4.2.1指数函数的概念（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数概念，通过国际象棋麦粒、景区游客增长等情境导入，衔接实数指数幂知识，引导学生从具体实例抽象出函数模型，搭建概念形成的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（麦粒增长、碳14衰减），用数学思维辨析底数限制（a>0且a≠1的合理性），通过典例训练（如药物含量、复利计算）强化数学语言表达。采用情境-辨析-应用结构，小结清晰，助学生深化理解，教师可高效教学。

4.2.1 指数函数的概念 第四章 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 我们已经学习了“实数指数幂”，回顾一下： 幂 指数 底数 读作“a的n次方”或“a的n次幂” 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 今天我们将探究一类基本初等函数——指数函数。 章节导读 4.1 ＋4.2函数的概念 4.3＋4.4 函数的性质 4.5函数的应用 指数 函数的零点和方程的解 二分法求方程的近似解 指数函数 对数 对数函数 学 习 目 标 1 2 3 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 掌握指数函数的定义域、值域的求法. 了解指数增长型和指数衰减型函数模型的实际应用. 读教材 阅读课本P111-P113 ，5分钟后完成下列问题： 1. 问题1和问题2说明指数增长和指数衰减有何共同特点？ 我们一起来探究“指数函数”吧！ 2. 从指数函数的定义中，你能发现函数解析式有那些特点？ 新课引入 印度，国王痴迷新奇游戏。智者发明国际象棋，国王欲赏。智者求在棋盘 64 格依次放麦粒，从 1 粒起，后一格是前一格 2 倍。国王觉易，命仆人放置。起初顺利，然格子增加，麦粒数剧增。第 10 格需 512 粒，20 格超 50 万粒，30 格超 5 亿粒，40 格达 5000 多亿粒。王国粮仓渐紧，国王仍硬着头皮继续。临近 64 格，麦粒数庞大难算，约 18446744073709551615 粒，远超王国及当时全世界麦粒总量。国王终晓鲁莽，折服于智者智慧。此传说流传，彰显指数增长威力，令后人对棋盘 64 格敬畏。 你明白其中的道理吗？ 这节课就让我们 学习故事中涉及到的指数函数吧！ 学习过程 01 03 02 目录 1 指数函数的概念 2 题型训练 新知探究1 上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究， 了解了研究一类函数的过程和方法．你能说说如何研究一类函数吗？ 过程： 概念 背景引入 图象及其性质 应用 新知探究1 问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 观察表格中的数据比较两地景区游客人次 每年的变化情况发现了怎样的变化规律？ 角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势. 角度2：为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来. 新知探究1 角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势. A景区构建函数模型，从2001年开始，每年的增加量约为10万人次，则 1年后，游客人次增加了_______, 2年后，游客人次增加了_______, 3年后，游客人次增加了_______, …… 年后，游客人次增加了_______, 设年后的增加量记为，则_____________。 A景区 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 新知探究1 角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势. B景区构建函数模型，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？请你试一试. 从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 　　 增长率 为常数 结果表明，地景区的游客人次的年增长率都约为 ，是一个常数. 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量. 新知探究1 角度2：为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的 曲线将离散的点连起来. 曲线越来越陡（非线性增长） 近似直线上升（线性增长） 新知探究1 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，地景区的游客人次近似于指数增长. 显然，从2001年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 如果设经过年后的游客人次为2001年的倍， 那么.① 这是一个函数，其中指数是自变量. 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 年后，游客人次是2001年的倍. 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减。 新知探究1 问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 年 碳14含量 思考1:该情境中有何变量关系？ 思考2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格. ······ 思考3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内 碳14含量与死亡年数间的关系式。 碳14含量与死亡年数 新知探究1 死亡１年后，生物体内碳１４含量为（1-p)1； 死亡２年后，生物体内碳１４含量为（1-p)2 ； 死亡３年后，生物体内碳１４含量为（1-p)3 ； …… 死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730 ． 我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半， 即，那么 则. 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减。 新知探究1 探究1 请说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？ （指数为自变量，底数为常数） 讨论1:在中，对有要求吗？ 没有， 讨论2:在中，对有要求吗？ 新知1 指数函数的概念 1. 指数函数的概念： 注：指数函数满足 ①的系数为1，“”是单项式的形式； ②指数函数的底数； ③指数函数的指数为自变量 定义：一般地，函数叫做指数函数。 其中是自变量，定义域是. 概念辨析 思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1? 典例分析 例1 （多选）下列函数中，是指数函数的为( ) A. B. C. D. 解：选.形如，且 形式的函数为指数函数， 满足条件的为A，D. 的系数为1 AD 典例分析 例2 已知指数函数＝，且=π， 求，，的值？ 解：因为 f(x)＝,且 =π,则 = π，解得 = , 于是f(x)＝ 所以f(0)==1，f(1)==，f(-3)== 典例分析 例3 若函数是自变量是指数函数，求 的取值范围？ 解：因为函数是自变量是指数函数，所以 解得且 . 底数 , 典例分析 例4 若函数,且是指数函数， 则___, ___. 解：因为 是指数函数， 所以解得 的系数为1, 且是单项式 4 4 学习过程 01 03 02 目录 1 指数函数的概念 2 题型训练 指数函数的概念 题型1 题型探究 例1 指数函数的图象经过点 ，则这个函数的解析式是______． 解：由已知，设，且， 又因为函数图象过点 ，即 ，解得，所以 . 指数函数的概念 题型1 题型探究 例2 (多选)设指数函数,且 ，下列等式中正确的是( ) 解：选.对于A，， ； 对于B，， ，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D， ， ，所以 ，故D错误. A. B. C. D. 指数函数的概念 题型1 题型探究 例3已知函数 是指数函数．（1）求 的表达式； 解：因为函数是指数函数，所以 ， 且 ，可得或 （舍去），所以 . （2）判断 的奇偶性，并加以证明. 解： 是偶函数,证明如下： ， ，关于原点对称， 因为 ，所以 是偶函数． 指数函数的应用 题型2 题型探究 例4 已知指数函数满足，求和 ？ 解：因为 是指数函数，所以可设,且 ， 所以 ，解得 （负值已舍去），于是 . 所以 ， . 指数函数的应用 题型2 题型探究 例5 若指数函数的图象经过点，求满足的 的值？ 解：设且，则，解得或 （舍）， 所以，令，又，所以 . 指数型函数模型的应用 题型3 题型探究 例6 某种药物的含量在病人血液中以每小时 的比例递减.现医生为某病人注射了该药物，那么 小时后病人血液中这种药物的含量为( ) 解：选B.由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时 的比例 递减，给某病人注射了该药物， 小时后病人血液中这种药物的 含量为 . A. B. C. D. 指数型函数模型的应用 题型3 题型探究 例7 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10 000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则 关于 的函数解析式为__________________. 解：根据复利计算利息的方式可知，当存期数为1时，本利和为 , 当存期数为2时，本利和为 ， ……所以当存期数为时，本利和为 . 课堂小结 1. 指数函数的概念： 注：指数函数满足 ①的系数为1，“”是单项式的形式； ②指数函数的底数； ③指数函数的指数为自变量 定义：一般地，函数叫做指数函数。 其中是自变量，定义域是. 感谢聆听! $