 :△ABC一△ACD,(8分) .AC=AD AB AC AC AD AD+DB AC' ∴.AC=V10.(10分) 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：∠B=∠ACD;△BCD为等腰三角形；△ABC一△ACD:V1O 22.(10分) 解：(1) a+b-2Vab,a-b Va-Vb Va+Vb a+B2-2Va.B a2-B2 Va-Vb Va+Vb Va-VB2 Va-VbVa+Vb Va-Yb Va+Vb iVa-Vb+Va-Vb 元2Vā-2b:(5分) (2) x+Vy x-y x-y x+y (x+ x-2 ix-9yx+y x+VyVx-y】 元+2y+y-x-2y+y x-y x-y 乙X+2y+y-x+2y=y x-y 64型 (8分) x-y 当x=3+2,y=2-V3时， 原式 43+22-3_42-31-4_23 (10分) V3+2-2-V3 3+2-2+V3233 23.(10分) (1)解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，93出现次数最多，且为3次， 众数a=93; 调查20名九年级学生竞赛成绩， .中位数排在第10和11名之间， 则45%×20=9，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第10和11名的竞赛成绩分别是89和88， 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中位数b= 89+88 2 =88.5, 又B组有6名学生， 则m%=6 ×100%=30%, 20 故答案为：93,88.5,30.(3分) (2)解：依题意，900×+800×9=495+360=855， 20 20 '.估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有855人.(7分) (3)解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： 开始 甲 个 N 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 ∴.一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有10种. “抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为2后 10_5 (10分) 24.(10分) (1)解：设A款水杯的售价为x元，则B款水杯的售价为x-12元， 根据题意，可列出方程： 3600=1.2×48 X-12 X' 解得x=32, 经检验，X=32是原方程的解，(3分) B款水杯的售价为x-12=32-12=20(元)， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元.(5分) (2)解：B款水杯的进价为16×1-50%=8（元）， 九月份A款水杯销量为 480 2 -=150(只)， 九月份B款水杯销量为20 00=180(只)， 设A款水杯降低了y元， 根据题意.可列出方程：32-y-16150+片×30+20-8×180=4560， 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得y1=0,y2=6,(8分) 因为是降价促销，所以y=0不符合题意，舍去， A款水杯降低了6元.(10分) 25.(10分) (1)解：a+b≥2ab,5>0,6>0,5≠6 5+6>2V5×6: 6=6 6+6=2V6×6 故答案为：d,i.(2分) (2)解：X>0, 9 9 x+3227x×=6 X X 当x=9 即x=3时，有最小值，最小值为6 故答案为：6,3.(4分) (3)解：X>2 X-2>0 设t=x-2 9 x-2=1++2≥21×9+2=2×3+2=8 9 9 t t 当t=9 时，即=3时，有最小值，最小值为8 故答案为：8.(7分) (4)设这个矩形的长为xm,所用的篱笆总长为ym, :围一个面积为100m的长方形花园， 宽为100 m y=2x+200 X x>0, 2x+200 22x. 200 =40, X 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当2x= 200时，即X=10时y有最小值，最小值为40. 100 x=10时， =10, X 当这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.(10分) 26.(10分) (1)证明：.将△BCE沿着BE折叠，点C落在四边形ABCD内部的点F处， .BE⊥CF, ∴.∠ECF+∠BEC=90°， 四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠D=∠BCE=90°， ∴.∠ECF+∠CGD=90°， ∴.∠BEC=∠CGD, 在△BCE和△CDG中， ∠BEC=∠CGD ∠BCE=∠D BC=CD ∴.△BCE≌△CDG AAS, ∴.CE=DG;(3分) (2)解：如图2，连接HE, G H D F B 、C 图2 DE=x, 由肥-号可设DH=2mAG=3m,令是 HD_2 BC=BF ∴.∠BCF=∠BFG AD BC ∴.∠HGF=∠BCF 又.∠GFH=∠BFC 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.LHGF=∠GFH .HF=HG=3m,EC=FE=DG=DH+HG=2m+3m=5m ∴.DE=xEC=5mx 在Rt△HFE和Rt△EDH中 由勾股定理得：HF2+FE=DH+DE2 ∴.(3m2+(5m)2=(2m)}2+(5mx2 解得：X= 30或-30不合题意，舍去d 5 DE_30 (6分) EC 5 3)解：由巴=2 HG-3' 可设DHE2a,HG=30,令光x,则DE=xC ①当点H在点D左侧时，如图3， GH D B 图3 由(2)知，HF=HG=3a ,'将△BCE沿着BE折叠，点C落在四边形ABCD内部的点F处， ∴.BE⊥CF ∴.∠ECF+∠BEC=90° .∠D=90 ∴.∠ECF+∠CGD=90° ∴.LBEC=LCGD 又.∠BCE=∠D=90° ∴.△BCE~△CDG …0是2} CE BC 2 .CE=10a=FE,DE=xEC=10ax 在Rt△HFE和Rt△EDH中 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：HF2+FE=DH+DE2 .(3a2+(10a2=(2a2+(10ax2 .9a2+100a2=4a2+100a2x2 解得x=105或-105， 10 不合题意，舍去d, .DE105 (8分) EC-10 ②当点H在点D右侧时，如图4， G D H A B 图4 则HG=HF=3a,HD=2a ..DG=a 同理可得△BCE△CDG .DG_CD_1 ·CEBC-2 .'CE=2a=FE,DE=xEC=2ax .HF2+FE2=DH2+DE2 .(3a2+(2a}=(2aP+(2ax2 3 六x=2或- 号不合题意，舍去乙 DE-3 ·EC2 综上所述， DE_1053 EC 10 (10分) 8/8 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版2012七八年级+九年级上册第二十一章+第二十二章+第二十三章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是掌握倒数的概念：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据倒数的定义，求2025的倒数，即找与2025相乘等于1的数． 【详解】解：2025的倒数是． 故选：C． 2．以下四个图形是四个省市的，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 3．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在9和10之间． 故选：C． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴． 故选：B． 6．若等式成立，则实数的取值范围是是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据等式成立需两边均有意义且相等，右边分式要求分子和分母的根号内非负且分母不为零，即 且 ，故 ，此时左边也有意义且等式恒成立． 【详解】∵ 等式右边 有意义的条件是：，解得 ． 当 时，左边 ，等式成立． ∴ 实数 的取值范围是 ． 故选：C． 7．某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件平均每月的增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该厂生产零件平均每月的增长率为， 由题意得，． 故选：． 8．有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，下图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，．．．，依此规律，图⑧中苯环的个数为（   ） AI   A．45个 B．55个 C．60个 D．66个 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探索，总结归纳出第个图中苯环的个数是解题的关键．观察图形可得，，第个图中苯环的个数为，再代入即可求解． 【详解】解：图①中苯环的个数为， 图②中苯环的个数为， 图③中苯环的个数为， …… 依此类推，第个图中苯环的个数为， 当时，， ∴图⑧中苯环的个数为45个． 故选：A． 9．如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合垂线定义、正方形性质得出，，，设，，则，，，，设与相交于点，利用两角相等证明，由相似三角形性质得，从而推得，利用勾股定理求出，，再证，由相似三角形性质得，从而得到，由即可得解． 【详解】解：依题得：，即， 正方形中， ，， 设，， 则，，，， 设与相交于点， 此时， 又，， ， ， ， ， 即， 解得， 即， ，，， 中，， 中，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、三角形内角和定理，解题关键是利用相似三角形的判定与性质推得． 10．已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键．①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；当时，存在满足条件的和使得，故可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∴当时，，， ∵，， ∴，，故①符合题意； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有， 即当时，满足条件的整式M共有10个，故②符合题意； 假设存在，此时使得， 设，， 当时，， 当时，， ∴， 故存在（如），使得，故③不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．太阳半径696300km，将696300用科学记数法表示是 ． 【答案】6.963×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，关键在于确定a与n的值． 【详解】将696300km用科学记数法表示为：6.963×105． 故答案为：6.963×105． 【点睛】本题考查科学记数法，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 12．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为． 故答案为：． 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，二次根式的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由已知，通过平方关系求，再开平方得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为． 故答案为：． 15．已知，且，则 【答案】/0.75 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值．由可得，从而得到，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．已知m、n是方程的两根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系，，，再得到，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 17．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 18．一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则 ；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数 （，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了整除问题以及新定义“希福数”，根据“希福数”定义直接求解，即可得到答空1答案，先根据“希福数”得到与、的关系，再结合能被6整除求解即可得到答案； 【详解】解：∵为“希福数”， ∴能被9整除，即为整数，且， ∴， 故答空1答案为：2； ∵ 是“希福数”， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴ ∵能被6整除， ∴或或或或或或或， ∵能被整除， ∴最小值为，，，即， ∴最大值为，，，即， ∴． 故答空2答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用配方法解方程， （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解： ， 移项得：， 配方得：， ， ， ； （2）解： ， ， ， 或， ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，乘方运算，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，立方根，算术平方根，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据平方差公式展开，以及二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．已知如图所示． (1)用尺完成基本作图：作的角平分线交于点D，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，在（1）的作图下，若，求和的长度． 解：， ①_______________ 又平分， ②_____________ 又 ③______________， ， ， ④_____________ 【答案】(1)图见解析 (2)；为等腰三角形；； 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握尺规作图的方法是解决本题的关键． （1）以点C为圆心，以任意长为半径作弧交和于点F和点E，以点E为圆心，以为半径作弧，以点F为圆心，以为半径作弧交上一个弧于点G，作射线交线段于点D，此时射线为的角平分线； （2）根据相似三角形的性质和角平分线的判定定理可得，则为等腰三角形可得的值，再根据相似三角形的性质进行求解的值即可． 【详解】（1）解：如图，此时为的角平分线， （2）解：， ， 又平分， 为等腰三角形， 又 ， ， ， ． 故答案为：；为等腰三角形；；． 22．（1）化简：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，分式的化简求值，掌握分母有理化的方法是解题关键． （1）把分子分解因式，然后约分化简，再合并同类二次根式即可； （2）先通分化为同分母，化简后再代入计算求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 23．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_______，_______，________； (2)若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ (3)该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种，然后列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是和， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． （3）解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种． ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 24．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 25．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时________； (3)当，则的最小值为_________； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为 ，所用的篱笆总长为 ， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为 ， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 26．【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点    （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若，求的值； 【拓展】 （3）如图3，已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接CF，延长CF，BF交边于点G，H，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 或 【分析】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握利用全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由，可设，，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，求出的值即可； （3）分点H在点D左侧，点H在点D右侧两种情况进行讨论．通过证明，得到，从而可设出、、、，结合，即可求解得到的值． 【详解】（1）证明：将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，连接， 由，可设，，令， 又 ， 在和中 由勾股定理得： 解得：或不合题意，舍去 ； （3）解：由，可设，，令，则 ①当点H在点D左侧时，如图3，    由（2）知， 将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， 又 ，即 ， 在和中 由勾股定理得： 解得或不合题意，舍去， ； ②当点H在点D右侧时，如图4，    则， 同理可得 ， 或不合题意，舍去 综上所述，或． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $