1.3.1二次函数的性质(函数与方程的关系) 课件 2024—2025学年浙教版数学九年级上册

1.3.1函数与方程的关系 1 2 X y 0 3 根据已画好的函数图象回答问题： 先增大，后减小. 当x 时,y随着x的增大而增大 当x 时,y随着x的增大而减小. ≤2 ≥2 抛物线 ，当自变量X增大时，函数值y将怎样变化？顶点是最高点还是最低点？判别这个函数有没有最大值或最小值 该函数的顶点是图象的_______ 该函数有没有最大值和最小值？ 当x=____时,y有最___值=______ 2 大 3 最高点 知识精讲 X Y O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 -1 -2 -3 -4 -5 -1 -2 -3 -4 -5 根据画出的函数图象回答问题： 抛物线 先增大，后减小. 当x 时,y随着x的增大而增大 当x 时,y随着x的增大而减小. ≤3 ≥3 该函数的顶点是图象的 该函数有没有最大值和最小值？ 当x=____时,y有最___值=______ 3 大 1 直线x=3 最高点 一般地，二次函数 有以下性质: 拓展提升 已知二次函数的图象如图所示，试确定a，b，c的符号 解：(1) ∵开口向下 ∴a<0 ∵ ∴b>0 ∵抛物线与y轴的交点在正半轴 ∴c>0 (2) ∵开口向下 ∴a<0 ∵ ∴b<0 ∵抛物线与y轴的交点在负半轴 ∴c<0 (3) ∵开口向上 ∴a>0 ∵ ∴b<0 ∵抛物线与y轴的交点原点 ∴c=0 5 例1：已知下列函数： ①求出函数对称轴、顶点坐标、坐标轴的交点坐标并画大致图象； ②说出函数的增减性； ③当x为何值时有最大值（或最小值），并求出最大值或最小值。 （1） （2） 典例解析 求二次函数y=x2+2x图象与x轴的交点。 解：∵与x轴的交点的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2+2x=0 解得：x1=0，x2=-2； ∴二次函数y=x2+2x图象与 x轴有两个交点（0，0） ， （-2，0） 对于二次函数 y=ax2+bx+c 一元二次方程 ax2+bx+c=0 若令y=0，则变成了 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ） x1，0 x2，0 x O A B x1 x2 y 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2， ax2+bx+c=0 交点个数 b2-4ac ⑴ y=2X２-X-1 ⑵ y=4X2+4X+1 ⑶ y=3X2+2X+5 求抛物线与x轴的交点的个数： 2个 1个 0个 b2- 4ac =(-1)2-4x2x(-1) =9﹥0 b2- 4ac=0 b2- 4ac=-56<0 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 b2-4ac > 0 有一个交点 b2-4ac = 0 没有交点 b2-4ac < 0 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则 a__0，b__0，c__0　 y x o b2 - 4ac___0 2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 D x -1 1 0 y 3.已知抛物线y=mx2-2x -1的函数值恒大于零，求m的取值范围.　 1.a： 2.b： 3.c： 4.a+b+c或a-b+c： 5.a-c： 6.： 7.： 看开口 看对称轴 看与y轴交点 令x=1或x=-1 当对称轴为直线x=1或直线x=-1时 用韦达定理 看图像与x轴的交点个数 二次函数y=ax2 +bx+c的图形与a,b,c之间的关系 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 典例解析 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 典例解析 已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 变式练习 达标检测 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 D 6.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 达标检测 $$