27.2 相似三角形（题型专练）数学人教版九年级下册

27.2 相似三角形 题型一 利用三边对应成比例判定相似 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 题型二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意可得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又， ∴． 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 题型三 利用两角对应相等判定相似 1．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，为上一点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据角平分线定义可得，进而可以证明结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵． ∴． 2．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由矩形的性质可得，结合，可得，根据两组对角相等即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ． 4．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ∴． 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，是上一点，增加一个条件使，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】或或 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； 根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴添加或或，， 故答案为：或或． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 【答案】（或或） 【分析】此题考查了相似三角形的判定，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个角形相似定理的应用．两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角或夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：要使相似，已知，还需具备的一个条件是或或． 故答案为∶ （或或） 题型五 利用相似三角形的性质求解 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)18 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明结论； （2）结合题意确定两个三角形的相似比为，然后根据“两个相似三角形的面积比等于相似比的平方”，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）∵，且，， ∴，即两个三角形的相似比为， ∴ ∵的面积为8， ∴． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，进而可证； （2）根据相似三角形的性质得到，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由为等边三角形，则、，进而得到，再说明，然后根据两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形对应角相等得到，再说明，然后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，为的高，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，以及利用相似三角形的性质求解线段长度． （1）通过直角三角形得到，再结合条件，证明； （2）先利用相似三角形的性质得到对应边成比例，再结合等腰直角三角形的性质求出相关线段的关系，进而求出的长． 【详解】（1）证明：为的高， ． 又， 和都是等腰直角三角形， ，且． 在和中， ，且， ； （2）解：由，可得． ， ． 题型一 利用相似求坐标 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． (1)求，的值； (2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一次函数求得，，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据解析式求得点的坐标，进而得出，，得出，分情况讨论，①当时，，根据相似三角形的性质得出，进而根据旋转的性质，全等三角形的性质，求得点的坐标；②当时，，同法求得，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数和一次函数的图像经过、两点， 当时，，当时， ∴， 将，代入， 解得： ∴解析式为 （2）解：由， 当时，， 解得： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图所示，过点作于点，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 设 ∵将点绕点逆时针旋转得到点， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ①当时， ∴， 又∵ ∴， ∴ 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴即 ∴ ②当时，， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴， 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 当，如图， 同理可得， 综上所述，当和相似时，或． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 3．（22-23九年级上·云南·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标． （2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 4．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据的面积等于与的面积之和即可得； （3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则双曲线的解析式为． （2）解：如图，连接、， 将点代入得：，即， 将点，代入得：， 解得， 则， 当时，，即， 当时，，解得，即， 则的面积为． （3）解：， 是等腰直角三角形，， ①如图，过点作轴，交轴于点， ，符合题意， ， ； ②如图，过点作，交轴于点， 则是等腰直角三角形， 在和中，， ，符合题意， 又轴，轴轴， ， ， ，即， 综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 题型二 相似三角形的判定与性质的综合应用 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知， ， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得 ， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，直接写出的长为________． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】（1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据点为的中点，得出，根据，得出，设，则，根据，得出，根据，得出，从而得； （3）由（2）知，，则，证明，得出，求出，，证明，得出，由（2）知，设，则，则，从而求出，在 中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， 在与中，， ． （2）解：∵点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ∵， ∴， ； （3）解：由（2）知，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，设，则， ， 即， 解得：或（舍去）， ， 在 中，． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型三 相似三角形的动点问题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； (2)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1)不能，见解析 (2)当或时，与相似． 【分析】（）由题意得，，则，在中，，得到，即，利用根的判别式判断即可； （）分两种情形讨论即可若时，若时两种情况，然后分别解方程即可； 本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：的长度不能为；理由如下： 由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 化简得：， ∵， ∴原方程无实数根， ∴的长度不能为； （2）解：∵由题意得，， ∴， 若时， 则有，即， 整理得：， 解得：， ∴时，与相似； 若时， 则有，即， 解得：， ∴当时，与相似， 综上所述：当或时，与相似． 3．（23-24九年级上·宁夏·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使使与相似，他两种情况：当时，当时，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于； (2)线段不能将分成面积相等的两部分；理由见详解； (3)经过秒或2.4秒时，与相似． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为． (1)如图1，求出的长； (2)如图2，在旋转过程中，试求出的值； (3)如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、三角形中位线的性质等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合题意，利用勾股定理解得的值，然后结合“点D、E分别是边上的中点”，即可获得答案； （2）首先证明，，进而证明，然后根据相似三角形的性质即可获得答案； （3）首先结合图1确定，的值以及，再分点在之间和点在之间两种情况讨论，结合勾股定理解得的长度，然后计算线段的长即可． 【详解】（1）解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵点D、E分别是边上的中点， ∴； （2）∵点D、E分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图1， 根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D、E分别是边上的中点， 则，，， ∴， 若绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论， ①当点在之间时，如下图， 此时， ∴， ∴； ②当点在之间时，如下图， 此时， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，在矩形中，E为边上一点，且 (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足 ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． （1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）①由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． ②利用相似三角形的性质得出比例式，进而解答即可． 【详解】（1）证明：矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①连接，交于点O， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； ②， ，， ， ， ， ， ， 设，，则， ，即， 解得： 或负值舍去， 4．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． 在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在 (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)P坐标是或 【分析】本题考查一次函数的性质、三角形相似的性质和判定、两点之间的距离公式，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据直线解析式即可求出，，得到，，进而求出，证明，即可得，可得，进而求出，即可得出点D坐标； （2）由相似三角形的性质可得出，从而可得出，．过点作于点H，证明，即得出，，即，分别求出、、，结合勾股定理逆定理即可完成证明； （3）由，可确定当与相似时，点P只能在射线上．又可求出，，．分类讨论①当时，即，代入数据可求出，．过点作轴于点F，利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，，再利用勾股定理即可求出此时；②当时，即，同理求解即可． 【详解】（1）对于，令，则， 令，则， ，， ，． ， ，． ，， ， ． 又∵在中，由勾股定理得， ， ， ， 点D坐标是； （2）证明：，， ． ， ，． 过点作于点H，如图， ，， ． 又， , ，， ， ，． ， ， ； （3）， 当与相似时，点P只能在射线上． ，，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为, 令，则， ， ， ①当时，即， ， 解得：， ． 如图所示，过点作轴于点F， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为． 设，则，， 在中，， ， ， 解得：，（舍）， ， 此时； ②当时，即， ， 解得：， ， ， 点为中点， ，， ； 综上所述：点P坐标是或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 相似三角形 题型一 利用三边对应成比例判定相似 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 题型二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，．求证：； 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型三 利用两角对应相等判定相似 1．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，平分，为上一点，．求证：．    2．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上高，若，． (1)求证：； (2)求的长． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 4．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，求证：． 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，是上一点，增加一个条件使，这个条件可以是 （写出一个即可）． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件 ． 题型五 利用相似三角形的性质求解 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为8，求的面积． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，为的高，． (1)求证：； (2)求的长． 题型一 利用相似求坐标 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． (1)求，的值； (2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 3．（22-23九年级上·云南·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 4．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 相似三角形的判定与性质的综合应用 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，直接写出的长为________． 题型三 相似三角形的动点问题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； (2)当t为何值时，与相似？ 3．（23-24九年级上·宁夏·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为． (1)如图1，求出的长； (2)如图2，在旋转过程中，试求出的值； (3)如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，在矩形中，E为边上一点，且 (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足 ①求证：； ②求的值． 4．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． 在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在 (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $