22.3勾股定理（2）导学案 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案围绕勾股定理的逆定理展开，引导学生通过新课预习连接勾股定理旧知，课堂学习从逆定理的证明入手，结合直角三角形判定、勾股数概念及实际应用问题，构建从理论到实践的学习支架。 资料注重分层设计，预习填空、课堂证明推理、例题解析与挑战题结合，培养学生的推理能力和几何直观。通过四边形绿地面积计算等实际问题，提升应用意识，勾股数辨析与综合题设计发展抽象能力和创新意识，助力核心素养落地。

勾股定理的逆定理 1、 学习目标 1. 理解勾股定理的逆定理； 2. 能用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。 2、 新课预习 阅读课本P127-131，完成下列问题： 1. 如果三角形的一条边的平方等于________________________，那么这个三角形是直角三角形. 2. 根据下列条件，判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形。 (1)a=20,b=21,c=29; (2)a=5,b=7,c=8; (3)a=,b=,c=2。 3、 课堂学习 1. 勾股定理逆定理的证明 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 如图,已知：在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且a²+b²=c². 求证：△ABC是直角三角形. 思考：在证明过程中证明两个三角形全等的依据是______________ 2. 直角三角形的判定 例2在△ABC中，BC=8,AC=15,AB=17.试判断△ABC是不是直角三角形. 3. 勾股数的概念 我们已经知道，3²+4²=5²,8²+15²=17²,如果正整数a、b、c满足²+b²=c²,那么a、b、c称为一组勾股数. 尝试练习： 1.判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”,错误的在括号里打“×”: (1)以0.3、0.4、0.5为三边长的三角形不是直角三角形；( ) (2)以50、120、130为三边长的三角形是直角三角形.( ) 2.以下列a、b、c为边的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一个角是直角? (1)a=8,b=13,c=11; (2)a=6.5,b=2.5,c=6; (3)a=40,b=41,c=7. 4.逆定理的应用 例3如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB长24 m,BC长15m,CD长20m,DA长7m,∠C=90°.求绿地ABCD的面积. 挑战自己：如图，在△ABC中，AB=AC,D是边AC上一点，CD=8,BC=17,BD=15.求AB的长. 4、 课后作业 1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A.7,24,25 B.3,4,5 C.3,4,5 D.4,7,8 2．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为____. 3．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为____. 4.顶角为45°,腰为20㎝的等腰三角形的面积等于____. 5. 分别以下列四组数为一个三角形的边长： （1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6. 其中能构成直角三角形的有（ ） A.4组； B.3组； C.2组； D.1组. 6. 下列四组数中是勾股数的有( ). ①1.5、2.5、2;②2、、;③12、16、20;④0.5、1.2、1.3. A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 7. 下列命题其中正确的是( ) ①如果a、b、c为一组勾股数，那么ka、kb、kc仍是勾股数(k为正整数)； ②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5; ③如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c(a>b=c),那么a:b:c=:1:1. A.①② B.①③(C) C. ①④ D.①②④ 8.如图，在△ABC中，∠ABC=105°,∠C=45°,AC=2,BD是AC边上的高，那么下列推理所得结论中错误的是( ). A.BD=3— B.AD=+3 C.BC=3— D.AB=6-2 9.如图，在△ABC中，AB=AC=5,CD=1,BD⊥AC,垂足为D.求BC的长. 10.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°,AB=3,BC=12,CD=13,DA=4.求四边形ABCD的面积. 11.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S₁、S₂、S₃、S4.如果S₁=48,S₂=110,S₃=25,求S₄的值. 12. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积. A D C B 【课外拓展】 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数． A C P B D 学科网（北京）股份有限公司 $