精品解析：四川省双流中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试（一）数学试题

2024-2025学年度四川省双流中学高三下学期高考模拟考试（一） 数学学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，若，则（ ） A. B. 3或 C. 3 D. 3或或5 【答案】A 【解析】 【分析】由得，分类讨论：当时，，经验证不合题意，当时，得或，经验证符合题意. 【详解】因为，所以， 当时，，此时，，，不合题意， 当时，或， 当时，，，符合题意， 当时，不满足元素的互异性. 综上所述：. 故选：A. 【点睛】本题考查了由集合的交集求参数，考查了分类讨论思想，考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2. 若，则z=（ ） A. 1–i B. 1+i C. –i D. i 【答案】D 【解析】 【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 3. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】. 故选：B. 4. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱，再计算体积得到答案. 【详解】如图所示：用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱， 则圆柱的体积为，故所求几何体的体积为10π. 故选：D. 【点睛】本题考查了几何体的体积，用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱是解题的关键. 5. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可. 【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，设，可得：， 从而：， 结合题意可得：， 整理可得：， 即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式逐一代入计算即可. 【详解】因为：， 所以， 故选：C. 7. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合计数问题，列式计算即得. 【详解】依题意，从到的最短路径是共行3段，向右2段向上1段，有种方法， 同理从处到达处有种方法， 由分步乘法计数原理得小明可以选择的最短路径条数为. 故选：B 8. 已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，分，和三种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：， ①当，即时，，则的最大值为1，符合题意； ②当，即时， 则， 所以，所以，当且仅当时取等号， 此时有最小值，无最大值，与题意矛盾； ③当，即时， 则， 当，即时， ，所以， 不妨设，则，即， 故，此时无最大值，与题意矛盾； 当，即时， ，所以，当且仅当时取等号， 此时有最大值，符合题意； 当，即时， 恒不成立，不符题意， 综上所述，若存在最大值，. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据三角形大边对大角与正弦定理判断即可；对B，举反例判断；对C，根据余弦函数的单调性判断即可；对D，由A结合余弦的二倍角公式判断即可. 【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确； 对B，若，则，，，故B错误； 对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确； 对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. 离心率为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意点在以为直径的圆上可判断；对于B，由离心率定义结合正弦定理即可判断；对于C，由斜率公式结合离心率即可验算；对于D，由的关系以及三个三角形的高一样可验证. 【详解】 由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上， 所以，即，A对； 若，则，B错； ，C对； 设的内切圆半径为，则，，， ， ，即，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：得到为等边三角形，且在以为直径的圆上为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 14. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出. 【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法 求导得， 当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点； 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增． 当时，；当时，． 要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为． 故答案为：． ［方法二］： 等价转化 由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，． 只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一． ［方法三］：【最优解】三元基本不等式 同方法二得，，当且仅当时取等号， 要满足条件只需，下同方法一． ［方法四］：等价转化 由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图． 设切点，因为，于是，解得， 下同方法一． 【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法； 方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解； 方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解； 方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，，求： （1）； （2）若、、成等比数列，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项公式与； （2）由（1）可得、、值，再根据等比中项的性质得到方程，解得即可. 【小问1详解】 解：设等差数列的首项为，公差为， 由，，所以，解得，所以， 则. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 又、、成等比数列， 所以，即，解得或（舍去）. 16. 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表： 数据分组 [12.5，15.5） [15.5，18.5） [18.5，21.5） [21.5，24.5） [24.5，27.5） [27.5，30.5） [30.5，33.5） 频数 3 8 9 12 10 5 3 （1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5]内的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求（）. 附：（1）若随机变量服从正态分布，则；（2）. 【答案】（1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587 【解析】 【分析】（1）直接根据频数分布表求尺寸落在[27.5，33.5）内的概率； （2）由每一组数据的中间值乘以频率作和求得样本平均数； （3）依题意，求得与，再由正态分布曲线的对称性求P（z≥27.43）＝0.1587． 【详解】（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在[27.5,33.5]内的概率为； （2）样本平均数； （3）依题意，而，，则， ，. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用频率分布表求概率及平均数，属于基础题． 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是的中点，M是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点B到平面距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明可完成证明； （2）建立空间直角坐标系，由空间向量知识求得平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值即可； （3）由（2），利用点面距离向量公式可得点B到平面的距离，即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，. 由题意、、、、、， 则有，，. 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面与平面所成角的大小为，则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 故点B到平面的距离为. 18. 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 【答案】（1） （2）面积为. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组，结合，解出a和b，即可得椭圆的方程； （2）设， 由可得轨迹方程，再求面积即可； （3）过点的直线与椭圆相切，与椭圆方程联立，利用得出的一元二次方程，结合韦达定理化简，进而可求出为定值. 【小问1详解】 由题设知椭圆中，得 由得 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由得 化简得 表示的是以为圆心，为半径的圆，其面积为. 【小问3详解】 设，且 设过点的直线与椭圆相切，联立 化简得 由得 点在直线上，得代入上式 化简得 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得. 由得 所以 又 所以. 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. 【小问2详解】 的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度四川省双流中学高三下学期高考模拟考试（一） 数学学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，若，则（ ） A. B. 3或 C. 3 D. 3或或5 2. 若，则z=（ ） A. 1–i B. 1+i C. –i D. i 3. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为：（ ） A. B. C. D. 5. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 6. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 8. 已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数定义域为R B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知椭圆左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 14. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，，求： （1）； （2）若、、成等比数列，求. 16. 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表： 数据分组 [12.5，15.5） [15.5，18.5） [185，21.5） [21.5，24.5） [24.5，27.5） [27.5，30.5） [30.5，33.5） 频数 3 8 9 12 10 5 3 （1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5]内的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求（）. 附：（1）若随机变量服从正态分布，则；（2）. 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是中点，M是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点B到平面的距离． 18. 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆两条切线.记的斜率分别为，求证：. 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $